Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4132 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

§ 11. Р Е К У Р С И В Н Ы Е П Р Е Д И К А Т Ы	311
выводимо в ограниченной арифметике.	— 0 или 5* = 0

также выводимо в ограниченной арифметике. Следова


тельно, P(l\,		. ..,	in)	или	P{ii,	.. .,	in) выводимо в огра
ниченной	арифметике, что и					требовалось		доказать.
Т е о р е м а		2.	Если		два	предиката		Р(х,у,	.. .)	и
Q (х, у,...)	рекурсивны,			то предикаты			Р(х, у,...) V Q(x,			у,...)
и Р(х, у,...)		также		рекурсивны.
Если	Р(х,у,...)			и Qix,y,...)			рекурсивны, то		суще

ствуют рекурсивные термы ft и q такие, что Р эквива лентно ft = 0, a Q эквивалентно q = 0. Рассмотрим терм ft-q. Это также ре-курсивный терм. Покажем, что

предикат ft =	0 V q =	0 эквивалентен	предикату	ft-q =
= 0. В самом	деле,	ввиду того, что	рекурсивная	функ

ция, соответствующая терму ft-q, имеет все свойства обычного арифметического произведения, мы можем за

ключить,	что если ft или q	принимает значение 0, то	и
ft-q также	обращается в 0,	и обратно, если ft-q прини
мает значение 0, то или ft,		или q принимает значение	0.
В таком случае формула
	\|) = 0\ЛТ =	0 ~ ) ) м 1 = 0

при каждой замене цифрами выводима из аксиом огра

ниченной		арифметики			и, следовательно,			предикаты
		р =	0 V <\| = 0 и ft • q = 0
эквивалентны.							эквивалентно Р V Q.
Очевидно, что			ft	=	0 V q = 0
Отсюда		следует,	что	последний			предикат		эквивалентен
ft-q =	0	и, следовательно, представляет собой рекурсив
ный предикат.
Для		доказательства				рекурсивности			предиката
Р(х\,	. ..) рассмотрим				терм	R (ft), где		р — введенный

выше (см. § 9) рекурсивный терм. Из свойств этого

терма вытекает,		что p(ft) = 0,			если ft		после		замены	сво-
бодных переменных цифрами не равен								0,	и p ( f t ) = 0 ,
если ft =	0. Но	в	таком	случае		6(ft) =		0 эквивалентно
предикату	Р ( х ь	. . . ) , и,		следовательно,				этот предикат
рекурсивен, что и требовалось					доказать.
Пользуясь тем, что операции исчисления									высказыва
ний & и ->- выражаются				через	операции			V	и —,	легко
показать,	что если		предикаты		Р	и	О	рекурсивны,		то
рекурсивны	и предикаты			Р & Q и Р -у			Q.

312	ГЛ.	V. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ			АРИФМЕТИКА
Очевидно,		что	если	предикат	Р(хх	хп)	рекурси
вен,	то предикат		P($i,	$п),	полученный из		него за

меной переменных х,- произвольными рекурсивными тер мами {),, также рекурсивен.

Рекурсивность элементарных предикатов арифме тики. Докажем, что предикаты х = у и х < у рекурсив ны. Именно, мы докажем, что предикат х — у эквива лентен предикату

б (х,

у)

б (у,

х)

цифры

(1)

Подставим

вместо

произвольные

( Г !)

ОС"). Если

п =

т,

то

б (0<n),

О,

не равны,

то одно из

0<)) = 0

(0<>, 0<>)

и предикаты

х =

(1)

оба

истинны. Если

же

цифры

слагаемых (1)

равно

другое

нет. В таком случае и сумма отлична от

Следователь

но, предикаты

х — у и

(1)

эквивалентны.

Так же можно показать, что предикат0.

х <

эквива

лентен предикату

б (у,

х) =

Но б

(у, х) =

— рекурсивный

предикат. Отрицание

ре

курсивного

предиката — также

рекурсивный

предикат.

Следовательно,

х <. у — рекурсивный

предикат.

Исходя из элементарных предикатов, можно с по мощью операций исчисления высказываний и подста новки образовать новые рекурсивные предикаты, соот


ветствующие				переменным			рекурсивным		термам.
§	12.	Другие		способы	образования			рекурсивных
предикатов. Ограниченные							кванторы
Пусть		Р(х)	— некоторый			рекурсивный			предикат. Тогда,
по	определению, существует такой							рекурсивный терм
Ъ(х);		что для каждой цифры $ формула
				Р G) ~			Р (Я) = 0
выводима в ограниченной						арифметике.
	Введем		в	связи	с предикатом			Р(х) рекурсивный
терм		Ь(х)	с	рекурсивными			равенствами

»(0) = И0),

§12. С П О С О Б Ы О Б Р А З О В А Н И Я Р Е К У Р С И В Н Ы Х П Р Е Д И К А Т О В 313

Этот рекурсивный терм й (h) мы еще выразим условно в виде

Пи*)-

Такое изображение удобно потому, что (как легко дока зать по индукции) D ($) равно арифметическому произ ведению -

И 0 ) - И 0 0 ••• МОТерму {") р (х) соответствует рекурсивный предикат

П ?W = o,

который' мы обозначим символом

Зх Р (х).

Для каждой цифры J предикат Зх Р (х) эквивалентен

формуле	P(O)-HO')		... j>G) = o
	P(O)-HO')		... j>G) = o
	Я (0)ф о р м у л е . .
и, .следовательно,
Си л вол		V P (00 V . . . V P ft).
Си л вол			Зх
			Зх
мы назовем	ограниченным		квантором	существования.
. Введем	также	символ,	ограниченного	квантора все
общности		Ух.
		Ух.
Выражение			<h
Выражение		VxP(x)
		VxP(x)
	•.	. • <h	. ..	. .

определим как эквивалентное выражению

ЗхР(х).

Предикат, представленный этим выражением,, также является.рекурсивным предикатом.

314	ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ АРИФМЕТИКА

При этом формула

УхР(х),

очевидно, эквивалентна формуле

Р(0) &/> (0') & •••

§13. Приемы образования новых рекурсивных термов

Мы введем некоторые вспомогательные приемы, позво ляющие образовать рекурсивные термы, исходя из ре курсивных предикатов. Пусть Р(х) — любой рекурсив ный предикат, содержащий переменную х (и, может быть, другие), и пусть 'р(х) —соответствующий ему ре курсивный терм. Определим новый рекурсивный терм

					цл-	\Р(х),
который содержательно					можно было бы трактовать как
минимальное			из значений			переменной		х таких, что Р(х)
истинно	и 0 <С х ^			h. Этот терм			иначе можно				записать
в виде	%{х\,		... , Xk, h),		где Л'ь . . . ,			xh — отличные от х
свободные		переменные,			входящие		в Р(х).		Напишем для
терма	j.i.v		\Р(х)	определяющие			равенства			в обычной
0 < * < А
форме:	цх	\| Р (Л) =
a.				0.
0 < х < 0
b .	цх	\|Р(*) =		цх	\|Я(*)+Л'р(			,цх	\P(x) + p(h%
0 < x < h '				0<.*<ft			0 < x < f t
Очевидно,		не существует				никакого		числа	х,	удовлетво
ряющего		неравенству			0 < х ^ 0.		Запись			Цх	\| Р (х),
однако, имеет смысл и является										0 < д : < 0
							обозначением				введен
ного нами		терма		цх	\ Р (х) при j = 0. Покажем, что

0 < х < з

для каждой отличной от 0 цифры $ имеем

цх \P(x) = i),

0 < х < з

где I) — наименьшая цифра, отличная от 0 и не превы шающая I, для которой P((j) истинно, и 0, если такой цифры не существует. Наше утверждение очевидно, если J = 0, так как цифр, отличных от 0 и не превьь

§ 13, П Р И Е М Ы О Б Р А З О В А Н И Я Р Е К У Р С И В Н Ы Х Т Е Р М О В

315

шающих 0, не существует.					Допустим, что наше				утверж
дение справедливо для J =					0<ft\	и покажем, что в таком
случае	оно справедливо и для цифры 0(Л+'). На								основа
нии b имеем
цх		\| Р (х)	=
0 < * « Й + * >
	=	lix	\P(x) + Oik+M			цх	\P(x) +		p(0(k+,))).
		G<x<Qfk)			0<*<0< f e )
Допустим, что существует					цифра CP, отличная от 0 и не
превышающая			0^	(j^.k),	для которой			Р(СР) истинно.
Тогда	среди таких			цифр	найдется		наименьшая;			пусть
это будет (Р'>. Тогда
				цх	\Р(х)=Ои)
				о < х < а
		цх	\Р{х)= 0 , л + 0, f c + 1 > • 0 (о"'> + р (о'*+ 1 ) )).
0<A:<0< f e + 1 '
Но 0( / )	+ p(0( f e + 1 ) ) больше 0, поэтому
			p(o('4i)(o,,i+,))) = o
и, следовательно,
				цх	\Р(х) = 0( / > ,
			0 < л : < о № + ' >
и для этого случая наше утверждение								доказано.
Допустим теперь, что среди						цифр о', 0",			0<fc)	нет
такой,	для которой			Р (х)	истинно. Тогда, по условию,
и, следовательно,				цх	I Р (х) =• О
			цх		\P(x)=0<k+%W+n))-
		0<JK<0< f c + I )
Если		P(0ik+l))	истинно,		то р(о№ + 1>) =			0 и р(0) =		0'.
Тогда		,i.v		\| Р ( ж ) = 0 № +		1 ) . 0 '	=	0( *+ 1 ) ,
		,i.v		\| Р ( ж ) = 0 № +		1 ) . 0 '	=	0( *+ 1 ) ,

0 < * < 0 ( f e + l>

что согласуется с нашим утверждением.

816	ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ АРИФМЕТИКА
Если	р ( 0 № + 1 ) )	ложно, то
		»(0<*+ 1 , ) = 0
истинно. В таком		случае
		р ( р ( 0 № + , ) ) ) = 0
и		цх	\| Р (х) = 0.
		цх	\| Р (х) = 0.
		0 < д ; < о ( * + , >

Ив этом случае наше утверждение справедливо. Аналогично определяется функция

Мх

\Р(х),

где

Р (х) — любой рекурсивный

предикат:

Мх \Р(х) = 0,

0 < х < 0

Мх

[Р(х) =

Мх

\P(x)-a(p(h'))

h'$(p(h')),

где

р (х) — рекурсивный терм, соответствующий

преди

кату Р (х). Покажем,

что

Мх | Р (х)

есть

наибольшая

из

тех цифр

5 = о',

0",

0{к), для которых Р(х)

истинно,

Мх | Р (х) — 0,

если такой

цифры

не

суще-

ствует.

0 < Х < 3

Наше утверждение, очевидно,

справедливо для 5 = 0.

Допустим,

что оно справедливо

для цифры

0( А ) . По

кажем, что тогда оно справедливо и для 0( f t + I ) .

Пусть

сначала

среди

цифр

()'

0tk)

есть

цифры,

для ко

торых Р(х) истинно, и 0( / >

— наибольшая

из этих

цифр.

В таком

случае

Мх

| Р (х) =

0( / )

0 < x < 0 ( W

Мх

| Р(х) = 0(1]

•а (р(0<*+ , ) )) + 0{k+[)

• P(p(0'f e + 0 ))-

o<*<o( f t + I )

§ 13. П Р И Е М Ы О Б Р А З О В А Н И Я Р Е К У Р С И В Н Ы Х Т Е Р М О В

317

Если P(0Ui+l)) истинно, то

р(о'*+,,) = о,

а ( р ( 0 ( 4 + , , ) ) = 0

р („(0"+»)) = 0'.

Тогда

Мх \P(x) = 0(k+l).

о < * < о ( * + | >

Если же Р(01к+])) ложно, то, наоборот,

a(p(Of f e + »)) = 0',

|ф(0 ( & + 1 >)) = 0

Мх \Р(х) = О' o < * « o ( f t + »

В обоих случаях наше утверждение справедливо.

Допустим теперь, что среди		цифр 0	0(к) нет
цифры, для которой Р(х)	истинно. В таком		случае, по
предположению,
Мх	\Р(х) = 0
0<х<0{к)
Мх \P(x) =		Q(k+l).$Wk+l))).

o<*<o( f e + 1 )

Если P(0(k+l))

истинно, то

р(0(*+,)) = 0

р(р(о(й+,))) = ол

Тогда

МЛ: | P(x) = 0(k+l).

0 < Х < 0

Если же р ( 0 < & + | ) ) ложно, то

р(р(о(*+1))Но

318 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ А Р И Ф М Е Т И К А

M.v | Р (х) = 0. c<*<o,fe+1>

• Итак, наше утверждение доказано для всех случаев Следовательно, оно справедливо для всех цифр.

§ 14. Некоторые			теоретико-числовые предикаты и термы
1. Предикат		делимости		D(x,y).	Через		D(x,y)	мы обо
значим предикат, выражаемый					формулой
			3t[t • х = у].
Легко	видеть,		что если		$2) истинно,			то суще
ствует цифра t) такая, что
				Ь • h = h,
т. е. ц2	делится		на ^.	В самом		деле,	допустим, что
j , = 0'*'\	а $2 = 0'а д . Формула
эквивалентна		формуле
0-Si = J 2			V 0'•	= з 2 V	•••	V 52	• 3i = Sa-

По предположению эта формула истинна. Так как сум ма истинна, то по крайней мере одно из входящих в нее равенств должно быть истинным, т. е. найдется цифра § такая, что

Допустим	теперь,	что D ( j b	j 2 )		ложно. Тогда		истинна
формула
или, что то же, формула
	0 - j 1 = $ 2 &0' . j 1 = $ 2 &			. . . &S2-S!==J2.
Тогда среди цифр		0, 0',	$2	не найдется		такой		циф
ры Ь, что 1)-1\ =		\г — истинная			формула.	Но	в	таком
случае н	вообще	нет цифры,		удовлетворяющей				этому

§ 14. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДИКАТЫ И ТЕРМЫ

319

равенству.

самом

деле,

случае,

когда

Ji — 0 и

12 =

ясно,

что

не

существует

цифры

Ь,

для

которой

i)-$i =

$2-

Если

j i

не

то

< Щи

если

больше,

чем 52-

«быть

простым

числом» — Р(х).

Обо

Предикат

значим

через

Р(х) предикат, выражаемый

формулой

V / [ 0 ' < * & ( 0 ' < / < * - > £ ( / ,

х))]

* ) .

Из написанной формулы видно, что Р(х)

—рекурсив

ный

предикат. Легко

установить

(аналогично

тому,

как

в примере

1), что для

тех и только для

тех

цифр 5,

для

которых P(j) — истинная формула, не существует циф ры, отличной от 0' и от $, на которую j делится; j при этом больше О'.

Функция h !. Эта функция определяется следующими равенствами:

a.О! =-0'.

b.Л'1 = А! •/?'.

Легко установить, что для каждой цифры \ имеет место

	jl	=	0' • 0" . . . j .
Ниже нам потребуется утверждение, что						«для вся
кой цифры	%, отличной		от 0,	среди цифр		. . . , $! - f 0'
существует	такая цифра		х,	что Р(х)	истинно	в	ограни
ченной арифметике».		Чтобы		доказать	этот факт,		извест

ный под названием «теорема Евклида», достаточно повторить обычное доказательство Евклида. Это дока зательство не использует понятие актуальной бесконеч ности, так как рассуждения здесь относятся к конечной


области	цифр	до	j ! + 0'. Кроме того, все используемые
понятия	представляются рекурсивными				предикатами,
которые конструктивно вычислимы для цифр.
3. Рекурсивный			предикат S(x,y,z),	имеющий		смысл
«х — простое		число,	заключенное между		у' и z».	Этот

предикат определяется формулой

Р(х)&у <х<z.

*) 0' < t < х — сокращенная запись предиката 0' < t & t < х.

320	ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ А Р И Ф М Е Т И К А

Из этой формулы следует, что S(x,y,z) — рекурсивный предикат. Определим теперь рекурсивный терм у{х,у) следующей формулой

cp(x, у)=	ц7 \| S (t, х, у).
	0 < / < у

Рекурсивная функция, определенная этим термом, представляет собой наименьшее простое число, заклю

ченное между числами		х' и у, если		оно существует, и 0
в противном случае.
4. Рекурсивная	функция		п(х),	значения	которой
пробегают последовательно			все простые числа.		Опреде
лим рекурсивный	терм	п(х)	следующими равенствами:

a.я(0) = 0".

b.я (*') = Ф (я (*), я (*)! + (/).

Покажем, что значения рекурсивной функции я($) про бегают последовательно все простые числа. В силу а значение я($) для i = 0 равно наименьшему простому числу. Допустим, что я(0), я(О'), n(j) представ ляют собой последовательный (без пропусков) ряд про стых чисел. Но

я(30 = ф(я(3), n(j)! + 00,

т. е. значение я($') есть наименьшее простое число, за ключенное между n{l) 1 1 Jt(j)!+0' , или 0, если такого числа нет. Но, по теореме Евклида, такое число суще ствует, следовательно, значение я($') есть непосред ственно следующее за я($) простое число. Итак, я($) представляет собой искомую рекурсивную функцию. -

5. Предикат «быть показателем степени простого де лителя числа у в разложении этого числа на простые множители» — R(x,y). Этот предикат выражается фор мулой

3	/ \P(t)&D(t*,		y)&D(tx',	у)].
Из формулы	видно, что	предикат		R(x,y)	рекурсивен.
6. Предикат	W(x)—«быть		числом вида
	^ • ^	. •	• ^ » ,		(1)

где у представляет	собой г'-е по порядку	простое число,
hi — степень этого	простого множителя	в произведении

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4132 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ