Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4131 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

		§ 8. О Г Р А Н И Ч Е Н Н А Я АРИФМЕТИК А							301
что равенство
		» 0 г			in-v0{,i)'
выводимо в ограниченной					арифметике.
Используя		эти. два		равенства			и равенство
	....	* „ _ , ,		=			хп, l(xv		хп)),
получим				. .
ё V S l > • • • >		и	; —
=	V ( s „ U - i ,			0 (	\ Uh,		\п-и		0( f t , )) =
								i n - *	°{k)> Q = * ; + ! •
Следовательно,			равенство
			••••	K-v		о 1 4 + ») =		Й + ,
выводимо в ограниченной					арифметике.
Итак,	для	каждого		выражения					$„_i, 0<ft>) мы
можем определить цифру						такую,		что	равенство (1)
выводимо в ограниченной					арифметике.
Таким	образом, для всех					правил		образования ре

курсивных термов наше утверждение доказано. Так как оно верно для исходных рекурсивных термов, то тем са мым наше индуктивное доказательство закончено, и мы доказали, что для каждой рекурсивной константы мож но определить цифру такую, что'равенство данной кон


станты и цифры	выводимо в ограниченной						арифметике.
Если допустить,		что аксиоматическая				арифметика не
противоречива,	те для любой			рекурсивной			константы с
существует единственная			цифра $, для которой					равен
ство с = 5 выводимо		в ограниченной			арифметике.
Действительно, если бы нашлись две различные циф
ры $i и 12 такие, что и с =• j t				и- с =	$2 выводимы			в огра
ниченной арифметике, то в ней				было	бы	выводимо так
же и равенство	j i =	J 2	. Однако если ji и j 2 различны, то
это равенство приводит			к противоречию			в ограниченной

арифметике. В самом деле, пусть 5, есть 0^m\ a j 2 есть 0(п> и число-штрихов т меньше числа штрихов л. Тогда подстановками в V I I . 3 получим

Q<m> ^ Q ( m + I ) Q ( m + H ^ Q<m + 2 )

Q ( « - I ) ^ Q < « )

302	ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ		АРИФМЕТИКА
откуда,	применив аксиому	V I I . 2,	найдем, что
	(У'п)	< 0м

выводимо из одних только аксиом группы V I I . Следовательно, в ограниченной арифметике выводи

мо 0<т> < 0 4 Пользуясь еще аксиомами равенства, легко выводим

			*1=$2
и, следовательно, получаем				противоречие.
С л е д с т в и е . Если			исчисление,		содержащее		ограни
ченную	арифметику, непротиворечиво				и в	нем	выводимо
равенство
где Ci и		с 2 — рекурсивные		константы, то это			равенство
выводимо		в ограниченной		арифметике.
В самом деле, по доказанному существует							цифра j i
такая,	что равенство		С] — j i выводимо в			ограниченной

арифметике. Существует также цифра $2 такая, что ра венство С2 — 12 выводимо в ограииченной арифметике. Так как рассматриваемое исчисление содержит ограни

ченную арифметику, то		последние равенства выводимы
и в нем. Поэтому в нем		также выводимо равенство j f		=
= joНо если	исчисление непротиворечиво, то		цифры	j i
и 12 должны	совпадать,	иначе в ограниченной	арифме

тике, а следовательно, и в данном исчислении была бы

выводима	формула	%\ =	j 2	. Но если		и £2 представляю
собой одну	и ту же	цифру	j , а С] =		$ и г2	— S выводимы
в ограниченной арифметике,				то и	С\ — с2 также в ней

выводимо. Из сказанного также следует, что в рассмат риваемом исчислении для каждой рекурсивной констан


ты с существует единственная					цифра j такая, что равен
ство с = J выводимо в этом				исчислении.
В дальнейшем	мы для		любых рекурсивных констант
с, н с2 выражение	«с, =		сг	выводимо в		ограниченной
арифметике-» будем		заменять			более кратким: «с, равно
с2». Опускание здесь		термина			«ограниченная	арифмети

ка» имеет то основание, что, как мы видели, в любом непротиворечивом и более сильном исчислении выводи мость равенства рекурсивных констант равносильна выводимости этого равенства в ограниченной арифметике.

	§ 9.	Р Е К У Р С И В Н Ы Е	Ф У Н К Ц И И		303
§ 9. Рекурсивные		функции
Рассмотрим	произвольный рекурсивный			терм	#(х\,
хп). Мы	отнесем некоторым		образом	каждому вы
ражению д(3ь • . . , hi) определенную цифру					••-,.„•

Таким образом, мы определим на области цифр некото рую функцию Г) = ^ .... 3 ) г , принимающую в качестве значений также цифры. Эта функция, связанная с ре

курсивным термом д(лг1,	хп),	представляющим	со
бой некоторый символ, сама имеет		содержательный	ма
тематический смысл, именно,	она	является функцией,
которая каждой системе цифр	j i ,	ставит в соот

ветствие определенную цифру щ,-.-.гп. Такие функции могут быть рассмотрены в рамках математики таким же образом, как любые другие математические понятия, уже нам знакомые, например выводимая формула, пра вила получения выводимых формул и те или иные соот ветствия, которые мы уже раньше рассматривали для символов исчислений.

Определенные таким образом через рекурсивные тер

мы математические функции мы назовем				рекурсивными
функциями. (Точнее,	их следовало	бы	называть прими
тивно рекурсивными	функциями,	так	как	термин «ре

курсивные функции» обычно используется для более

общего понятия.)
Сложение	и умножение.			Определим рекурсивный
терм а{х,у)	с помощью		рекурсивных равенств:
	a.	сг (х,	0)	—х.
	b.	о(х,	у') = (а(х, у))'.

Этому терму соответствует рекурсивная функция, кото

рая	совпадает с обычно		арифметической		суммой в
том	смысле,	что значение о(0(п ) , СК'">) представляет собой
0('l+J»). Ввиду этого мы выражение о(х,у)				будем		записы
вать в более привычном виде, именно				как х +		у. Тогда
рекурсивные		равенства для	сложения	будут	записаны
так:		а. х + 0 =	х.

Ъ. х + у' = (х + уУ.

304	ГЛ. V . АКСИОМАТИЧЕСКАЯ А Р И Ф М Е Т И К А

Введем рекурсивный терм л(х, у), написав для него рекурсивные равенства:

	a.	я (х,	0) — 0.
	b.	л (х,	у') =	л (х, у)	+	х.
Рекурсивная		функция,		соответствующая				терму
я(х,у),	представляет		собой	обычное		арифметическое
произведение. Мы для нее				также	будем		употреблять
обычную запись: х-у.			Тогда	рекурсивные			равенства, ее
определяющие, примут вид:
		a. х	• 0 =	0.
		b. х • у' = х • у А- х.

Рекурсивные функции а(х) и $(х):

a. а ( 0 ) = 0 .				а.	р ( 0 ) = 0 ' .
b. с ф ' )		=	0'.	Ъ. р(*0 = 0.
Функция а(%),	как		видно	из	определения,	равна 0
при i = 0 и равна	0'	при всех		прочих значениях		Функ
ция \|Bfj), наоборот,		равна 0'		при 1 = 0 и равна 0 при

других значениях
Рекурсивные функции	б (л:) и б (х, у):
a.	б(0) =	0.
b.	6(*0 =	х.

Функция 6(j0, определенная этими формулами, о ч е видно, ставит 0 в соответствие 0, а каждой цифре, от личной от 0, ставит в соответствие предшествующую ей

цифру. Таким образом,	функции	6(j) содержательно	со
ответствует вычитание	единицы	из всех цифр, кроме	0.
a. 6 (х,	0) = х.

b. 6(х, у') = 6(6(х, у)).

Рассмотрим подробнее рекурсивную функцию, опре деленную этими равенствами:

б (х, 00 = б (б (х, 0)).

Следовательно,

б (х, О') = б {х).

§10. В Ы В О Д И М О С Т Ь СВОЙСТВ А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й 305

Далее,

Ь(х, 0") = 6(6(х, о')),

т. е.

			б {х,	0") = 6 (б (х)).
Легко видеть, что вообще
		б(*.	0(fe)) =	6(6( .. . 6{х))			. . . ) .
					k р	а	з
Итак, 6 ( j b		У	равно	цифре,	которая			получается	из
применением		операции		б от одной		переменной столько
раз,	сколько	штрихов содержит цифра foТаким							обра
зом,	если li	не	меньше fe, т о		°fti. У			получится,	если

удалить из цифры д, столько штрихов, сколько их со держит цифра j 2 . Если же J, < fe, то 6($i, У = 0 . Иначе говоря,

6(0'*'», 0 а д ) = о(*'-Ч

если kz^k i, и

б(о(Ч 0(*!)) = 0

впротивном случае.

§10. Аксиоматическая и содержательная выводимость свойств арифметических функций

Как мы уже указывали выше, понятие рекурсивной функции, связанное с рекурсивным термом, является содержательным понятием. В частности, рекурсивным термам

х А- у и х • у

соответствуют рекурсивные функции, по существу яв ляющиеся просто обычными арифметической суммой и арифметическим произведением. Точнее говоря, при каждой замене переменных х и у в терме х + у цифрами 0<г') и значение соответствующей рекурсивной функ ции представляет собой цифру 0( i + j ) , где через / + / здесь обозначена обыкновенная, содержательно пони маемая, арифметическая сумма чисел штрихов первой и второй цифр, а значение рекурсивной функции, отве

чающей терму х-у	при замене х	цифрой	(К0, а у циф
рой" 0( Л , является	цифрой 0(!'J'>,	где i-j	представляет

306	ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ А Р И Ф М Е Т И К А

собой содержательно понимаемое арифметическое про изведение чисел штрихов цифр 0<'> и СР. Содержатель ными рассуждениями можно вывести все арифмети ческие свойства рекурсивных функций, отвечающих термам

х + у	и х- у.
Для этого надо просто	повторить обычные рассужде

ния, -употребляемые для этой цели в арифметике. Од

нако следует заметить, что такие доказательства					яв
ляются не формальными		выводами	в самой	ограничен
ной арифметике, а содержательными			рассуждениями		об
ограниченной	арифметике.
Рассмотрим для примера предложение: «Значение
рекурсивной	функции,	соответствующей		терму	х-у,

есть 0, если переменная х или переменная у заменена цифрой 0».

Мы докажем это предложение по индукции, но не путем применения аксиомы полной индукции, записан ной в виде формулы исчисления предикатов, которой в ограниченной арифметике нет, а посредством содер жательной металогической индукции, проводимой над ограниченной арифметикой. Такая индукция является приемом рассуждения, входящим в круг финитизма. Таково, например, доказательство теоремы в § 8.

То, что при замене в терме х-у		переменной	у	на 0
произведение	х-у принимает также	значение	0,	сле
дует прямо из определения рекурсивной функции				х-у
посредством	рекурсивных равенств. Докажем,		что	при

замене переменной х цифрой 0 рекурсивная функция также принимает значение 0. Это утверждение справед

ливо, если у также	принимает значение	0. Допустим,
что оно справедливо,	если у принимает	значение $, и

покажем, что тогда оно справедливо и при замене у цифрой з'. В самом деле, по предположению О-j имеет значение 0. Но 0-j', по определению, имеет то же зна

чение, что и 0• § -f- 0. Но 0-5 + 0			имеет,	по определению
суммы, то же значение, что и 0-J,			г. е. 0.
Таким	образом, мы	доказали,	что значение 0-j рав
но 0 для	всякой цифры	$. Аналогичным		образом можно

доказать все элементарные теоремы арифметики. Но, повторяем, все эти теоремы не доказываются сред-

§ 10. в ы в о д и м о с т ь с в о й с т в А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И И 307

ствами ограниченной	арифметики, а являются теоре
мами об ограниченной	арифметике.

Однако в аксиоматической арифметике с аксиомой полной индукции можно доказывать уже внутренними средствами теоремы, соответствующие указанным со

держательным	теоремам	об	арифметике. Так, напри
мер, можно	доказать	средствами аксиоматической
арифметики теорему
	h 0 • у = 0 & х • 0 = 0,
соответствующую только		что	рассмотренной содержа

тельной теореме об ограниченной арифметике. Приве дем это доказательство.

Чтобы	доказать выводимость в		арифметике фор
мулы
	Н-0-г/ =	0&л - '0 =	0,
достаточно	вывести
и	\-0	• у — 0
и	I - х • 0 = 0.
	I - х • 0 = 0.

Вторая из этих формул представляет собой первое ре

курсивное равенство,

связанное

термом х-у,

по

этому выводима

в арифметике.

Докажем выводимость первой формулы. Сделав

подстановку

аксиому

полной

индукции

формулы

0-t

0 вместо А (I), получим

h 0 • 0 =

0& V.v (0 • х =

0 • х'

= 0) -> 0 • у =

(I)

Из

первого

рекурсивного

равенства

для

терма

х-у

вы

текает

h 0 • 0 =

(2)

Затем

имеет

место

I— 0 • .V == 0 -> 0 • х — 0,

о • х' = 0 • х + 0,

\-0-х

+ 0 =

0-х.

Заменив в

правой части

первой

из

этих

формул

терм

0-д- равным термом O-.v-f-O и приняв во внимание вто рое равенство, получим

h 0 • -V = 0 0 • А;' = 0.

308 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ АРИФМЕТИКА -

Применив правило связывания квантором, находим

I -	Vx(0 • х = 0->0 • *' =	0).	(3)
Из выводимости	формул (1), (2) и (3)	вытекает,	что
	Н О - 0 = 0,

и,таким образом, доказано, что

I - х • 0 = 0 & 0 • у = 0.

Отметим разницу между металогическими теорема ми об ограниченной арифметике, в которых устанавли-. ваются свойства рекурсивных функций, и соответствую щими теоремами самой арифметики с аксиомой полной индукции. Содержание каждой металогической теоремы

указанного типа состоит в	том,	что некоторая формула
% (.V],	. . .у	хп)

превращается в выводимую в ограниченной арифметике формулу при любой замене переменных Х\, ..., хп циф рами. Содержание соответствующей теоремы аксиома

тической	арифметики		состоит в том, что формула
21(*1-, . . . ,	хп)	выводима	в арифметике с аксиомой пол
ной индукции.		. . .	-

Может на первый взгляд показаться, что эти пред ложения всегда равносильны. Однако это не так. Фор мальная теорема аксиоматической арифметики -. .

является иногда более сильным утверждением, "Чем

утверждение-о том, что каждая формула, вида	. . - -
где $ь . . . , in — произвольные цифры, выводима,	в.огра

ниченной арифметике. Это имеет место,' например, в

случае,	когда		формула 91 (хи		..., хп)~		имеет		вид
			х = 0, г, =	г2	или	г, <	г2,		(4)
где г,	ti и	г2	— произвольные рекурсивные						термы. Из
формальной		выводимости		в	арифметике			какой-нибудь
из формул		(4) вытекает -выводимость					в	ограниченной
арифметике соответствующей					формулы:				. . . . . .
			to ==о, х° =	г°	пли	<	г°,

§ 10. В Ы В О Д И М О С Т Ь СВОЙСТВ А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й 309

полученной из соответствующей формулы (4) заменой всех переменных цифрами. Действительно, если фор

мула ri == г2		(соответственно	г, <	г2, г =	0)	формаль
но	выводима	в арифметике,	то	каждая	из	формул
r°- =	i-', (соответственно i] < ru,		r° =	0], полученная из

предыдущей заменой всех переменных цифрами, также формально выводима в арифметике. Но мы знаем, что для каждой рекурсивной константы можно найти циф ру, которая равна этой константе в том смысле, что это равенство выводимо в ограниченной арифметике. От сюда следует, что из двух формул

одна всегда выводима в ограниченной			арифметике.
Точно так же одна из формул
г° < Y-5	и	г» < t°.
выводима в ограниченной арифметике. •
Если "же формула г° =	г°	выводима, в	арифметике	и
если арифметика непротиворечива, то			тогда г'^ =	г°

должно быть выводимо и в ограниченной арифметике.

То	же самое	можно сказать		и	о формулах		х1й < t°
и г°==0. Итак, если формула				<5(xi, . . . ,		хп) указанного
типа выводима		в арифметике, то каждая из формул
		(li, • •		In)
выводима .в. ограниченной, арифметике.						: :'
Обратное положение, однако, неверно. Можно дока
зать, что существуют формулы				вида
		г =	0,
где	г —. некоторый рекурсивный				терм,	такие, что	каж
дая	из формул	вида
		г° =	0,

полученная заменой в формуле г = 0 всех переменных цифрами, выводима в ограниченной арифметике, но в то же время формула

г = 0

не выводима в арифметике, несмотря на наличие в ней аксиомы полной индукции.

310ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ АРИФМЕТИКА

Вдальнейшем мы часто будем пользоваться ариф метическими свойствами рекурсивных функций в не формальном, металогическом смысле. Доказывать, од нако, эти свойства мы не будем, так как эти доказа тельства были бы простым повторением соответствую

щих рассуждений в обычной арифметике.

§ II . Рекурсивные предикаты

Термин «индивидуальный предикат» мы до сих пор

употребляли только для элементарных выражений			Р(х),
Q(x,y), х	= у,... Расширим	теперь его смысл и	будем
называть	индивидуальным	предикатом каждую	фор

мулу арифметики, которая содержит предметные пере

менные и не содержит переменных предикатов.

Инди

видуальные

предикаты,

не

представляющие

собой

эле

ментарной

формулы,

мы

будем

называть

сложными

индивидуальными

предикатами.

Мы будем

говорить, что

два

предиката

Р(хи

...)

Q(xu

. . .)

эквивалентны,

если

формула,

полученная

из

формулы

Р(хь

...)~Q(xu

...)

заменой

свободных

переменных

любыми

цифрами,

вы

водима

в ограниченной

арифметике.

Предикаты

вида

С[(хи

л-„) =

где д — рекурсивный

терм, и все им эквивалентные

на

зываются

рекурсивными

предикатами,

соответствую

щими

терму д.

Если

все свободные переменные

ре

Т е о р е м а

курсивного

предиката

Р(х\,

хп)

заменить

цифрами

1и

то или

Р(1и

у),

или

/>($,,

%п)

выво

димо

в ограниченной

арифметике.

В самом деле, по условию

существует

рекурсивный

терм

£(л'ь

. . . . хп)

такой,

что

P(h,

In) ~

*») =

выводимо в ограниченной арифметике. Но мы уже знаем, что можно определить такую цифру $*, что равенство

P(h> • • •> U =$*

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4131 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ