Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4124 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

§ 10. Э К В И В А Л Е Н Т Н Ы Е ФОРМУЛЫ

231

то отношение эквивалентности симметрично и транзи-

тивно.	Покажем,			что	если	в формуле		исчисления	пре
дикатов		21 заменить			любую	часть	эквивалентной		фор
мулой	и	если полученное вследствие					этой замены		выра
жение	21'		также	является		формулой		и содержит	все
свободные			предметные переменные				формулы 21, то 21 и
21' эквивалентны.
Мы		не	будем	проводить		полностью		доказательство

этого утверждения, так как оно в значительной части


представляет			собой повторение		доказательства		анало
гичного предложения в исчислении высказываний							(см.
главу	I I	§	6). Доказательство		это	проводится	индук
цией по схеме образования				формул.
Сначала			заметим, что	наше		утверждение	имеет
место	для	элементарных формул, т.				е. для переменных

высказываний и переменных предикатов. Это в самом деле очевидно, так как каждая элементарная формула имеет только одну часть—именно самое себя.

Допустим, что наше утверждение справедливо для

формул	21 и 23 Тогда оно справедливо и	для	формул
21 & 23,	21 V 23, 21 -» 23 и 21. Доказательство	этого	пункта

представляет собой дословное повторение рассуждений, проводившихся в исчислении высказываний.

Докажем, что если наше утверждение справедливо для формулы 21 (х), то оно справедливо и для формул

Vx2I(x) и 3x2t(x).

Доказательство проведем сначала для формулы Vx 21(х). Заменяемая часть этой формулы, по определению, яв ляется либо ею самой, либо частью формулк 21 (х). В пер


вом случае наше утверждение очевидно								Во	втором
случае		в силу	индуктивного		предположения			формула
21 (х)		перейдет в формулу			21'(х),	эквивалентную				фор
муле	21 (х). [Переменная х должна					сохраниться			в	фор
муле	2Г(х), иначе выражение				Vx 2l'(x)		не было бы			фор
мулой.]		Итак,	21 (х)	и 2Г(х)	эквивалентны;			это	значит,
что формула			21 (х) ~	2Г(х)	выводима.		Сделав		подста
новку в формулу теоремы 6 § 9, получим

Н Vx (21 (х) ~ 21' (х)) -> (Vx 31 (х) ~ Vx 21' (х)).

Кроме того, применив производное правило связывания

232	ГЛ. IV. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ
квантором	к формуле 91 (х) ~ 91'(х), имеем
	Ь VAT (91 (x)~W (х)).

Применив к двум последним формулам правило заклю чения, получим

Н V * 91 (х) ~ Ух 91' (х),

и, следовательно, для формулы Vx9l(x) наше утвер ждение доказано.

Докажем то же самое для формулы 3x9t(x). Пусть 91 (х) -~ 91' (х). Тогда имеем

|-21'(х)~97(х).

Исходя из этой формулы, мы, так же как и в преды дущем случае, выведем

Ь- Vx 97' (х) ~ Vx 97 (х),

и, следовательно,

	h- Vx9i ( Х ) ~ V X 9 T ( X ) .			(1)
Подстановкой	в 7а		получим
	Ь	Зх	9* (х) ~ Vx 91 (х),	(2)
	Ь-Зх9Г(х).~Ух2С(х).			(3 )
Из (1), (2) и	(3)	непосредственно следует
	Ь	З А 9t (х) ~ Зх 91' (г).

Таким образом, наше утверждение доказано для всех

формул.				_
Эквивалентность			формул	91—>23 и 91 V 23, т. е. истин
ность утверждения
		И91 - *93)~97 V 23,			(4)
справедливая	для	исчисления		высказываний,	имеет ме
сто и для исчисления			предикатов.
Доказательство этого в исчислении предикатов мож
но получить	подстановками			в формулу (4)	исчисления
высказываний.

§ 10.	Э К В И В А Л Е Н Т Н Ы Е	ФОРМУЛЫ	233
На основания	того, что при	замене любых	частей

формулы эквивалентными мы переведем данную фор

мулу в эквивалентную, мы можем

исключить

знак

—* из

формулы,

заменив

ней

каждую

часть

вида

91 -* 33

формулой

21 V

23.

После

такой

замены

мы

получим

формулу,

эквивалентную

данной.

Кроме

того, мы можем для каждой формулы,

не

со

держащей

знака

—*, найти такую эквивалентную

ей фор

мулу,

в которой

знаки

отрицания

относятся

только

элементарным

частям.

самом

деле,

если

какая-нибудь формула

имеет

вид

Ух 91 (х)

(соответственно

Эх'Д(х)),

то

формула

~ВхЧ[(х)

(соответственно

УхУ(х))

ей

эквивалентна.

Поэтому

мы

можем

всегда знак

отрицания,

стоящий

над квантором, ввести под знак квантора, изменив при этом квантор всеобщности на квантор существования и обратно. Эквивалентности

h 9T&~23~2l V »,

h - 1 ~ 91,

которые мы доказали для исчисления высказываний, имеют место и для исчисления предикатов [их доказа тельство в исчислении предикатов таково же, как и в исчислении высказываний (см. главу II)]. Отсюда сле дует, что знак отрицания, стоящий над логической сум мой, можно внести внутрь, только при этом сумма пе рейдет в произведение; знак отрицания над логическим произведением также вносится внутрь формулы, причем произведение переходит в сумму. Если же знак отри цания стоит над знаком отрицания, то оба эти знака уничтожаются.

В силу сказанного мы можем последовательно вно сить знак отрицания внутрь формулы, заменяя при этом формулу на эквивалентную. Очевидно, что в результате таких операций мы придем к формуле, у которой знак отрицания относится только к ее элементарным частям.

Формулы, не содержащие знака —»и такие, что знак отрицания относится только к элементарным частям, мы будем называть приведенными. Из изложенного следует,

234	ГЛ.	IV . И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В
что для	каждой	формулы 51 существует эквивалентная

ей приведенная формула. Эту формулу мы будем назы вать приведенной формой формулы 91.

Рассмотрим пример приведения формулы к приве

денной	форме:
		Эх (Л (x)->fi(x)).
Исключим		сначала	знак ->. Заменив А(х)-+В(х)	на
Л(х) V	В (х),	имеем
		Зх	(Л (х) V В (х)).

Затем внесем внешний знак отрицания под квантор:

Vx (Л (х) V В (х)).

Далее внесем знак отрицания внутрь суммы: Vx (Л (х) & В (х)).

Уничтожим двойной знак отрицания: Vx (Л (х) & В (х)).

Полученная формула эквивалентна данной нам фор муле и является приведенной формулой. Следователь но, она является приведенной формой исходной фор мулы.

Эквивалентности, выражающие ассоциативность и коммутативность логической суммы п логического про изведения и два дистрибутивных закона, которые мы доказали в исчислении высказываний:

a. (Л V В) V С ~ Л V (В V С); b. А V В~В V А;

c.(А&В)&С~А&(В&С);

	d. Л & fi~.fi& А;
	e. Л&(В V С ) ~ Л & 5 V А&С;
	f. Л V 5 & С ~ ( Л			V fij&(Л	V С),
справедливы		и	для	исчисления		предикатов	(см.	гла
ву	I I ) . Поэтому		в	исчислении	предикатов,		в вопросах,
для	которых	эквивалентные				формулы равноправны,
мы	также иногда будем в выражениях, в которых чле
ны	соединены	только знаком			&	или только	знаком	V ,

§ 11. ЗАКОН Д В О Й С Т В Е Н Н О С Т И

235

опускать скобки. Например, выражение

(21 & 23) & S

будем писать в виде

21 & 23 & G,

а выражение

21 V(23V<$) V ( ® V # )

в виде

91 V 23 V G V © V £ .

Конечно, это выражение не является формулой. Мы будем подразумевать под таким выражением любую формулу, которую можно из него получить, расставив надлежащим образом скобки.

§ 11.

Закон

двойственности

Для

формул, не содержащих

символа

—», установим

по

нятие

«двойственных

формул».

Назовем

знаки

двойственными друг другу. Назовем кванторы Ух и

Зх

также двойственными. Будем говорить, что формула

двойственна

формуле

91,

если

она может быть

получена

из

формулы

91 изменением

каждого

из

символов

V .

Ух,

Зх

на

двойственный.

Из определения следует, что понятие двойственности

симметрично, т. е. если 23 двойственна

21, то и

21 двой

ственна 23.

П р и м е р ы двойственных

формул.

Ух (А

V В(х)&(В(у)

V Я (*)));

двойственной для данной является формула

Зх(А&(В(х) V В(у)&В(х))).

2. Ух Зу (А (х, у) V Уг А (х, г) & 3z А {у, z));

двойственной формулой будет

Зх Уу (А (х, у) & (3z А (х, z) V Уг А (у, г))).

Дадим понятию «двойственная формула» еще индук тивное определение, которое нам будет в дальнейшем более удобно при доказательствах.

а) Для элементарной формулы двойственной яв ляется она сама.


236	ГЛ. IV. И С Ч И С Л Е Н И Е		П Р Е Д И К А Т О В
b) Если 9Г двойственна 21,			а 23* двойственна 23, то
для формулы		7( & 23 двойственной		формулой является
91* V 23*, а для		21 V 53 - формула		91* & 23*.
c) Если	91* двойственна для		21, то для		21 двойствен
ной формулой является 21*.
с!) Если	9Г(х) двойственна		формуле		21 (х), то для
Vx9((x) [соответственно для Зх21(х)] двойственной фор
мулой будет Зх 21* (х) [соответственно Vx 21* (х)]. Так как

по предположению рассматриваемые формулы не со

держат знака

—>, то

понятие

«двойственная

формула»

определено полностью.

Симметричность

отношения

двойственности

являет

ся

следствием

данного

определения

и легко

доказывает

ся по индукции. Формулу, двойственную

21, будем

обо

значать 21*.

Пусть

Fm)~

форму

ла

Л е м м а .

21 ( А ь

A n ,

исчисления

предикатов,

не

содержащая

знака

—*,

А\, . .,, Ап суть все элементарные

высказывания,

входя

щие в 21,

a F\,

...,Fm—все

элементарные

предикаты,

входящие

в 21. Тогда

имеет место

Н-21(Л„

Ап,

Flt

F m ) ~ _

~ 2 Г ( Л „

Ап, Fx,

Fm).

Докажем эту

лемму по

индукции,

соответствующей

индуктивному

определению

двойственной

формулы.

р,ля элементарной формулы справедливость леммы

очевидна,

так

как элементарная

формула

представляет

собой либо высказывание,

либо

предикат

двойствен

ная ей формула с ней совпадает.

Пусть лемма верна для формул

23(6,

В„,

С„ . . . .

Gq)

и 21 (Л„

• > Ап,

, . .,

Fm),

т. е. имеем

Н2ЦЛ,,

Ап,

Fm)~_

~ 2 Г ( Л „

•'

An,

Fi,

...,

Fm),

Ь « ( 5 „ . . . . Вр, Gh

. . . . G , ) ~ _

(В1г

., Bp, Gb

G J .

§ I I . ЗАКОН Д В О Й С Т В Е Н Н О С Т И

237

Покажем, что тогда лемма верна и для конъюнкции и дизъюнкции формул 91 и 23. В самом деле, имеем

Ь-21&23~21 V 23.

Заменяя 91 и 23 на основании написанных выше эквивалентностей, получим

Ап, Flt

Fm)

V _

V23*(B„

Bp,

G,),

но

(Л„ . . . .

An,

Fx,

Fm)

V53'(B|, . . . . Bp, G„

. . . . Gq)

представляет собой,

по определению,

(%(AU ....

Ая,

Fm)&

Bp,

Gq))\

поэтому

&23(B„

G„

^9Т&23~(9ч(Л1 ,

Ая, Fu

Fm) &

&23(B„

..... B p ,

G„

G,))\

Справедливость

леммы

для

91 \/ 23 доказывается

ана

логичным

образом.

Ап,

Допустим,

что

лемма

верна

для 21 (Л,,

Fm).

Покажем,

что

она

верна

и для 91. В

силу

допущения

мы

будем

иметь

М Ц Л , ,

Ап, Fu

Fm)~_

Ал,

Fm).

Если формулы

эквивалентны, то их отрицания также

~ Г ( Л „

эквивалентны. Поэтому имеем

Ь-ТцЛ,,

А„,

....

Fm)~_

~ 9 Г ( Л ,

Ап, Fx,

Fm).

Но

по определению

91* есть

(91)*. Следовательно,

н ! ( Л „

. . . . Ая,

....

Аа,

....

- ( 2 Ч Л ,

238	ГЛ. I V . И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В

и мы, таким образом, получили требуемую эквивалент ность.

Пусть для формулы %(х, Аи Fn) лемма верна. Покажем, что тогда она верна для формул

	V.v9t(A-,			Л,, . . . .			Fm)	и Зх%(х,	А	,	FJ.
На основании индуктивного предположения имеем
	Ь1(л-,				Л„		Fm)~W(x,		Л,,	Fm),
но	тогда
	h3 . vl( . v, Л„						Fm)~3xW{x,			Л„	Р„).
На	основании				теоремы		7 § 9 имеем
	\ - Э х Ъ ( х , Л„ . . . .							Fm)~VxV(x,		Л„ . . . .	Fm).
Из	двух	последних				эквивалентностей				выводим
В	силу		(дг,		Л„		Fm)~3xT(x,			Л,	Fm).
	г-У*Я				Л„		Fm)~3xT(x,			Л,	Fm).
		определения правая часть этой формулы пред
ставляет		собой
					(VxV(x,			А„ ....	/^))*;
следовательно,
	}-УхШ(х,				Л„ . . . .		^) - (VA - 31( A - ,			Л,	/?„))'.
	Для	формулы				ЗА- 31 (А\ Л Ь . . . ,			Fm)	лемма	доказы

вается аналогичным образом. Итак, мы доказали спра ведливость леммы для всех формул, не включающих знака —».


Т е о р е м а .			Если		формулы		91 и	93 эквивалентны,			то
двойственные			им	формулы		также		эквивалентны.
Пусть		21 (Аи			Л„,	F„	Fm)		и	33(В	Вр,
Gj,	<?<,) — эквивалентные						формулы,			Л,,	Л„,
Si,	В р	— все		входящие в них переменные высказы
вания,	a F,,			F^,	GM	Gq	— все		предикаты. Двой

ственные формулы будем по-прежнему изображать по

средством звездочки.
Если формулы 21 и 93 эквивалентны,	то их отрица
ния также эквивалентны. Поэтому имеем
\гЩА1г . . . . /v>~23(B,	Gq).

		§ 12.	Н О Р М А Л Ь Н Ы Е ФОРМЫ			239
На	основании		предыдущей		леммы	формула
21 (Л,,	Fm)	_эквивалентна		формуле 21* (Л,,		Fm),
а формула_		23(Вь	Gq)	эквивалентна		формуле
Ъ'(Вь	Gq).	Заменив обе		части	полученной нами

выводимой формулы эквивалентными формулами, полу

чим также выводимую	формулу:
\-Г(Аи	Fm)~W(Bu	. . . . Gq).

Сделаем подстановки в эту формулу, заменив At на At, Bi на BL, F{ на F(, Gi на G<. Получим тогда

Fm)~W(Bu Gq).

Заменив в этой формуле каждую часть вида Л/ на

эквивалентную ей Ait	В{ на 5,-,	на	Fi и	Gj на G/,
получим
Ь - Г ( Л „	Fm)~W(Bh	. . . .	Gq).

Доказанная теорема носит название закона двойст венности. Она позволяет из эквивалентностей, выводи мость которых установлена, получать другие выводимые эквивалентности. Она, как и теорема дедукции, облег чает доказательство выводимости некоторых формул. Например, мы доказали (теорема 2 § 9), что

hVxVyF(x,	y)~VyVxF(x,	у).
В силу закона двойственности мы		можем утверждать
выводимость следующей	формулы:
V-3x3yF(x,	y)~3y3xF(x,	у).

Из этих эквивалентностей можно вывести следующее правило.

Если непосредственно друг за другом стоящие од нородные кванторы переставить, то формула при этом превратится в эквивалентную.

§ 12. Нормальные формы

Нормальные формулы и нормальные формы мы уже рассматривали в главе I I I при содержательном опи сании логики предикатов. Те же понятия мы введем ц для исчисления предикатов.

240	Г Л . I V .	И С Ч И С Л Е Н И Е	П Р Е Д И К А Т О В
Будем	называть	приведенную	формулу		нормальной,
если в	последовательности		символов,		образующих
формулу,	кванторы	предшествую! всем		остальным сим
волам.
Можно доказать, что для каждой формулы сущест
вует эквивалентная ей нормальная формула.
Для	доказательства этого утверждения				необходимо
установить справедливость некоторых				преобразований
эквивалентности, аналогичных			преобразованиям равно

сильности, которые мы употребляли в содержательной логике предикатов для той же цели (глава I I I , § 2).

Т е о р е м а 1.

h Ух (А V F (х)) ~ А V Ух F (х).

В теореме 8 § 9 было доказано

Ь- V* (Л -> F (х)) ~ Л ~> Ух F (х).

На основании эквивалентности 91 —> 23 ~ 91 V 23 мы, заменив обе части рассматриваемой формулы, получим

Ь Ух (А V F (х)) ~ А V V.v F (х).

Подставив в эту формулу А вместо Л, будем иметь

К Ух(А V F(x))~A.V yxF(x).

Заменив Л на эквивалентную ей элементарную формулу Л, получим требуемую формулу.

Т е о р е м а 2.

Ь- Ух (А & F (х)) ~ Л & Ух F (х).

Для доказательства применим теорему дедукции. Рассмотрим формулу

Vx(A&F(x))-+ А& yxF(x).

Покажем, что следствие выводимо из посылки. В самом деле, приемом, который мы неоднократно употребляли, доказываем выводимость из посылки формул yxF(x) и Л. Формула

Ух F (х) -> (Л -» Л & Ух F (х))

выводима	в исчислении	предикатов.	Поэтому	она вы
водима из	формулы Ух	(Л & F (х)).	Применяя	дважды

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4124 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ