книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

параграфе, мы получим Н Эх, ... Зхп [У/у (91 - * Л (у)) -» Уг Л (г)] -

- З х , . . . 3. г„Зг/[(91 - >ЛЫ) - ^УгЛ(г)] . (14)

Рассматривая эквивалентности (14) и (12), мы с по­ мощью правила силлогизма получим требуемую экви­ валентность формул (8) и (9), и лемма, таким образом, доказана.

§ 15. Доказательство теоремы Сколема

Из лемм 1 и 3 легко получаем следующее заключение.

Формула

торы всеобщности, то, применив к (2) те же рассужде­ ния, мы можем получить дедуктивно эквивалентную ей, а следовательно, и формуле (1) формулу, у которой первый из кванторов всеобщности 0.rzT заменится кван­ тором существования и появится опять новый, послед­ ний по порядку квантор всеобщности. Если формула (2) имеет вид

3*j •»• Зхп Зу 3<?i .. • 3^г _1 V^f Q,..|_i2r +[ . . .

Продолжая далее этот процесс, мы получим, наконец, формулу

Зх, . . . Зхп Зу Зг, . . . 3z m Vz Vz' . . . V ^ ' * <SP, (3)

лема. Теорема будет доказана, если мы покажем, что

вивалентная ей нормальная формула. Поэтому доста­

Q tZi в скобки, получим эквивалентную формулу

Зх У/у [0,2, . . . Q m z m 23 & (Л (х) V А(х)) & (А (у) V А (у))].

Легко видеть, что эта формула эквивалентна формуле (5), так как для любой формулы 91, не содержащей х

иу, имеет место

ЬЗх У/у [91 & (А (х) V А (х)) & (А (у) V А (у))] - 91.

Доказательство этой эквивалентности очень просто, и мы предоставляем его читателю. В результате полу­ чается, что произвольная нормальная формула (5) эк­ вивалентна формуле (6) вида (1). А выше мы показали, что для доказательства теоремы Сколема этого достаточ­ но. Итак, мы доказали, что для каждой формулы суще-

ствует дедуктивно эквивалентная ей нормальная фор­ мула Сколема. Нормальную формулу Сколема, дедук­ тивно эквивалентную данной формуле 91, будем назы­ вать ее нормальной формой Сколема.

§ 16. Теорема Мальцева

Содержательная трактовка исчисления высказываний, или алгебра высказываний, позволяет обобщить опре­ деление логической суммы и произведения на случай бесконечного числа высказываний и ввести, таким об­ разом, бесконечные формулы.

Определим логические понятия индуктивным обра­ зом, исходя из элементарных переменных высказываний, которых теперь может существовать бесконечное мно­ жество любой мощности. Эти элементарные переменные высказывания могут принимать два и только два зна­ чения: И и Л. Обозначать эти переменные высказывания будем либо, как и раньше, большими латинскими бук­ вами:

ного множества объектов. Пусть дано некоторое мно­ жество формул, уже определенных и представляющих

Логическое произведение П 91 представляет собой формулу, принимающую значение И тогда и только тог­ да, когда все 91 принимают значение И. Следовательно,

П Я принимает значение Л, если хотя бы одна из фор­ мул 91 принимает значение Л.

Логическая сумма 2^ определяется аналогично: формула 2^ принимает значение И тогда и только тог­

да, когда хотя бы одна из формул 91 принимает значе­ ние И.

последовательности элементов, занумерованных целыми числами:

Я], 5t2, • • •, 21„, . . . ,

формулу Ц Я„ можно написать в виде

91,&912& . . . &21„&

а формулу 2 51„ — в виде

Я, V Я2 V . . . V 9I„ V •••

Закон двойственности для бесконечных формул та­ кой же, как и для конечных:

Мы не останавливаемся на доказательстве этих по­ ложений, так как оно получается дословным повторе­ нием приведенного выше доказательства закона двой­ ственности в исчислении высказываний.

Точно так же, как и выше, пользуясь этим законом, можно все операции заменить двумя операциями: & и—• (или же V и — ) . Советский математик А. И. Мальцев доказал интересную теорему, связывающую некоторые бесконечные формулы исчисления высказываний с ко­ нечными формулами исчисления высказываний и имею­ щую дальнейшие приложения.

Теорема эта справедлива для произвольного множе­ ства конечных логических слагаемых. Однако для дока­

логическая сумма конечных формул:

91, V 9(2 V • • • V 9(„ V • • •

Она, по условию теоремы, тождественно истинна. Мы докажем, что тогда существует такое число А/, что сумма

91, V 9t2 V . . . V 91 д,

— тождественно истинная формула. Предположим про-

дественно истинной, т. е. можно найти такие значения входящих в нее переменных высказываний, при кото­ рых она принимает значение Л. Пусть

которых она принимает значение Л. Каждое а " пред­ ставляет собой или И, или Л. Число всевозможных рас­ пределений значений, которые могут принимать пере­ менные высказывания (1), равно 2*4 т. е. конечно. Рассмотрим

9 1 , А \ , . . . . AlX

Все переменные высказывания А \ содержатся в каждой

п

формуле 2 ®i и находятся, следовательно, среди пере-

менных высказываний (1), каково бы ни было п. Обо­ значим их через

иное, как А\. Значения, которые переменные высказыва­ ния А\'" приняли в группе переменных высказываний (1)

в2 % ( / = 1 , 2, . . . ) , при которых эти формулы при-

нимают значение Л, образуют бесконечную последова­ тельность