книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

§

12. Н О Р М А Л Ь Н Ы Е ФОРМЫ

241

правило

заключения

к

формулам

VxF(x),

А

и

V* F (х) -> (А -> А & V.v F (х)),

видим,

что

формула

A&VxF(x)

также

выводима

из V* {А & F (х)). Тогда

в

силу теоремы

дедукции

получим

\-Vx(A&F(x))-+A&

VxF(x).

(1)

Докажем выводимость обратного следования. Для

этого покажем,

что формула

V* (А & F (х))

выводима

из

формулы

A&VxF(x).

В самом

деле,

формулы

.4

и

F(y),

как

мы

видели,

выводимы

из

формулы

A&VxF(x).

В

силу

этого

выводима

и

формула

А & F(y).

Из выводимой

формулы

A&F(y)-*{A-*A&F(y)),

применив

правило

заключения,

получим,

что

формула

А—* А &. F (у)

выводима

из формулы

A&VxF(x).

При­

мула

Vx(A&F(x))

выводима

из формулы А & V*

F(x).

Тогда

на основании теоремы

дедукции заключаем,

что

h

A&VxF{x)-+Vx(A&F(x)).

(2)

Из теорем

1 и 2, на основании закона

двойственности,

вытекают следующие теоремы.

Т е о р е м а

Г.

Ь Зх

(A&F

(х)) ~ А & 3.v F (х).

Т е о р е м а

2'.

Н Зх

(А \/

F (х)) ~A\/3xF

(х).

-

у * (% у

S3 (х))

,

a

v

у * аз (х)

а

Щ v(Ж &

(.У

'

V*(3t

V » ( * ) ) '

V * 9 3 M

,

Уд-

S3 ))

91 & Ух S3 (л)

Ь -

« 4

V x f f l

'

•

VJC

(ST

Л

83

(JT))

1

з*сд &asu))( j t )

,

ш

&зхЪ(х)

С -

9l&3*S3(x)

'

'

Эх (Я & » ( * ) )

'

э.«

v

аз (*))

'

•

Зх

v

э х з з ( ^ )

d.

(ш

ш

(21 V S3 (х))

SlV3.v93(.v)

u

е предположении,

что формула

91 не содержит х в ка­

честве свободной переменной.

Предоставляем читателю доказать (используя тео­

рему дедукции)

следующие теоремы:

Ь

Ух 21 (х) V Vx 23 (х) -> Vx (91 (л) V 95 (*)),

h- Vx (91 (x) & 93 (x)) -

Vx 91 (x) & Vx 23 (x),

Этим теоремам соответствуют

правила:

Ух ST (х)

V УлS3 (л:)

Ух(й(х)

V S3 (л))

'

У* (М (л) & S3 (х))

Ух 91 (х) & Ух S3 (.У)

Ул i\ (х)

& Ул S3 (х)

'

Vx(5>l(x)&S3(x))

'

Эх

(Ш (х) & S3 (х))

Зх

S( (х)

& Зх S3 (х)

'

Зх

{% (х) V S3 (*))

ЗхЖ(х)

V 3*S3(x)

Зх

Ш (х)

V Зх S3 (х)

'

Зх

(1

(л) V S3 (л-))

'

§ 13. Д Е Д У К Т И В Н А Я Э К В И В А Л Е Н Т Н О С Т Ь

243

образований эквивалентности а — d', точно таким

же

образом доказать, что для

всякой приведенной форму­

лы (а следовательно, и для

произвольной формулы)

су­

§ 13.

Дедуктивная

эквивалентность

Введем

понятие

«дедуктивной

эквивалентности

фор­

мул». Две формулы

91 и 53

называются

дедуктивно эк­

вивалентными

в

исчислении,

если

из

аксиом

этого

исчис­

ления

и

формулы

91

посредством

правил

исчисления

можно

вывести

формулу

53 и, обратно,

из аксиом

исчис­

ления

и формулы

53 посредством

правил

исчисления

вы­

водима

формула

51.

Для

исчисления

предикатов

понятия

«эквивалент­

ные формулы»

и

«дедуктивно эквивалентные» не

рав­

нозначны.

Если

51 и

53 эквивалентны

в исчислении

предикатов,

то они

и дедуктивно

эквивалентны.

В самом деле,

пусть

51 эквивалентна

53. Это значит, что формула

51 ~

53 вы­

§ U . Н О Р М А Л Ь Н Ы Е ФОРМУЛЫ СКОЛЕМА

245

Vx Зу А (х, у),

Зх

Уу

Зг

А (х,

у,

z)

не

являются

нормальными

формулами Сколема.

Т е о р е м а

С к о л е м а .

Для

всякой

формулы

ис­

числения

предикатов

существует

дедуктивно

эквивалент­

ная

ей нормальная

формула

Сколема.

Для доказательства этой теоремы нам придется до­

казать предварительно некоторые леммы.

Л е м м а

1.

Формула

3*1 . . .

Зхп

Уу 21,

где

21 — нормальная

формула,

дедуктивно

эквивалент­

на

формуле

Зх,...

Зхп

[Уу (91 -> А (у)) ^УуА

(у)],

где

А — переменный

предикат,

не содержащийся

в 91.

Для

доказательства

этой

леммы

мы

воспользуемся

\fx

[А (х) -> В (х)] -> [Vx А (х) -»

Ух

В (х)],

(1)

Ух

[ А (х) -> В (х)] -> [Зх А (х)

Зх

В (х)].

(2)

Предположим,

что формула

Зх,

. . . Зх„ Уу 21 (х,, . . . ,

х„, у)

(3;

Ь- 21 (х„ . . . ,

*„, t) -

((91 -> А (/)) — А (0)

выводима, так как

она, как

легко

проверить,

получает­

ся подстановками

из

выводимой

формулы

исчисления

У у 21 (х,, . . . , хп,у)-*%

(х,, . . . ,

xn,t)

с помощью правила

силлогизма

получим

формулу ..

Н УУ 21 (х,

хп, у) -> ((21 -> А (/)) ->-Л (*)).

24S

ГЛ. IV. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ

Далее, применяя первое правило связывания

квантором

и переименовывая переменные,

получим

Ь- Уу 21 (x„ . . . .

хп, у) -» Чу ((Я -> А (//)) ->

Л (//)).

Затем

на основании

формулы

(1), пользуясь

правилом

силлогизма, получим

I -

V// 91 ( * „ . . . ,

*„, у) -> [Уу (91 -> А (у)) -+Уу А (у)].

зывания

квантором,

получим

\-Vxn[VyW(xh

....

хп,

у)-*

-+(Vy{%-+A(y))-+VyA(y))].

(4)

Совершив подстановку

в формулу

(2)

вместо

предиката

Л (х) формулы

Уу%(х

,

* „ _ , ,

JC,

г/),

а

вместо

предиката

В (х) — формулы

У у (91 (*„ . . . .

*„_„ х,

г/) -> Л (г/)) -> V# Л (г/)

и

заменив ,v на

хп,

получим

t- Ухп\Уу

91 (*„

хп,

у) -> (Vy (21 (*„

. . . , хп,

у) ->

-> А (у)) - V// Л (г/)) -> (Э*„ V// 91 (х„

. . . , * „ , / / ) - »

-> Здся (V;/ (91 (.v,

,v„, г/) -> Л (г/)) ->• Vy Л (г/))].

Посылка

в этой

формуле есть выводимая формула (4).

также является

выводимой

формулой, т. е.

\-ВхпУу%(хи

..., хп, у)->

-> Зхп

(Уу (91 (л-,

х„, у) -> А (у)) -> Уу А (у)).

1-3

%п — 1 Зхг е Уу% (хи

хп, #)->

— ЗА"„-, Зхп [V?/ (91

(х„

. . . , хп,у)->А

(у))

-* Уу

А (у)].

Продолжая

подробные

рассуждения

далее,

мы

придем

к выводимой

формуле

Н Эх, . . . Зхп

Уу 21 (х„

. . . ,

хя,у)-+

->Эх, . . .

3x/ J [Vi/(2l(x„

хя,

y)-*A(y))-+VyA(y)].

§ 14. Н О Р М А Л Ь Н Ы Е ФОРМУЛЫ СКОЛЕМА

247

выводима формула

Эх, . . . Эх„ [(У/у 21 (х„ . . . , х„, у) -> А (у)) -> V'у А (у)].

(5)

Таким образом, мы показали, что если к аксиомам

исчисления

предикатов присоединить в

качестве аксио­

мы формулу

(3), то формула (5) станет

выводимой. Тем

самым лемма в одну сторону доказана.

Допустим теперь, что формула (5)

присоединена

к

становку,

заменив

предикат

A(t)

формулой

21 ( х , , . . .

. . . , х „ , t).

Получим

выводимую в новой системе аксиом

формулу

3*1

• • • Эх„ [У/у

(21 (х,

хп,

у) -» 31 (х,

хп,

у))

Формула

-*V#9((x„

хп,

у)]. (6)

(Ж-+У/уК 0/))->Vi/2I0/),

где

9? — любая

выводимая

формула,

также

выводима,

248

ГЛ.

I V . И С Ч И С Л Е Н И Е

П Р Е Д И К А Т О В

присоединения

к

ней формулы

(5). А тогда на основа­

нии

правила

заключения

и следствие выводимо после

присоединения формулы

(5)

. Таким образом, дедуктив­

ная

эквивалентность формул

(3) и (5) доказана.

Л е м м а 2. Предположим,

что формула 21 имеет вид

где Q,-2,- — условное

общее

обозначение

для кванторэв У2,-

и 3zt,

а

(I кванторов

не

содержит. [Кванторы Ог2; могут

также

отсутствовать.]

Тогда

имеет место

1- ((21 (х„

.... хп,у)-+А

(у)) ^VzA

(2))

~ Q,2, ...

• •-О/л

zm

Z/ni

Х\>

•••>

%m

(Q.2, ...

Qmzm(£^A(y))-+VzA(z).

Затем исключим знак

—»• посредством известных нам эк­

вивалентных преобразований:

Q,2,

Qm 2m (i V А (у) V V2

А (2).

После

этого

преобразуем

левую

часть,

введя

верхний

знак

отрицания внутрь

дизъюнкции,

и уничтожим

сразу

получающееся

при этом двойное отрицание. Тогда имеем

Q,2, ... Qm 2m ii & А (у)

V V2 А

(х).

Затем

вынесем за

общие

скобки

кванторы

Q,2,, ...

. . . ,

Qm 2m

и

V2.

Это,

как

мы уже

знаем,

можно

сде­

лать

(см. §

12). Получим

Qiz, • • • Q m z m V2

(S & А (у)

V A (z)).

Формула, стоящая

под

всеми знаками

кванторов

Ог-гг-

и Уг,

эквивалентна формуле

(d-+A(y))->A(z).

Заменив ее

этой эквивалентной формулой,

имеем

0,2,

... Qmzm

V2

((6 -» А (у)) -> A

(z)).

§ 14. Н О Р М А Л Ь Н Ы Е ФОРМУЛЫ СКОЛЕМА

249

Зх, ...

Зхп (My (Я -> А (у)) -» V2 А (г)),

(8)

где

91 имеет вид, указанный

в лемме

2, эквивалентна

формуле

Зх, . . . Зхп

Зу (3,2, ... Qmzm

Vz [((£ (z

, гп, у) ->

-*A(y))-+A(z)Y

(9)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

силу

леммы

2

имеет

место

Н [(« (х,

хл , /у) -> А (//)) — Vz Л (г)] -> Q,2, ...

... Qffl2m

Vz [(6 (z,, ..., 2m, x,

*„,

г/) ->

Л (г/)) -> Л (z)|.

Связывая

эту выводимую

формулу

квантором, получим

(- Vy [[(91 (х,. . . . ,

хп, у)-*

А (У)) -

Vz Л (г)] -> Q,z, . . .

... Qm zm Vz[((?.(z,,

г т , х,, . . . , х,г, г/)-* Л (*/))-> А (г)).

Используя

формулу

(2)

так же, как и в лемме

1, мы

получим

отсюда

Ь3у[(91(х,

, хп, У)^ А(у))->\/г

A(z)]->3yQlzl

...

Vz[(6(2,,

Z m

,

X ,

, . ..,.

X „ , « / ) -

-> Л(г/))-^Л(2)].

Рассмотрев истинное в силу леммы

обратное

следование

(10)

,2, ...

m

m

Vz [((5 (z,, . . . , z

m

,

x,

x„, y) ->

h Q

Q z

2

-> Л («/)) -> Л (z)] -> [(21 (x,

xn,

У) -> Л (у)) -> Vz Л (z)]t

мы

таким

же образом получим

Ь

3(/ Q,z,

... Qm 2m Vz [(6 (z,

zm, х,, ..., x„,

y) -*

- * Л (г/)) -> Л (z)] -> Зг/ [(6 (x„

.. .,

*„, у) ~>

(11)

->

Л (у)) -* V2 Л (г)].

Сопоставляя

взаимно

обратные следования

(10) и (11),

мы получим

h- Зу [Я (х

, хп,у)-+А

(у)) -> Vz Л (z)] ~ Зу

Q,z, . . .

. . . Q m z m Vz[(S (z,

zm, хь

.. •, хп, у) -> А (у)) -> А (г)].

Очевидно, исходя из этой

формулы, мы можем повто­

Зхп, Эхп-и

•••> 3*1 .

В результате мы придем к эквива­

лентности

h Зх, . . . Зхп Зу [(И ( * „ . . . ,

хп, у) -> А (у)) -+ Vz A (z)] ~

~ Зх, . . . Зхп Зу

Vz[(S(z„ . . .

• • • > zm,

Хи . • •,

xn, y)-»A(y))-*A(z)].

(12)

Покажем,

что имеет

место

следующее утверждение:

\-[Уу

{4l-+A(y))->VzA(z)]~

~ Зу

[(?! - * Л (//)) -> Vz Л (г)].

(13)

ЭуСЛ V А (у))

уУгА(г).