книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

272 ГЛ. IV . И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В

Рассмотрим произвольную совокупность значений

переменных х,, ...,хк взятых из области tu ...

Каждая такая совокупность значений представляет со­ бой одну из групп

Пусть номер этой группы равен /. Формула

так как отрицание тождественно истинной формулы не

которая выводима в исчислении высказываний, а следо­ вательно, и в исчислении предикатов. В таком случае и формула 3)/0, которая представляет собой

Уk ... V//o m (5/„

также выводима в исчислении предикатов (это устанав­ ливается путем последовательного применения произ­ водного правила связывания квантором). Но мы знаем, что каждая формула

£>,--> 91

выводима в исчислении предикатов; поэтому формула 91' также выводима в исчислении предикатов, что и требо­ валось доказать.

§ 20. Системы аксиом в исчислении предикатов

Содержательный смысл формул, выводимых в исчисле­ нии предикатов, достаточно полно установлен в главах I I I и IV. Эти формулы представляют собой тождественно истинные высказывания, иными словами, логические

формула является выводимой в исчислении предикатов (см. § 19).

Из сказанного ясно, что в исчислении предикатов нельзя вывести никакое сколько-нибудь содержательное

тов присоединить какие-либо невыводимые формулы в качестве новых аксиом (сохраняя те же правила выво­ да), то получится другое исчисление, в котором выводи­ мы, помимо тождественно истинных формул, и другие формулы.

Добавление к системе аксиом исчисления предика­ тов новых аксиом такого вида, как мы до сих пор рас­ сматривали, хотя и расширяет ее содержание, но не слишком значительно. Примером подобного расширения системы аксиом исчисления предикатов является до­ бавление рассмотренной выше формулы

Зх F (х) -> Ух F (х),

не выводимой в исчислении предикатов. Содержатель­ ный смысл этой аксиомы состоит в утверждении, что все предметы тождественны.

предметов и предикатов. Именно, как предметы, так и предикаты разделялись на переменные и индивидуаль­ ные. В исчислении предикатов мы до сих пор имели дело только с переменными предметами и предикатами. Чтобы расширить область применения исчисления пре­ дикатов и получить возможность посредством аксиом описывать настоящие математические дисциплины, не­ обходимо и в исчислении предикатов ввести индивиду­ альные предметы и индивидуальные предикаты.

Для индивидуальных предметов мы не введем ни­ каких специальных символов. Мы будем для них упо­ треблять также малые латинские буквы, оговаривая каждый раз, какие буквы мы называем индивидуаль­ ными предметами. Если никакой оговорки не сделано, то мы будем считать, что имеем дело с переменными предметами. Чаще всего для обозначения индивидуаль-

ных предметов мы будем употреблять начальные буквы алфавита. В некоторых случаях индивидуальные пред­ меты мы будем обозначать иными символами, например цифрами. Точно так же введем в формализм и инди­ видуальные предикаты. Мы будем употреблять для них те же символы, что и для переменных предикатов, с со­ ответствующей оговоркой, или же будем их изображать посредством символов, имеющих общепринятый вид. Так, например, индивидуальный предикат от двух пере­ менных, носящий название «предиката равенства», мы будем изображать символом = , а другой индивидуаль­ ный предикат, называемый «предикатом порядка», — символом < .

Понятие элементарной формулы также несколько расширяется. К элементарным формулам добавляются выражения вида

метными переменными, так и индивидуальными предме­ тами. Элементарные формулы вида F(xu хп), если они содержат предметные переменные, мы также будем называть предикатами (переменными или индивидуаль­ ными, соответственно тому, чем является предикат F)t Для индивидуальных предикатов мы будем иногда пи­ сать эти элементарные формулы иначе. Так, предикат равенства мы будем записывать в виде

х = у (а не = (х, у)),

а предикат порядка — в виде

х<у.

В остальном определение формулы остается без измене­ ний. Следует только заметить, что на индивидуальные предметы не распространяется операция связывания квантором.

Правило подстановки в переменный предикат требует некоторого уточнения.

Подстановка

где F — переменный предикат от п переменных, пред­ ставляет собой замену каждого выражения вида

Все аксиомы исчисления предикатов и все правила вывода, кроме правила подстановки в свободные пред­ метные переменные, остаются прежними. Правило под­ становки в предметные переменные расширяется и фор­

Сохраним за полученной системой название исчисле­ ния предикатов. Легко видеть, что внесенные в систему исчисления предикатов дополнения по существу ничего не меняют. Аксиомы исчисления предикатов не содержат индивидуальных предметов и предикатов. Если мы вы­ вели формулу, в которой мы различаем индивидуаль­ ные и переменные предметы и предикаты, то этот вывод был бы правильным и в предположении, что все входя­ щие в формулу предметы (кроме, конечно, связанных предметных переменных) и все предикаты переменные. Это утверждение справедливо потому, что всё изменение в правилах вывода состоит только в ограничении их применения к индивидуальным предметам и предикатам. Таким образом, введенные дополнения ничего не дают для самого исчисления предикатов. Однако они оказы­ ваются весьма существенными для построения абстракт­ ных логических исчислений, предназначенных для описа­ ния не логических, а математических дисциплин. Пусть

2ti> Щ ^ге

— формулы исчисления предикатов, которые теперь мо­ гут содержать как переменные, так и индивидуальные предикаты и предметы. Присоединим эти формулы к

аксиомам исчисления предикатов, сохранив прежние правила вывода. Тогда мы получим некоторую формаль­ ную систему, в которой выводимы все выводимые фор­ мулы исчисления предикатов, но вместе с ними выводи­ мы и другие, не выводимые в исчислении предикатов формулы. Это всегда имеет место, если хотя бы одна из формул 21, не выводима в исчислении предикатов.

Для примера рассмотрим уже встречавшуюся нам в главе I I I систему аксиом равенства. Положим, что к аксиомам исчисления предикатов присоединены следую­ щие аксиомы:

1. X = X

2. х = (А (х) -» А (у)).

Вэтих аксиомах предикат х = у индивидуальный, а

предикат А (х) переменный. Легко видеть, что ни одна из этих аксиом не может быть выведена в исчислении предикатов. В самом деле, формулы, выводимые в ис­ числении предикатов, не содержат индивидуальных пре­ дикатов. Поэтому, если бы формула х — х была выве­ дена в исчислении предикатов, то предикат х = х можно было бы рассматривать как переменный предикат. Но доказуемость элементарного переменного предиката не­ возможна, так как она немедленно приводит к противо­ речию. Подставляя вместо х — х формулу х = х, мы также получили бы выводимую в исчислении предика­ тов формулу и тем самым получили бы противоречие в самом исчислении предикатов. Аналогичным образом можно показать и невыводимость второй формулы в ис­ числении предикатов. Мы покажем дальше, что из аксиом 1 и 2 можно формально вывести основные свой­ ства равенства.

Посредством присоединения к аксиомам исчисления предикатов других аксиом мы можем описывать различ­ ные математические дисциплины. Таким образом могут быть описаны арифметика, теория двойственных чисел, геометрия и, наконец, теория множеств в очень широких пределах. Вообще, любая дедуктивная система может быть выражена указанными средствами. Так что, в сущ­ ности, нет никакой необходимости построения иных фор­ мализмов.

Вместе с тем рассмотрение любой системы аксиом вызывает необходимость решить вопрос о ее внутренней

непротиворечивости. Этот вопрос, как мы видели, яв­ ляется очень существенным, так как всякая внутренне противоречивая система рассматриваемого типа отли­ чается тем свойством, что в ней все. формулы являются одновременно истинными и ложными. Поэтому она не пригодна ни для каких познавательных целей. Вопрос непротиворечивости, однако, связан с особыми, не впол­ не преодоленными трудностями. Дело в том, что если мы проведем какое-либо доказательство непротиворечи­ вости определенного исчисления, то само это рассужде­ ние уже должно основываться на таких предпосылках, которые сами не могут быть выведены из аксиом данной системы. (Всякое рассуждение, и в том числе любое рассуждение о непротиворечивости какой-нибудь систе­ мы, может быть формализовано и представлено в виде дедукции из аксиом, выражаемых формулами исчисле­ ния предикатов.)

Итак, чтобы доказать непротиворечивость какоголибо исчисления, необходимо употребить предпосылки, не выводимые из аксиом данного исчисления. Таким образом, для решения вопросов непротиворечивости ока­ зывается необходимым иметь возможность черпать из какого-то источника все более и более сильные предпо­ сылки такого рода, что в непротиворечивости их самих мы уже имеем полную уверенность. Можно было бы думать, что такого рода предпосылки представляет со­ бой та финитная система рассуждений, в рамках кото­ рой мы определяем логические системы и ведем о них рассуждения. Но оказывается, что уже для доказатель­ ства непротиворечивости арифметики финитизма Гиль­ берта не хватит. Практическим источником предпосылок, употребляемых в настоящее время для решения вопро­ сов непротиворечивости достаточно сильных математи­ ческих теорий, остается теория множеств, и доказатель­ ство непротиворечивости какой-либо системы выглядит следующим образом: мы доказываем, что если теория множеств в тех или других размерах является непроти­ воречивой, то и данная интересующая нас система так­ же непротиворечива.

Такого рода рассуждения бывает возможно делать опять-таки в рамках финитизма Гильберта, так как и теорию множеств в той мере, в какой нам нужно, и ис-

следуемую систему мы уже можем описать аксиомати­ чески и даже средствами исчисления предикатов. Таким образом, вместо вопроса о непротиворечивости данной системы мы решаем более слабую задачу — сведение проблемы непротиворечивости рассматриваемой системы к проблеме непротиворечивости некоторой формальной теоретико-множественной системы.

Существует возможность высказать принципы, по­ зволяющие создавать предпосылки для доказательства непротиворечивости мощных формальных систем и, мо­ жет быть, даже теоретико-множественных систем. Вме­ сте с тем эти принципы таковы, что непротиворечивость самих предпосылок принципиально гораздо более обо­ снована, чем это имеет место для теоретико-множествен­

допускает финитизм Гильберта.

Помимо вопроса о непротиворечивости системы аксиом, всегда возникает вопрос о независимости аксиом, т. е. о невыводимости каждой аксиомы из осталь­ ных. В вопросе независимости аксиом никаких новых принципиальных трудностей нет. Вообще вопрос о не­ зависимости аксиом обычно ставится для непротиворе­ чивых систем или для таких систем, непротиворечивость которых предполагается. В последнем случае в вопросе о независимости аксиом ограничиваются сведением это­ го вопроса к непротиворечивости данной системы.

Хотя, как мы сказали, у нас нет никакой принци­ пиальной необходимости для описания математических дисциплин выводить какое-либо изменение в символах, формулах и правилах вывода исчисления предикатов, тем не менее ради удобства в некоторых случаях разум­ но прибегать к различным видоизменениям в указанном направлении.

В дальнейшем для описания арифметики мы расши­ рим совокупность символов исчисления предикатов, введя еще новые символы. Введение новых символов повлечет за собой расширение понятия формулы и по­ требует соответствующего изменения формулировок пра­ вил вывода.

Г Л А В А V

АКСИОМАТИЧЕСКАЯ АРИФМЕТИКА

§ 1. Термы. Расширенное исчисление предикатов

В этой главе мы дадим описание арифметики в фор­ ме аксиоматической системы. Как мы уже указывали в конце предыдущей главы, мы могли бы получить такое описание, присоединив к исчислению предикатов (содер­ жащему индивидуальные предикаты и предметы) неко­ торые новые аксиомы. Однако такое изложение было бы громоздким и неудобным. Поэтому, прежде чем напи­ сать аксиомы арифметики, мы произведем дальнейшее расширение исчисления предикатов, введя в него новые символы. Эти символы представляют собой маленькие греческие буквы:

а, р\ . . . , ф, яр, . . .

Вместе с предметными переменными и индивидуальны­ ми предметами они образуют слова, которые мы будем называть предметными функциями и предметными кон­ стантами. К ним относятся слова следующего вида:

а{х), р(х, у), лр(х-,, х2, хп), т)(а), | ( а , Ь), . . . (1)

Эти выражения составляются так же, как и предикаты

2. Результат замены предметных переменных в пред­ метной функции предметными функциями является так­ же предметной функцией.