книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

3.Индивидуальные предметы являются предметными константами.

4.Результат замены некоторых, но не всех, предмет­ ных переменных в предметной функции индивидуаль­ ными предметами является предметной функцией.

5.Результат замены всех предметных переменных в предметной функции индивидуальными предметами яв­ ляется предметной константой.

Примеры предметных функций и предметных кон­ стант:

Предметные переменные, предметные функции и предметные константы будем называть термами. Введя в исчисление предикатов термы, мы расширим также и правила образования формул. Именно, к элементарным формулам присоединим слова, полученные заменой про­ извольной предметной переменной в элементарном пре­ дикате любым термом.

Так, например, слова

являются элементарными формулами; в остальном пра­ вила образования формул не меняются.

Заметим, что сами термы формулами не являются.

Это соответствует и содержательному смыслу этих по­ нятий: терм представляет собой предмет, а формула — высказывание о предметах. Подобно тому как для фор­ мул мы употребляем металогические обозначения в виде больших готических букв, будем обозначать термы

Далее мы расширим правила подстановки. Мы будем теперь формулировать правило подстановки в предмет­ ную переменную следующим образом.

и расширением правил подстановки в указанном выше смысле, будем называть расширенным исчислением пре­ дикатов. Очевидно, что все производные правила, выве­ денные нами для исчисления предикатов, распростра­ няются как на расширенное исчисление предикатов, так

ина любую систему, полученную присоединением к рас­ ширенному исчислению предикатов каких угодно аксиом

иновых правил образования выводимых формул. Спра­ ведливость этого ясна, так как все аксиомы и правила вывода исчисления предикатов, на основании которых выведены производные правила, во всех случаях сохра­ няются.

Выражение Ь- 21, которое означает, что формула 21 выводима в исчислении предикатов, мы будем употреб­ лять теперь и для формул, выводимых в расширенном исчислении предикатов, и в других формализмах. Сме­ шения смысла в употреблении этого символа для раз­ ных формализмов не может произойти, так как из кон­ текста всегда будет видно, в каком формализме выво­ дится данная формула.

§ 2. Свойства предиката равенства и предметных функций

Выведем основные свойства предиката равенства

Применив затем правило заключения, получим требуе­ мую формулу:

Из этой формулы и выведенной нами формулы (1), при­ менив правило силлогизма, получим требуемую фор* мулу:

где 21(a) и 21(c) получены заменой любой переменной х, входящей в формулу 21.

Всамом деле, сделав подстановку в формулу

х= у -> (А (х) ~ А (у)),

имеем сначала

затем

H a = c->(2l(a)~2t(c));

так как имеет место (—a = с, то, применив правило заклю­ чения, получим

Ь 21 (a) ~ 21 (с).

Отсюда следует, что если формула 21 (а) выводима в исчислении, содержащем аксиомы равенства, то формула 21(c), полученная из предыдущей заменой терма а рав­ ным ему термом с, также выводима в этом исчислении.

Заметим, что при замене терма, входящего в форму­

Ь21 (а, а ) - 2 1 (а, с).

Всамом деле, возьмем переменные х и у, не вхо­

так что, заменив а только в одном месте на с, мы полу­

Ь- Vx А (х) -> А (а (и, v)).

Применив дважды первое правило связывания кванто­ ром и переименовав связанные переменные, получим формулу (6). Очевидно, аналогичную выводимую фор­ мулу можно получить для функции а с любым числом переменных.

Заменив во второй аксиоме равенства A (t) на а (х) =

=а (t), получим

\- х = у -> [а (х) = а (х) -> а (х) = а (у)].

Переставив посылки, получим 1- а (х) = а (х) -> [х = у -> а (х) = а (у)].

Удалив, наконец, выводимую посылку, получим фор­ мулу (7).

Применив к формуле (9) и последней формуле правило силлогизма, получим

х = и - > {9 (и, у) = 9 (и, и) -> 9 (х, г/) = 9 ("> »)}•

Переставив в этой формуле посылки, получим формулу 9 (и, у) = 9 (и, v) -» {х = и -> 9 (х, г/) = 9 (н, о)}. (11)

Применив правило силлогизма к формулам (10) и (11), получим

y = v->{x = u-+Q(x, г/) = 9(«, v)).

Соединив посылки в произведение и переставив множи­ тели, получим формулу (8).

Содержательный смысл последних теорем состоит в

В математике постоянно приходится иметь дело с отно­ шениями, выражающими то или иное сходство между рассматриваемыми объектами. Таковы, например, ра­ венство чисел, подобие геометрических фигур, логиче­ ская эквивалентность высказываний и другие. Назовем эти отношения отношениями эквивалентности, употреб­ ляя здесь термин «эквивалентность» в ином, более широ­ ком смысле, чем термин «эквивалентность формул», ко­ торым мы все время пользовались в определенном спе­ циально логическом смысле.

разделяется на классы, состоящие из различных эле­ ментов, так что все элементы одного класса эквивалент­ ны между собой и любые два эквивалентных элемента принадлежат одному и тому же классу.

П р и м е р . Пусть Ж — множество всех целых чисел, a S(x, у) — сравнимость по модулю 3:

х= у (mod 3).

Втаком случае 9JJ разделяется на три класса. Первый

в остатке от деления на 3.

Отношение эквивалентности может быть выражено формулами исчисления предикатов. Для этого надо записать в виде аксиом его свойства, т. е. рефлексив­ ность, симметрию и транзитивность. Обозначим отно­ шение эквивалентности знаком ж. Тогда аксиомы эквивалентности запишутся так:

1. X ^ X,

3. х « у -> [у ^ z -* х ~ г].

Отношение равенства обладает теми же свойствами, причем свойство рефлексивности совпадает с первой аксиомой равенства, а остальные два — симметрия и транзитивность, — как мы видели, в расширенном исчис­ лении предикатов являются следствиями из аксиом ра­ венства.

В содержательной математике и в наивной теории множеств существует один особый вид отношения экви­ валентности, именно тождественность. Смысл этого по­ нятия состоит в том, что если х и у тождественны, то они обозначают один и тот же объект. Ясно, что в этом случае каждый из классов, на которые разбивается Ш, состоит только из одного объекта. Если рассматривать исчисление предикатов с точки зрения наивной теории

раз, что вторая аксиома равенства имеет следующий со­ держательный смысл: «если х тождественно у , то все, что

можно высказать об х, можно высказать и об у».

Можно формально доказать, что если два предмета тождественны, то они эквивалентны. Точнее говоря, можно вывести из аксиом равенства и эквивалентности формулу

х = у-+х у.