Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4127 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

§ 17. П Р О Б Л Е М А ПОЛНОТЫ И С Ч И С Л Е Н И Я П Р Е Д И К А Т О В

261

Доказанную теорему можно сформулировать сле дующим образом:

Если все конечные произведения Ц %t множителей

				оо		2=1
бесконечного	произведения			оо	%п	конечных	формул 21г
бесконечного	произведения			Д	%п	конечных	формул 21г
		оо
выполнимы,	то и	JJ %п	является			выполнимой	формулой.
		П=1		оо
				оо
В самом	деле,	если	бы	JJ	91„ оказалась		невыполни-
		оо		№=1
		оо

мой формулой, то 2 Я„ была бы тождественно истин-

ной. Но тогда в силу доказанной теоремы существует

N _

такое N, что и сумма 2 21„ тождественно истинна.

п= 1

Атогда отрицание этой формулы, равносильное формуле

Ц 21„, было бы невыполнимой формулой, что противо-

№=1	условию.
речит	условию.
§ 1 7 .	Проблема полноты	исчисления предикатов
в широком смысле
При	рассмотрении логики предикатов с содержатель
ной точки зрения (глава		I I I ) мы ввели понятие тожде

ственно истинной формулы, отвечающей, по своему смыслу, понятию «тавтологически истинного высказыва ния». С другой стороны, в исчислении предикатов мы имеем также понятие выводимой формулы. Возникает вопрос о сравнении этих двух понятий. Как мы указы вали выше, всякая выводимая в исчислении предикатов формула является также и тождественно истинной в со держательном смысле (см. § 4).

Возникает обратный вопрос: будет ли всякая тож дественно истинная формула выводима в исчислении предикатов! Этот вопрос носит название проблемы пол ноты исчисления предикатов в широком смысле. Мы увидим в § 19, что проблема полноты в широком смысле решается положительным образом. Надо, однако,

262 Г Л . I V . И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В

заметить, что при решении вопроса о полноте исчисле ния предикатов в широком смысле мы не можем огра ничиться средствами рассуждения финитной металогики ввиду того, что в самую постановку вопроса входит по

нятие	«тождественно истинной формулы»,				включающее
в себя рассмотрение всех интерпретаций.
Сделаем еще одно замечание технического порядка.
Если	две	формулы	дедуктивно	эквивалентны,	то из того,
что одна		из них тождественно истинна, следует,				что и
другая		также тождественно		истинна. В	самом	деле,
пусть	21	и 23 — дедуктивно эквивалентные			формулы и
21 — тождественно			истинная	формула. Как	мы видели,

все формулы, выводимые из тождественно истинных формул, также являются тождественно истинными фор мулами. В силу дедуктивной эквивалентности 23 выво дима из аксиом исчисления предикатов и формулы 21; поэтому 23 также является тождественно истинной формулой. Кроме того, если 21 и 23 дедуктивно эквива лентны и 21 — выводимая в исчислении предикатов фор мула, то 23 также выводима в исчислении предика тов. Последнее вытекает из определения дедуктивной эквивалентности.

Из всего сказанного следует, что при решении во проса о полноте исчисления предикатов в широком смысле можно ограничиться рассмотрением только нор мальных формул Сколема. В самом деле, допустим, что мы доказали, что всякая тождественно истинная нор мальная формула Сколема выводима в исчислении пре дикатов. Пусть 21 — произвольная формула, а 21* — ее нормальная форма Сколема. Если 21 тождественно ис тинна, то 21* также тождественно истинна. Но тогда 21* выводима в исчислении предикатов, а следовательно, дедуктивно эквивалентная ей формула 21 также выво дима в исчислении предикатов.

§ 18. Замечание о формулах без кванторов

Формула исчисления предикатов, которая не содержит кванторов, может быть в известном смысле рассмотрена как формула исчисления высказываний и как формула алгебры высказываний. Для этого надо только входя щие в нее переменные предикаты рассматривать как

§ 18. З А М Е Ч А Н И Е О ФОРМУЛАХ БЕЗ	К В А Н Т О Р О В	263
переменные высказывания, только	обозначенные	осо-

бым образом. При этом мы будем считать, что такие

переменные высказывания, представляемые	переменны
ми предикатами, одинаковы тогда и только	тогда, ко*
гда выражающие их предикаты полностью	одинаковы,
т. е. совпадают графически.
П р и м е р ы .
1. Формулу

F(x)^F(x)&F(y)

мы будем представлять себе как формулу исчисления высказываний, где F(x) и F(у) — переменные высказы вания и при этом различные. В обычном написании та кая формула имела бы вид

А^А&В.

2. (F (х, y)->F (х, х)) V (F(y, y)->F (х, у)).

Эта формула, рассмотренная как формула исчисления высказываний, в обычном написании имела бы вид

	(A-*B)V(C->A).
3. (А V F(x))&(B	VF(y)).

Этой формуле, рассматривая ее как формулу алгебры высказываний, мы могли бы дать такой вид:


	(Л V С) & (В V D).
Пусть	21 — формула		исчисления	предикатов,	не со*
держащая	кванторов. Допустим, что эта формула,				рас
смотренная	как формула		алгебры	высказываний,	яв
ляется выполнимой.		Это значит,		что при некоторых
значениях	переменных	высказываний она принимает зна

чение И. Тогда можно так заменить переменные выска зывания и переменные предикаты значениями И и Л, соблюдая условие, что одинаковые высказывания и предикаты заменяются одинаковым образом, что полу чится формула, принимающая значение И. В таком случае, возвращаясь к рассмотрению этой формулы как формулы исчисления предикатов, мы можем утвер* ждать:

Заменив	предметные	переменные формулы		предме
тами любой	области	с таким условием,	что	разные

264	ГЛ. IV . И С Ч И С Л Е Н И Е		П Р Е Д И К А Т О В
переменные заменяются разными			предметами,	можно	най
ти такие	предикаты,	определенные на этой области,			для
которых	полученная	формула	принимает	значение	И.

Выбор области ограничен только тем, что число содержащихся в ней предметов должно быть не меньше,

чем число различных предметных переменных,	входя
щих в формулу. Таким образом, произвольная	область,

содержащая бесконечное множество предметов, может быть использована в указанном смысле для любой фор мулы, не содержащей кванторов.

Если формула 91, рассмотренная как формула ал гебры высказываний, является тождественно истинной, то как формула исчисления высказываний она выво дима в исчислении высказываний. Но тогда эта фор мула, рассмотренная вновь как формула исчисления предикатов, выводима и в исчислении предикатов, так как она получается подстановками в выводимую фор


мулу исчисления			высказываний.
В дальнейшем для краткости, вместо того чтобы го
ворить	«формула		91, рассмотренная			как	формула	исчис
ления	высказываний,			выводима	в	исчислении		высказы
ваний»,	мы будем говорить: «формула						91 выводима		в
исчислении		высказываний».
§ 19. Теорема Гёделя
Т е о р е м а		Г ё д е л я .		Всякая	тождественно			истинная
формула логики предикатов является выводимой в									ис
числении		предикатов.

Для доказательства этой теоремы мы введем некото рые обозначения и докажем предварительно лемму. Из теоремы Сколема и замечания, сделанного в § 17, сле дует, что для доказательства теоремы Гёделя достаточ но рассмотреть только нормальные формулы Сколема.

Пусть	91 — нормальная	формула Сколема. Тогда
она имеет вид
31 . . . 3 * V # i . . . \fymm(xu		xk,yu	ym). (1)
Введем	последовательность	новых символов	предмет-

ных переменных:

^о>	• • •> tn, . . .

§ 19. ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ	265
Рассмотрим всевозможные группы (ti{,	tifi) из k

символов этой последовательности и расположим эти группы в последовательность так, чтобы группы с боль шей суммой индексов ц + i2 + .. . + ih следовали за группами с меньшей суммой индексов, а группы с оди наковой суммой индексов были упорядочены как-ни* будь, например лексикографически:

(^о> ^о> • • • > ^о>)> (Аз> • • • > to, t\)y (to t\, to), • • •

' • •' 04• • • •> 4)> '''

Пусть	j-я	группа		этой	последовательности		есть
(ti, ti2,	tiky	Введем		следующие		обозначения:
23/	обозначает		формулу
		tik,	t(j-\) m+i,		t(j-i)m+2	tjm),	(2)
						I
Sy	обозначает		формулу 23! V 232 V • • • V 33/,
3)y	обозначает		формулу		W 0 • • • Wym S/.

Выпишем подробнее формулу Dy:

Vt0

... Vt!m

(23! (t0,

, tQ,tu

tm) V

V 232

(to, • • • > ti, tm+i,

. . ., t2m)

V • • •

. . .

V23/(^-i ,

tik,

^ / _ ! ) m + i ,

t]m)). (3)

Легко видеть, что при данном способе нумерации

групп

t i , . . . ,

tjk

индекс

( / — l ) m + l превосходит

индексы

itl

элементов /-й группы. Действительно,

индекс

каждого

элемента,

входящего

в группу,

всегда

меньше,

чем

номер

группы.

Таким

образом,

формула

т. е. 23| V 232 V

• • • V 29/—i,

не содержит

переменных

f(/-Dm+i» •••> tjm,

а формула

(5у содержит

только

пере

менные

t0,

tjm.

С другой

стороны, Sy содержит

каждую

из этих переменных, так как 23[ содержит пере

менные t0, tu

tm, 232 содержит переменные tm+u

t2in

и т. д., наконец, 23у- содержит переменные ^у-ц т + и

• • •> hm-

Таким образом, связывание формулы 23j V 232 V • • • V 23у всеми кванторами V/0 , Vtfym имеет смысл.

266

ГЛ. IV . И С Ч И С Л Е Н И Е

П Р Е Д И К А Т О В

Л е м м а

Формула

Ущ

. . . V«„ (Л (ы„ .. ., «„) V В (ы,,

. . . . «„)) - *

V«, .. • Vuk . . .

V H „ (Л («i

ив ) V

З А - ,

. . . Зхк В ( А - , ,

. . . ,

xk, u k + b

ип))

(4)

является

выводимой

формулой

исчисления

предикатов.

Имеем

В ( « 1 , . . . , « „ ) - >

- > 3 х , . . . З

А : ^ ^ . ,

A T F E ,

wf e + I

«„)• (5)

Рассмотрим выводимую формулу исчисления высказы

ваний

(С-*£>)-> (Л V С-> Л V Я).

Посредством

подстановок

в эту формулу

получим

Н (£(«,,

. . . , «„)->

- ^ З А Г ,

. . . 3xkB{x

xk,

uk + l ,

ип))->

-* (А (и„ . . . , и„) V А ( « 1 , • • • .

ип)^А

(щ,

ип)у

V ЗА-, . . .

3xf e В (A-B . . . ,

xk,

u k + l ,

...,

ип)).

(6)

Применив

правило

заключения

к формулам

(5) и (6),

находим

I - Л (ы„

. . . . .«„) V В ( « 1 . • •

• • ип)->

А (и,,

.. .,

«„) V

V3A-, . . .

З А Й В ( А - , ,

- ь

и л +

„

. . . ,

ип).

(7)

Далее, применив

выводимой

формуле

Vuj

. . . V o n M ( o j

о„) V B ( o i ,

о„))->

—• Л («,,

. . . ,

«„) V

• • - ,

Ид )

и формуле (7) правило силлогизма,

получим

Voi

. . . Vu„ (Л (и„ . . . . t»„) V В (oi

v„)) -*

Л («!,

. . . ,

«„) V 3Xi ...

3A;f e fi

( А ' , ,

« „ ) .

Применяя к этой формуле последовательно п раз пер вое правило связывания квантором и переименовывая связанные переменные, получим формулу (4).

Заметим, что если некоторые из переменных		«* со
впадают между собой и число	кванторов V H , -	тем са
мым меньше п, то доказанная	формула остается	выво-

19.

ТЕОРЕМА ГЕДЕЛЯ

£6?

димой.

При

этом

можно

считать,

что

переменные

хи

. . . ,

Xh, связанные кванторами

существования,

меж

ду собой не совпадают.

П р и м е р .

У и (А (и,

и) у

В [и,

и))

V H (Л (и,

и) V Зх{

Зх2

В (хь

х2) .

Доказательство для этого случая остается тем же

самым.

Для

каждого

/ выводима

формула

Л е м м а

3)/ - *Я,

(8)

где

21 есть формула

(1).

Мы докажем лемму индукцией по номеру /. Легко

убедиться, что выводима формула

v*0 v*, . . .

vtmm(t0,

. . . , * „ , * ,

и-*

- * 3 х , . . . 3 x f t W ,

. . . VtmW(x

, xk,

ts,

tm)

или, если

изменить

обозначения

переменных,

V / 0 W i . . .

Vtmyfl(t0,

tQ,

t,,

t,n)->

- » 3 x ,

. . .

Эх^Уу,

...

\/утШ(х1,

...,

xk,

ym).

Принимая во внимание (1) и (2), эту формулу можно записать так:

25, -> 21.

Покажем, что если формула (8) выводима для / — 1, то она выводима и для /. Пусть

				Ь-!>/_,-> 91.
В силу		(2)	формула	имеет		вид
			W „ . . . W„„[G/-i V23; ].					(9)
Мы	видели, что переменные				/ (	/ _ D , n + I ,	tjm не	вхо
дят	в формулу			В силу	этого
V / { / _ „ m +		l	••• W , „ , [ g W V i B / I ~
			~ S H V V /		, W	) « + i . . . V / / „ 8 / >		(10)
так как		(£/_[ можно		вынести	за	кванторы W ( / _ i ) m + i , ...
	V'tjm.		Выпишем	более	подробно		формулу	(9),

268

Г Л . I V . И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В

эквивалентную 3),-, принимая во внимание (10):

V/ 0 \ft,

. . . V / ( / - 1 ) m [ 0 7 _ ,

(t0,

t u - l ) m )

W ( / _ i ) m + i . . .

Vtjm'$i(tii,

t[k, /(/ _ i) m +i,

tim)],

где ti ,

tik — переменные /-й группы. Они также

свя

заны кванторами, так как находятся

в числе

перемен

ных

to,

t(i-\)m.

Некоторые из этих переменных мо

гут

между

собой

совпадать.

Применим

формулу

(4):

. . .

V«„ (А («!,

. . . , «„) V В («,, ....

«„)) ->

-> V«! . . . V«A . . . V«„ (Л («i,

. . . ,

ы„) V

V Зхх . . .

3xk В (хь . . . ,

«fe+i,

. . . , ия )),

положив в ней « = (/ — l ) m + 1 и заменив переменные

, «„

переменными

//^

^ / _ i )

теми же переменными t0, tx,

| j - 1 ) m ,

только з

санными в таком порядке, чтобы переменные /-й группы

шли первыми). Кроме того, заменим

в (4)

Л (и,,

и„) на б/ - ,^/, .

^ / _ i ) m ) ,

В («,, . . . ,

н„) на

V/(/_l)m+l ••• Vtjm?&j(tiv

^-fe,

/(/_]) m +

] ,

В результате получим

выводимую

формулу

V/i,

. . .

V / ( / _ I ) m f K / _ , ( ^ i

tu_{)m)y

V V / ( / _ i ) m + i . . . V//m 23/(/;i ,

r,-fe, ^ ( / _ i ) m + i ,

£/m yj->

- > v ^ . . . V / ( / _ , ) m [ S / _ I ( / ( - i

/ ( / _ 0 m ) V

3A"I . . . 3JcftV/(/_D m+i . . .

. . .

Vf/m

З З / ^ ,

X K , / | ц | я

| ,

f/ m )] .

(11)

To, что некоторые из переменных

ti,

tik могут со

впадать

между собой, как мы указывали,

никакого

зна

чения не имеет.

Левая

часть

следования

(11)

эквивалентна

©у.

В правой части второй член логической суммы имеет вид

Зхх

. . . 3 x f t V ^ / _ i ) m + i . . .

. . .

V//m 53y(x1 )

хк,

t(i-i)m+i,

tjm).

		§	19. ТЕОРЕМА		Г Ё Д Е Л Я					269
Заменив	в этой формуле			переменные				/ ( ; _ i ) m + i ,		. , . , tjm
соответственно на у\, ...,				ут,	а	233- — его значением из
(2), получим эквивалентную формулу:
Эх, . . .	3xk	Мух ...	Уут	Ж{хь			xk,	уи	....	ут).
А это не	что	иное,	как формула			91 [(см.			(1)]. Отсюда
следует,	что	правая	часть	следования				(11)	эквивалент
на формуле
		V*„ . . . W ( / _ , ) m ( G / - i					V 21).
Так как 21 не содержит переменных							to, . . . ,		/(j-i)m,	то его

можно вынести за все кванторы. Тогда получится фор мула

Я V Wo, . . . . V/( / _„m 6/ - „

опять-таки эквивалентная правой части следования (11),

или, если заменить второе слагаемое		на основании (2):
2i V 3)/-,.		(12)
Заменив обе части следования	(11)	эквивалентными
формулами 3)j и (12), мы придем	к формуле

35/->£>/_j V2t.

Но согласно предположению мы имеем

\|-S>/-i->?t.
Подстановками в выводимую		формулу
И Л — В V C ) —		((В->С)->(Л->С))
получим
Н (35/ -> 35/_, V 21) -	((£/_! -		91) -> (35/ - * 91)).
Применив сложное правило		заключения, имеем
Ь 2 ) / - 2 1 ,
и лемма доказана.
Д о к а з а т е л ь с т в о	т е о р е м ы		Г ё д е л я . Как мы

указывали, для доказательства теоремы Гёделя доста точно ограничиться рассмотрением нормальных формул Сколема. Пусть 21 — нормальная формула Сколема, яв ляющаяся тождественно истинной. Тогда 21 имеет вид

(1). Покажем, что в таком случае по крайней мере одна из формул (Sj выводима в исчислении высказываний.

270	ГЛ. I V . И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В
Допустим	противное,	т. е. ни одна	формула	(£, не
выводима в	исчислении	высказываний.	В таком	случае

формула (Sj, рассмотренная как формула алгебры вы сказываний, будет выполнимой (см. § 18). Точно так же будет выполнимой и формула, полученная из (£у любой заменой переменных объектами произвольной области,

если при этом разные переменные					заменены		разными
объектами.
Возьмем		произвольную		счетную	область		объектов,
которые	обозначим
		.о	,о	,о
		Ч ,	'2	in,
Пусть (Еу — формула, получившаяся					из ©у заменой пере
менных	/ / , . . . , tt,		г\у _ и ,„+ 1,		tim	соответственно
объектами		. . . , t\,	t ° i H l ) m + u		t°m.	Формула		Щ
при любом j выполнима, а отсюда					следует,		что равно
сильная	ей	формула 33" & . . . & ЭЗу также				выполнима		как

формула алгебры высказываний. В таком случае, по

теореме Мальцева,		выполнима и	бесконечная формула
со
I I	рассмотренная	как формула	алгебры высказыва-

ний. Если эта формула выполнима, то входящим в нее

переменным	высказываниям можно дать такие значе
ния, при которых вся эта формула получит значение		И.
Выберем	определенные значения всех входящих	в
оо

П ЗЗу переменных высказываний А, обращающие эту

формулу в Я, и дальше будем рассматривать только эти значения А. В таком случае все переменные высказыва ния, входящие в каждую из формул ЗЗу, получат опре деленные значения.

Рассмотрим формулу 23°. Эта формула, согласно определению (2), связана с формулой 21 следующим образом: 23у представляет собой выражение

- 1 ) m + h • • • ? ^/m)t

где (г*^, .... t°ik^ — группа значений переменных tii	t{ ,
составляющих j-ю группу.

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4127 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ