книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

далее множества, элементами которых являются упоря­ доченные тройки (Xi,Xj,Xh), и т.д.; наконец, множества, элементами которых являются упорядоченные наборы из s элементов:

Uи U2, Um,.

Последние множества будут соответствовать отноше­ ниям между s элементами системы. Представителем

В дальнейшем мы будем рассматривать схемы, содер­ жащие только двучленные отмеченные отношения, т. е. отношения между парами элементов. Во многих случаях будем ограничиваться такими схемами, которые пред­ ставляются словами, составленными из символов, при­ чем отмеченным отношением является отношение пред­ шествования в слове, а элементами являются сами сим­ волы. Например,

Здесь отмеченное выражение между элементами выра­ жается следующим образом: а предшествует (3, а пред­ шествует у. Р предшествует у. Для всех остальных пар предшествование не имеет места. Мы будем пользовать­ ся также словами, в которых один и тот же символ мо­ жет повторяться несколько раз. Например,

aabacddc.

Это значит, что мы неявно вводим специальные отмечен­

отмеченным свойством такого типа, называются одина­ ковыми.

Для краткости в дальнейшем мы будем вместо тер­ мина «схема систем» употреблять термин «конфигура­ ция».

Рассмотрим примеры конфигураций.

1. Каждое натуральное число п может рассматри­ ваться как конфигурация, содержащая п элементов; от­ меченные свойства и отношения в этой конфигурации вовсе не определены. Все представители такой конфигу-

рации с одинаковым числом элементов изоморфны, по­ этому такая конфигурация может служить определением понятия «число элементов».

2. Конфигурация содержит п элементов, и между ними отмечено единственное отношение, выражаемое тер­ мином «Л; предшествует у». Условия, или аксиомы, опре­

в котором отношение «х предшествует у» означает: «х расположено левее у в написанном слове».

Далее определяются конструктивные классы конфи­ гураций и конструктивные операции над конфигурация­ ми, причем эти определения должны подчиняться сле­ дующим требованиям. Для каждого элемента конструк­ тивного класса принадлежность его этому классу, исходя из определения, устанавливается посредством принципи­ ально осуществимой совокупности действий. Пусть кон­

должны давать принципиально осуществимый способ по­

конфигураций, принадлежащих к определенным классам. Для различных переменных 91* и 91,- классы конфигура­ ций, для которых операция Т определена, могут ока­ заться различными.

Простыми примерами конструктивных классов конфи­ гураций являются класс натуральных чисел п, а также класс рассмотренных выше последовательностей или слов.

Для последнего класса определим операцию 5(21,23), состоящую в приписывании к слову 31 слова 53. Элемен­ тами конфигурации S(3l,23) являются все элементы кон­ фигураций 51 и 33. Для любой пары элементов конфигу­ рации S(3l, 23) определяем отношение порядка. Положим, что каждый элемент, принадлежащий 31, предшествует каждому элементу, входящему в 23. Для пар элементов х и у, входящих в 31 (или в 23), сохраняем те же порядко­ вые отношения «х предшествует у», которые установлены соответственно в конфигурации 31 (или в 23). Легко ви­ деть, что если 31 и 23 представляли соответственно слова

то конфигурация S(2l,23) может быть представлена в виде слова

Х\Х2 ... хпухУг • • • Ут-

Будем записывать описанную операцию S(3I,23) в виде 3123. Конструктивный характер ее вполне очевиден. С по­ мощью этой операции можно, исходя из одноэлементных конфигураций, получить класс всевозможных слов.

Другим примером конструктивной операции является операция

R (31, а, 23),

смысл которой состоит в том, что в слове 31 элемент а всюду, где он входит, заменяется словом 23.

Операция R(%,a, 23), носящая название «операции подстановки», часто будет встречаться нам в дальней­ шем. Мы воспользуемся ею для определения несколько более сложной операции. Определим операцию

Конфигурации, конструктивные классы конфигураций

иконструктивные операции представляют собой тот круг понятий, который мы принимаем за основу всех дальней­ ших построений. Более того, мы исключаем пользование понятиями, не сводящимися к ним. Однако для того, что­ бы полностью исключить пользование бесконечностью в актуальной форме, мы должны ограничить и средства рассуждений над этими понятиями. Классы конфигура­ ций, которые мы ввели, вообще говоря, уже бесконечны,

иупотребление для них таких логических принципов, как «закон исключенного третьего», лишает эти бесконечно­ сти их потенциального характера. Опишем та логические

иматематические принципы, пользование которыми до­ пускается. В пределах рассмотрения одной или любого конечного числа конфигураций для всех рассуждений, проводимых в терминах только элементов конфигураций, свойств и отношений между этими элементами, мы допу­ скаем все логические и математические средства без вся­ ких ограничений. Во всех иных рассуждениях ввиду того, что в них уже может войти бесконечность, мы устраняем из общих логических принципов «закон исключенного третьего». Все остальные логические принципы мы сохра­

няем. В частности, допускается «закон противоречия». Этот закон, как известно, состоит в утверждении невоз­ можности того, что какое-либо высказывание и одновре* менно его отрицание истинны. В силу этого некоторые формы доказательства от противного находят себе место в допускаемых рассуждениях. Понятие «существования» мы употребляем в смысле «возможности построения». Из математических принципов доказательств мы сохраним

26 В В Е Д Е Н И Е

совокупность объектов посредством задания некоторых

принцип полной индукции в применении к данной сово­

рациям. Корректность его относительно идеи потенци­ альной бесконечности не подлежит никакому сомнению. Описанный круг понятий и средств рассуждения представляет собой определенную систему мышления. Рассуждения и построения, проводимые в рамках этой

системы, пользуясь только ее понятиями и принципами, поставить проблемы непротиворечивости и независимости для любых аксиоматических систем. Если бы мы сохра­ нили за аксиомами их прежний смысл, имея в виду нахо­ дить для них интерпретации в круге понятий финитизма, мы только ограничили бы наши возможности решать вопросы, связанные с аксиомами, так как финитизм ока­ зывается очень слабым средством для того, чтобы доста­ влять интерпретации для самых простых систем аксиом. Гильберт предложил рассмотреть аксиомы с иной точки зрения. Аксиомы являются определенными высказывани­ ями. Высказывания же, какой бы смысл они не имели, всегда представляют собой сочетание терминов и, может быть, символов, поставленных между собою в какую-то связь. Делая логические выводы, мы переходим от одних сочетаний к другим. Возникает вопрос, нельзя ли дедук­ тивные операции над высказываниями описать в виде механизма в понятиях финитной системы мышления. Бо­ лее точно вопрос ставится так:

может быть представлена как совокупность определен­ ных конфигураций, а выводимые из них следствия об­ разуют конструктивный класс конфигураций. Оказа­ лось, что подобное представление высказываний и ло­ гических заключений вполне возможно. .

Предположим, что мы определили некоторый класс

рые мы называем аксиомами. Пусть вместе с тем указаны и конструктивные операции, представляющие со­ бой логические операции вывода. В таком случае всю полученную систему мы будем называть формализмом, формальной логической системой, дедуктивным исчис­

зываются формулами. Операции, представляющие со-

ном исчислении). В формализме могут фигурировать и

Вопрос о непротиворечивости ставится в таких ис­ числениях, для формул которых определено понятие формального отрицания, состоящее в том, что каждой формуле приводится некоторым образом в соответст­ вие другая формула, называемая ее отрицанием. Мы

28 В В Е Д Е Н И Е

данная аксиома выводимой в формализме, который от­ личается от рассматриваемого тем, что из списка его аксиом эта аксиома удалена? Или, говоря коротко: вы­ водима ли данная аксиома посредством правил форма­

гурации, а введенные для обозначения каких-либо по­ нятий, касающихся исчисления, часто называют мета­ логическими символами. Аналогичным образом говорят о металогических рассуждениях.

Заметим также, что ограничения, о которых мы го­ ворили при описании финитизма Гильберта, ни в коей мере не распространяются на понятия и выводы внутри самих исчислений. Эти ограничения (в частности, огра­ ничение использования закона исключенного третьего) касаются только средств описания формализмов и рас­ суждений о формализмах.

Р а с с м о т р и м п р и м е р и с ч и с л е н и я . Предварительно опишем некоторую систему выска­

ных, действительных, комплексных — не имеет значе­ ния). Каждая малая латинская буква изображает произвольное число. Назовем эти буквы переменными, принимающими числовые значения. Будем рассматри­ вать действия сложения и умножения чисел и равенство чисел, обозначая их обычным образом. Выпишем исход­ ные равенства, истинные для всех значений входящих в них переменных.

1. а-\-Ь = Ь-\- а,

Опишем теперь предложенную систему в виде фор­ мализма. Определим сначала конфигурации, соответ­ ствующие числовым выражениям и равенствам. Основ­ ной запас элементов конфигураций состоит из следую­

класс слов, которые мы называем термами. В приве*

Мы условимся, ради краткости, внешних скобок не писать.

Равенства определяются как слова вида

где а и р — произвольные термы.

Формулами в нашем формализме являются равен* ства. Терм формулой не является, так как он соответ­ ствует не высказыванию, а числу.

30 В В Е Д Е Н И Е

В качестве аксиом нашего формализма мы примем выписанные выше формулы 1—5. Приняв аксиомы за исходные выводимые формулы, мы остальные выво­ димые формулы получим посредством правил вывода

операцией подстановки. Это, как мы знаем, конструк­ тивная операция.

равенством.

Операция замены одного терма другим термом так­ же является конструктивной. Ее смысл и финитно осу­ ществимый характер вполне очевидны.

Введением аксиом и правил вывода мы определили конструктивный класс выводимых равенств.

Формальная трактовка системы числовых аксиом показывает, что можно отвлечься от содержания этих аксиом, рассмотрев их просто как слова, а правила ло­ гических заключений — как операции над этими сло­ вами. Если мы не будем сопоставлять полученный фор­ мализм ни с чем лежащим вне его, то он будет представлять собой внутренним образом определенную систему, состоящую из совокупности слов, называемых равенствами. Из них выделены некоторые слова, кото­ рые названы выводимыми равенствами. Это означает только, что они получены из нескольких выбранных слов с помощью определенных правил.

Для приведенного формализма вопрос о непроти­ воречивости не может быть поставлен ввиду того, что в нем нет отрицания. Но мы можем для него поставить другой вопрос, который имеет известную аналогию с вопросом непротиворечивости. Назовем формализм