Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4130 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

§ 5. АКСИОМЫ А Р И Ф М Е Т И К И

291

Тогда выражения Ш, ММ*)), ••• М М . . . (М*)), •••)). . . .

будут изображаться в виде

х', {х'У, ((*')')', ...

Запись этих	выражений мы еще упростим. Именно,
(л-')' будем писать		в виде х", ( ( х ' ) ' ) ' — в		виде х'" и т.д.
Предметные	постоянные
		МО),	ММО)), •••
теперь изобразятся		в виде
			п раз
	О',	0"	0 ^ , . . .
Эти постоянные	вместе		с предметом 0 мы будем		назы
вать цифрами.	Цифры,		представленные	знаком	0 с к

штрихами, мы будем обозначать 0<Ч При содержательном изложении исчисления преди

катов (глава III) мы уже рассматривали аксиомы ариф метики или, точнее говоря, аксиомы порядковых отно шений натурального ряда (аксиомы порядковых отно шений арифметики) Выразим теперь те же свойства натурального ряда посредством формул некоторого ис числения. Для этого к расширенному исчислению преди

катов (см. стр. 282), содержащему	предмет	0 и	функцию
х', присоединим индивидуальный	предикат	< ,	который

в содержательном понимании имеет смысл термина «меньше» и удовлетворяет следующим аксиомам:

V I I . А к с и о м ы п о р я д к а

1.	X < X.
2.	х < у —> (у < г —> х < г).
3.	х<х'.
V I I I . А к с и о м а п о л н о й и н д у к ц и и
	А (0) & Vx (А (х) -> А (х')) -> А	(у).
Правила вывода в новом исчислении		сохранены те

же, что и в расширенном исчислении предикатов. Эта система аксиом по своему содержательному смыслу вы

ражает то же самое, что п система аксиом	натураль
ного ряда, рассмотренная нами в § 8 главы	I I I . Точнее

292	ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ А Р И Ф М Е Т И К А
говоря, если рассматривать нашу логическую		систему с
содержательной точки зрения, изложенной в		главе I I I ,
то рассматриваемые нами понятия — предметы,			преди
каты	и логические формулы — имеют смысл	в	отноше

нии к заданному множеству или области. Предметная


функция	о,(х\,		х п ) представляет собой функцию в
обычном понимании — определенную					на данной	области
и принимающую			значения из данной		области.
С этой	точки		зрения можно	показать, что		аксиомы
VI, V I I , V I I I		интерпретируются		любым упорядоченным
множеством,		подобным натуральному ряду, в				котором
за предмет 0 принят элемент, предшествующий						(в смыс

ле отношения порядка данного упорядоченного множе ства) всем остальным, а значение функции х' представ ляет собой элемент, непосредственно следующий за эле ментом х. И обратно, только множество, подобное нату ральному ряду, удовлетворяет написанной системе аксиом. Таким образом, если трактовать аксиомы со держательным образом, то система аксиом V I , V I I , V I I I равносильна той системе, которую мы уже рассматри вали в § 8 главы I I I . Она, следовательно, интерпретируе ма и полна с точностью до изоморфизма. Однако теперь мы не рассматриваем систему аксиом V I , V I I , V I I I в духе главы I I I . Она совместно с аксиомами и правилами вывода исчисления предикатов представляет собой фор мализм, определенный на основе принципов финитизма. Поэтому приведенная выше содержательная трактовка этих аксиом может иметь только эвристическое значение для решения вопросов, возникающих при изучении дан ного формализма. Аксиомы V I , V I I , V I I I не исчерпы вают формальной арифметики, они не содержат описа ния арифметических действий. В дальнейшем мы еще расширим это исчисление. Но предварительно мы рас

смотрим		систему		аксиом V I , V I I , V I I I		более детально.
§ 6. Примеры выводимых формул
Приведем		в	виде примеров		формальные		доказатель
ства	некоторых			положений,	выводимых	из	аксиом V I ,
V I I ,	V I I I .
Т е о р е м а			1.	Ь 0 <

§ 6. П Р И М Е Р Ы В Ы В О Д И М Ы Х Ф О Р М У Л

2 9 3

Заменив в аксиоме полной индукции предикат А (х)

предикатом 0 < х',			получим
	l - 0 < 0 ' & V * [ 0 < x ' - > 0 < j e ' i ' ] - > 0 < / .										(1)
Посредством подстановки в аксиому								V I I .		3 получаем
и				f - 0 < 0 '
и				h х'	<	X".
				h х'	<	X".
Сделав	подстановки		в	аксиому			V I I .	2,	получим
	Н 0 <		х'	-> (*' <		х" -> 0 <			х").
Переставив посылки, получим
	\-х'	<	х" -> (0 <			* ' - > 0 <			х").
Так как	х' < х"	— выводимая					формула,			то,	применив
правило заключения, будем					иметь
		Ь- 0 < х'			-> 0 < х".

И, наконец, применив производное правило связывания квантором,получим

			I - Vx(0 <		х'-*0 < х").
Применив	к формулам			0 <	О' и Vx (0 < х'		0 < х") пра-
вило зд- '& ^	,	имеем
		\-0 < 0 ' & V * ( 0 <				х ' - > 0 < х " ) .	(2)
Применив	к	(2)	и (1) правило			заключения,	получим
и, следовательно,				НО < у'
и, следовательно,				I -	0 <	х'.
Т е о р е м а			2.	I -	0 <	х'.
Т е о р е м а			2.
			h- х~<Ъ	-	> A ;	= 0 V 0 < X .
Заменив		предикат		А(х)	в	аксиоме V I I I	предикатом
			х<0->х		= О V 0 <

294	ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ АРИФМЕТИКА

получим

1- ( 0 < Г о 0 = O V O < 0 ) & V x [(лГ<0->х = О V 0 < х)-

- > ( г / < 0 - * г</	дс')] •
•('<0-*' = 0 V 0
	= 0 VO<y).	(3)

Посылка этого следования представляет собой логиче

ское произведение двух	множителей. Первый из них
О < 0->0 = 0 V 0 < О
является выводимым. В самом		деле, имеет место
откуда следует	Ь 0 =	0,

Ь 0	= 0 \ / 0 < 0 ;

и, наконец, поскольку из выводимости следствия выте кает выводимость импликации, мы получаем

} - 0 < 0 - > 0 =	0 V 0 < 0 .	(4)
Далее, на основании предыдущей теоремы		имеем
Ь 0 <	х',
откуда следует
1- х' = О V 0 < х'.
И поэтому
Ь- *' < 0 -> х' =	О V 0 < х'.

Отсюда заключаем, что

V- (х < 0 -> х = О V 0 < х) -> (х' < 0 -> х' = О V 0 < х').

Наконец, применив производное правило связывания квантором, получим

b Vx [{х < О -> х = О V 0 < х)

- > ( / < 0 - > . V ' = O V O < J C ' ) ] . (5)

Формулы (4) и (5) представляют собой множители по

сылки	формулы (3),	поэтому	па	основании	правила
•щ '& ^	эта посылка	является	выводимой		формулой.
В силу	этого следствие в формуле			(3) также	выводимо

	§	6. ПРИМЕРЫ ВЫВОДИМЫХ ФОРМУЛ				295
и мы имеем		\-у < 0~>у = 0 V 0 < у.

Заменив у на х, получим требуемую формулу.
Т е о р е м а		3.
			1-х < 0.
Подставив в аксиому полной индукции вместо пре
диката А (х)	предикат х < 0, получим
I -	0 < 0 & Vx [х < 0 -> х' < ol -> у < 0.					(6)
Первый множитель выводится посредством					подстановки
в аксиому V I I . 1.			Выведем	второй множитель.		Подста
новкой в аксиому			V I I . 2 получим
		I - х < х' -> (х'		< 0 -> х < 0).
Посылка этого		следования		есть аксиома	V I I . 3.
Применив правило заключения, имеем
			h х' < 0 -> х < 0.
Обратив эту импликацию, получим

Ь- х < 0 - > х ' < 0.

Применив производное правило связывания квантором, будем иметь

	Ь- Vx [х < 0 -> х' < 0].
Итак, мы вывели	и второй множитель посылки форму
лы (6). Отсюда	следует, что	и посылка и следствие —
выводимые формулы, т. е.
и, следовательно,	\-у<о
и, следовательно,	Ь- х <	0.
	Ь- х <	0.

Сопоставляя теоремы 2 и 3 и применяя правило за ключения, получим

1-А: = 0 \ / 0 < Х .

Итак, мы показали, что из аксиом арифметики формаль но вытекает, что 0 меньше любого другого предмета на шей системы.

296

ГЛ. -V-. -АКСИОМАТИЧЕСКАЯ- А Р И Ф М Е Т И К А

не

Нетрудно

также

показать, что

между цифрами. О и

и т. д. (для каждой пары цифр в отдельности)

О',

заключен

ни один

предмет нашей системы, т. е.

Ь-

х & х <

О',

0' <

О",

0 < х & х <

Отсюда следует,

что — наименьший из предметов,

не

равных-JO-,-О" —-наименьший--из предметов,

не рав

ных

и т.'"д. В этой0'

системе выводимо и общее

утверждение . ...

0',

t<x&x<t'.

Более

того, можно доказать (но мы этого

делать

здесь

не

будем),""что--система -аксиом I — V I I I

обладает

внутренний-полнотой, т. е. все формулы, истинные для любой интерпретации этой системы аксиом, в ней вы водимы.

§ 7. Рекурсивные гермы

Мы определим некоторую определенную категорию тер мов, которые будем называть рекурсивными термами. Определение- этомы дадим - индуктивнымспособом. Мы укажем исходные рекурсивные термы и дадимправила образования новых' рекурсивных термов из ранее полу ченных. Одновременно с правилами образования рекур сивных термов мы" определим правила образования ра венств" между"ними и примем эти равенства за истинные или выводимые по определению.

1.О есть рекурсивный тер-м.

2.Всякая предметная ' переменная есть ..рекурсивный

терм.

• —• -

3.х' есть рекурсивный терм.

-4.- Еслн-а-есть рекурсивный .терм,- содержащий пред метную переменную х, то терм а*, полученный из а .за меной этой предметной переменной любым рекурсивным термом, есть также рекурсивный терм.


. .. 5.-	Пусть	а(х\,-...,	xn _i) — любой рекурсивный			терм,
содержащий		из предметных		переменных	только	Х\, ...
...,	x „ - i , но не обязательно			все и, быть	может, даже ни

		§ 7. Р Е К У Р С И В Н Ы Е ГЕРМЫ	297
одной, a	t)(л'i,	x„+i) —любой рекурсивный терм, со
держащий из		предметных переменных	только х\, ...
. .. , хп+\,	но также, может быть, не все. Для любых двух

таких термов введем новый рекурсивный терм, представ ляющий собой предметную функцию, содержащую все переменные Х\, х2 , .. ., х„ и только их. При этом каждый раз вновь определяемая функция должна обозначаться символом, отличным от символов всех ранее определен ных функций, т. е. двум различным парам термов долж

ны ставиться в соответствие различные				предметные
функции. Допустим, что паре термов
( l ( X \| ,	Xn-i)	И §		Xn±l)
поставлена в соответствие		функция	\(х\,	хп). Мы
свяжем каждую	такую функцию с		соответствующими

термами некоторыми равенствами, которые будем счи

тать

выводимыми

или истинными

и называть рекурсив

ными

равенствами.

Равенства

эти имеют следующий вид:

( X

x„_,,

0) = a(x,,

x„_i),

! ( * !

Xn-V 0

H*P

•••> Xn>

HXl>

*»))•

Если бы оказалось, что терм t) переменной

хп+\

не

со

держит, то будем считать, что выражение

t)(x,,

хп,

хп))

представляет собой

сам

терм

без

всякого

изменения.

Например, если i)(xi,x2 ) представляет собой

х\,

то

вы

ражение

\)(xul(xi))

представляет

собой

также

х\.

рекурсивных

равенствах

фигурируют

аргументы

Х\,

. . . ,

х„. Строго

говоря, буквы

Х\,

. . . , х п

не

обозна

чают произвольных предметных переменных, а представ ляют собой определенные предметные переменные, и, следуя определению, рекурсивные равенства надо писать

именно с ними. Однако если					мы вместо рекурсивных ра
венств	(1)	напишем равенства
1(х,	у,	и,	0) =	а(х,	у, ....	и),
\|(х,	у,	и,	у') =	1)(х,	у,	и, 1(х, у,	»)),

получающиеся из предыдущих подстановкой, то послед ние равенства будут выводимы в том же исчислении, что

298	ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ АРИФМЕТИКА

и первые. Мы сохраним за ними название рекурсивных равенств и в дальнейшем будем, когда это потребуется, писать их без всяких ссылок на основные рекурсивные равенства.

Правило образования рекурсивных термов и правило образования связывающих равенств, описанные в п. 5, распространяются и на случай п — 1. Только тогда терм а не должен содержать никакой предметной переменной. Рекурсивные равенства для этого случая имеют следую щий вид:

1(0) =	в,
Таким образом, к системе	аксиом V I , V I I , V I I I мы при

соединяем неограниченное количество новых истинных

формул,		которые	мы	назвали рекурсивными		равенства
ми.	В результате		мы	получаем	исчисление	более силь
ное,	чем	исчисление с		системой	аксиом V I , V I I , V I I I , в

том смысле, что расширенная система описывает свой


ства натурального ряда несравненно полнее,								чем систе
ма аксиом V I , V I I , V I I I .
Полученное			нами	исчисление,		содержащее		аксиомы
I — V I I I , рекурсивные				термы и		рекурсивные		равенства,
с правилами		вывода		расширенного исчисления				предика
тов мы будем		называть			аксиоматической		арифметикой.
§ 8.	Ограниченная арифметика
Если	из аксиом		аксиоматической			арифметики		мы	уда
лим	аксиому	полной		индукции,		то получим		исчисление,
которое будем		называть			ограниченной арифметикой.				Ре

курсивный терм, который не содержит предметных пере

менных, будем	называть		рекурсивной	константой*).
Т е о р е м а .	Для	всякой	рекурсивной	константы с су
ществует цифра	i	такая,	что равенство	с = j выводимо
в ограниченной	арифметике.

Мы докажем наше утверждение в следующем виде.

Пусть с — произвольный рекурсивный терм, а с* — терм, полученный из с произвольной заменой всех вхо-

*) Это определение вполне согласуется с определением пред метной постоянной, данным в § 1.

	§	8. О Г Р А Н И Ч Е Н Н А Я АРИФМЕТИКА			299
дящих	в него	переменных	цифрами. Тогда	существует
цифра	i такая,	что равенство	с* = % выводимо	в	ограни
ченной	арифметике. Мы считаем при этом, что в				случае,
когда	с не имеет переменных, с* совпадает с с.

Это утверждение мы будем доказывать по индукции, соответственно правилам образования рекурсивных тер мов. Для исходных рекурсивных термов наше утвержде ние очевидно, так как 0 есть цифра; переменная после замены ее цифрой превращается в цифру; функция х' после замены х цифрой также превращается в цифру.

Пусть для рекурсивного терма a(.v), содержащего не которую переменную, например х, и для рекурсивного терма t наше-утверждение справедливо. Покажем, что тогда оно справедливо и для терма

a(t).

Если мы заменим в этом терме все					переменные	цифра
ми, то получим терм, который				можно представить		в виде
			а* (О.
где	t* есть	результат	замены переменных в t цифрами,
а а*	есть	результат	замены	всех	переменных	в а(х),

кроме х, цифрами. По условию для t существует цифра I* такая, что равенство t* = I* выводимо в ограниченной

арифметике.
Но формула
	Г =	5-сГ(1*) = сГ(Л
выводима	из аксиом	равенства,	без применения аксио
мы полной	индукции	(см. § 2);	поэтому, применив пра

вило заключения,		мы получим,				что	равенство
			a'(f) =		a'(j')
также	выводимо	в ограниченной арифметике.
Так как a(j) представляет собой результат замены
всех переменных		в а(х)		цифрами, то, по условию, суще
ствует	цифра $ такая, что a(j)					=	j .
Из	равенств
	о'(0		=	а'(8*)	и	a'(s')=g
и аксиом равенства			выводимо		равенство

а* (О = 5 -

300 ГЛ. V. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ А Р И Ф М Е Т И К А

Следовательно, последнее равенство выводимо в ограни ченной арифметике. Так как терм ct*(t*) есть результат произвольной замены переменных, входящих в a(t), цифрами, то для терма a(t) наше утверждение доказано.

Допустим,	далее,	что для термов а(х\, ...,					xn-i)	и
t)(xi, . . . , хп,у)	наше	утверждение			справедливо,		и дока
жем, что тогда оно справедливо				и	для	терма	%(х\, ...
. . . , хп),_ введенного на основании					п. 5.	Возьмем		п—1
произвольных	цифр	5i	Ъп.-\ и		рассмотрим		последо
вательность термов			. . . . . .
	Ши		V-i>	0),
Ulu	0'),		\|(J„		ln-i,	0( f t »). . . .

Докажем, что для каждого члена этой последовательно сти можно определить цифру l*k такую, что выводимо

равенство	-		-
-	K v •••> K-v O ' ^ v	•	\

Докажем это индукцией по индексу k. Мы имеем выво

димое	в	ограниченной				ариф-метике		равенство -
	•	1(5.1.	• • • >		ы-ь	0)=-а(5„			*„_,).
Но, по условию, для a(ji, ..'.,								существует цифра- J*,
такая, что выводимо					равенство
		.....		4h>					.
Следовательно, и равенство
						in-v	° )	=	J ;
также	выводимо			в ограниченной			арифметике.
Допустим,			что		для	. g(ii, , . . ,		j„_b0C">) существует
цифра	^	такая,		что в		ограниченной			арифметике	выво
димо	равенство
				К?,.	•••> •я -,.о»>) =				й-	(1)

Вместе с тем на основании предположения, сделанного относительно функции \>, существует цифра $*+, такая,

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4130 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ