книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики
.pdf§ 9. Д А Л Ь Н Е Й Ш И Е ТЕОРЕМЫ И С Ч И С Л Е Н И Я П Р Е Д И К А Т О В 221
§ 9. Дальнейшие теоремы исчисления предикатов
Т с о р е м а 1.
г - VxF{x)-+"3xF(x).
Возьмем аксиомы V. 1 и V. 2:
VxF(x)->F(y) |
и F (у)->Вх F (х). |
Применив правило силлогизма, получим требуемую формулу.
Введем знак ~ , определив его так же, как и в ис числении высказываний, т. е. будем считать, что выра
жение
а ~ зз
представляет собой формулу |
|
|
||
|
(Я - >»)&(33 - »Я) . |
|
|
|
За |
знаком ~ сохраним |
название знака |
эквивалентно |
|
сти, |
а формулы вида 21 ~ 23 будем |
называть эквива- |
||
лентностями. |
|
|
|
|
Т е о р е м а 2. |
|
|
|
|
|
VxVyF(x, |
y)~VyVxF(x, |
у). |
|
Применив дважды аксиому V. 1, находим |
|
|||
|
VxVyF(x, |
y)-+F(u, |
v). |
|
Применим к этой формуле первое правило связывания квантором, связывая сначала переменную и, а затем переменную v. Тогда получим
VxVyF(x, y)^>fvVuF(u, v).
Произведя |
в этой формуле переименование переменных, |
|||
заменив и на л: и о на у, |
получаем |
формулу |
||
|
Vx Vy |
F (х, |
у) ->VyVxF |
(х, у). |
Таким же |
образом |
доказывается |
и обратное следова |
|
ние. Применив, наконец, |
правило |
|
||
|
|
|
31, аз |
|
|
|
|
5Д & SB ' |
|
получим требуемую эквивалентность,
222 ГЛ. IV . И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В
Т е о р е м а 3. |
|
|
3xVyF(x, |
y)-+Vy3xF(x, |
у). |
Путем подстановки |
в аксиому V. 1 и замены свобод |
|
ных переменных получаем |
|
|
\-VyF(x, |
y)->F(x, |
v). |
Таким же образом из аксиомы V. 2 имеем |
||
\~ F (х, |
v) -> 3w F (w, |
v). |
Применив правило силлогизма к полученным форму
лам, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
\-VyF(x, |
y)—>3wF(w, |
v). |
|
|||
К последней формуле применим сначала |
второе пра |
||||||
вило связывания |
квантором, |
а затем |
первое, получим |
||||
|
Ь- Зх |
Vy |
F (х, |
у) —> У/v 3w F (w, |
v). |
||
Наконец, применив |
правило |
переименования связанных |
|||||
переменных, получим требуемую формулу. |
|
||||||
Обратное |
следование |
|
|
|
|
||
|
Vx3yF(x, |
y)->3yVxF(x, |
у) |
|
|||
не является |
выводимым. |
|
|
|
|
||
Легко видеть, что предположение общелогической истинности этой формулы немедленно приводит к про тиворечию. Применим ее к натуральному ряду чисел.
Пусть F(x,y) означает, что «натуральное число х меньше натурального числа у». В таком случае в по сылке рассматриваемого следования утверждается, что для всякого натурального числа х существует большее натуральное число у. Это утверждение, очевидно, спра ведливо для натурального ряда. В таком случае долж но быть верным и следствие, т. е.
3y\fxF(x, у).
Это утверждение в нашем случае выражает следую щее: «существует такое натуральное число у, что каж дое натуральное число х меньше числа у». Это утверж дение, очевидно, неверно,
§ 9. Д А Л Ь Н Е Й Ш И Е ТЕОРЕМЫ И С Ч И С Л Е Н И Я П Р Е Д И К А Т О В |
223 |
Наше рассуждение не является строгим доказатель ством невыводимости формулы
Ух Зу F (х, у) -* Зу Ух F (х, у)
в исчислении предикатов. Но нетрудно доказать и стро го, что эта формула действительно невыводима; мы пе будем останавливаться на этом.
Т е о р е м а 4.
Ь V* (F (х) -> G (х)) -> (Ух F (х) -> Ух G (х)).
Для доказательства выводимости этой формулы при меним теорему дедукции. Покажем, что формула Ух F (х) ~> Ух G (х) выводима из формулы
yX(F (x)~>G(x)). |
(1) |
В самом деле, формула
yx(F(x)->G(x))->(F(y)->G(y))
получается подстановкой в аксиому V. 1 и поэтому яв ляется выводимой в исчислении предикатов. Следова тельно, эта формула выводима из любой формулы и, в частности, из формулы (1). Применив правило заключе ния, мы найдем, что формула
|
|
|
F(y)-*G(y) |
|
|
|
||
выводима из формулы |
(1). |
|
|
|
|
|||
Напишем выводимую формулу исчисления высказы |
||||||||
ваний: |
(Л - » Я ) - ( ( Я - С ) - » ( Л - С ) ) . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
Из нее путем подстановок получаем |
|
|
|
|||||
Н (V* F (х) -> |
F (у)) |
-> ((F (у) |
-> G (у)) - (V* F (х) ~> G |
(у)). |
||||
Обе |
посылки |
этой |
формулы |
выводимы |
из |
формулы |
(1) |
|
(первая является |
аксиомой |
V. 1). Применив два |
раза |
|||||
правило заключения 3, находим, что формула |
|
|||||||
|
|
|
УхР(х)~>0(у) |
|
|
|
||
выводима из формулы (1). |
|
|
|
|
||||
Наконец, |
применив |
к |
последней |
формуле |
пер |
|||
вое |
правило |
связывания |
квантором |
и |
переименовав |
|||
224 |
Г Л . I V . И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В |
затем связанную переменную у , найдем, что формула
VxF (x)-+VxG(x)
выводима из формулы (1). Применив теорему дедук ции, получим требуемую формулу.
Может показаться странным, что мы в одном пункте доказательства теоремы 4 не применили правила силло гизма, а вместо этого использовали формулу
(Л -> В) -+ ((В -> С) -> (Л -> С)).
Мы сделали это потому, что не доказали справедливо сти правила силлогизма для понятия выводимости из данной формулы, которое мы ввели при -доказательстве теоремы дедукции. Однако и для выводимости в смысле теоремы дедукции это правило верно, и его доказатель ство можно провести в самом общем виде совершенно так же, как оно фактически проведено выше для част ного случая. Учитывая это, в дальнейшем мы будем применять правило силлогизма и для выводимости в смысле теоремы дедукции.
Т е о р е м а 5.
I- VJC (F (Х) - > G (х)) -> (Зх F (х) -> 3-v G (А)).
Покажем, что правая часть следования выводима из левой. Из
Ь Vx(F (х) -* G (А-)) - * (F (у) -> G (у)\
применив правило заключения, мы найдем, что фор мула
F(y)->G(y)
выводима из формулы
Vx(F(x)-*G(x)). (2)
Из формул
G (у) - > ЗА- G (Х)
F(y)-*G(y),
которые выводимы из формулы (2) (первая потому, что она выводимая), применив правило силлогизма, получим формулу
F (*/)-> ЗА-G(A-), |
(3) |
которая, следовательно, также, выводима из формулы (2).
§ 9. Д А Л Ь Н Е Й Ш И Е ТЕОРЕМЫ И С Ч И С Л Е Н И Я П Р Е Д И К А Т О В |
225 |
Применив второе правило связывания квантором по переменной у к формуле (3), получим после переимено вания связанных переменных формулу
|
Эх F (х) -> Зх G (х), |
которая, |
следовательно, также выводима из формулы |
(2). [Мы |
можем применить правило связывания кван |
тором к |
формуле (3), так как переменная у не входит |
вформулу (2).]
Врезультате на основании теоремы дедукции можно заключить, что имеет место
Ь- Vx (F (х) -* G (х)) -> (Зх F (х) -* З х G (х)),
и теорема доказана. |
|
|
|
|
|
||
3 а м е ч а н и е |
к |
т е о р е м е |
5. |
Легко |
видеть, |
что |
|
выводима следующая |
формула: |
|
|
|
|
||
|
I - Vx (F (х) |
- |
G (х)) _> (Зх F (х) |
- 3 x 0 |
(х)). |
|
|
В самом деле, при доказательстве теоремы 5 мы |
|||||||
показали, что из формулы F(y)-+ |
G(y) выводима фор |
||||||
мула |
Эх F (х) -> Зх G (х). Ясно, что из формулы G(y) |
-> |
|||||
->F(y) |
выводима |
формула |
|
|
|
|
|
Эх G (х) -» Эх F (х).
Но обе формулы
F(y)-*G(y) и G(y)->F(y)
выводимы, как легко видеть, из формулы
Vx(F(x) ~ G(x)).
В таком случае из этой формулы выводимы также и формулы
Зх G (х) -> Зх F (х) и |
Зх F (х) -> Эх G (х). |
Подстановками в выводимую формулу исчисления |
|
высказывании |
|
А^(В->А& |
В) |
получим
1- (Зх F (х) -> Зх G (х)) -> ((Зх G (х) ->3х F (х)) ->
-» (Зх F (х) ~ Эх G (х))).
8 П. С. Новиков
226 |
ГЛ. I V . И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В |
Применив два раза правило заключения, получим, что формула
Зх F (х) ~3xG |
(х) |
выводима из формулы Vx (F (х) ~ G (х)), откуда в силу теоремы дедукции следует
Ь Ух (F (х) ~ |
G (х)) -> (Зх |
F (х) ~3xG |
(х)). |
|
Т е о р е м а |
6. |
|
|
|
Ь- Ух |
(F (х) ~ |
G (х)) -> (Ух F (х) ~ Ух G (х)). |
||
Покажем, |
что следование в |
одну сторону |
выводимо |
|
из посылки. Из формулы
'4)
Применяя правило заключения, легко показать, что
обе формулы |
F(y) |
-> G(y) |
и G(y) ->F(y) |
выводимы из |
|||
формулы |
(4). |
Из |
выводимой |
формулы |
|
yxF(x)-*F(y) |
|
и выводимой |
из |
посылки |
(4) |
формулы |
|
F(y)-+G(y), |
|
применяя |
правило |
силлогизма, |
получаем, |
что |
формула |
||
Ух F(x) -> G (у) выводима |
из |
формулы |
(4). |
Применяя |
|||
первое правило связывания квантором и переименовы вая переменные, найдем, что формула
Ух F (х) -> Ух G (х)
выводима из формулы (4). Таким же образом доказы вается, что обратное следование
VxG(x)-+4xF(x)
выводимо из формулы (4).
§ 9. Д А Л Ь Н Е Й Ш И Е ТЕОРЕМЫ И С Ч И С Л Е Н И Я П Р Е Д И К А Т О В |
227 |
Рассмотрим выводимую формулу исчисления выска зываний
Л - > ( £ - > А&В).
Из нее путем сложной подстановки получим выводи мую формулу
(V* F (х) -> У/х G (х)) -> [(V* G (х) -+VxF (х)) -*
-* (У/х F (х) У/х G (х)) & (У/х G (х) -+VxF (х))).
Обе посылки этой формулы выводимы из формулы
(4). Применяя два раза правило заключения, находим, что формула
(V* F (х) -> У/х G (х)) & (У/х G (х) ->y/xF (х))
или, что то же самое, формула
|
|
|
VxF(x) ~ |
VxG(x) |
выводима из |
формулы (4). Отсюда, применив теорему |
|||
дедукции, получаем теорему |
6. |
|||
Т е о р е м а |
7. |
|
||
a. |
3xF(x) |
~ |
VxF(x); |
|
b. |
BxF(x)~ |
|
4x~¥Jx); |
|
c. |
3xF(x) |
~ |
y/xF(x); |
|
d. |
3xF(x) |
~ |
y/xF(x). |
|
Докажем |
7a. |
|
||
Подстановкой в аксиому V. 1 получаем
\-VxF(x)->F(y).
Обращая следование /правило -=—=-1, имеем
\-F(y)->4x"W(x).
Из последней формулы и из истинной формулы
\-Fiy)-*F{y),
применив правило силлогизма, получим
Y-F(y)->y/xF{x),
8*
228 ГЛ. I V . И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В
Применив второе правило связывания квантором и пе реименовав связанные переменные, имеем
\-3xF(x)^>VxF(x). |
(5) |
Выведем обратное следование. Применив к |
аксио |
ме V. 2 правило обращения следования, получим |
|
\-3xF(x)-*F{y). |
|
Применив первое правило связывания квантором и пе реименовав связанные переменные, будем иметь
t-3xF(x)-+VxF(x).
Обращая следование, получим
Vx Р (х) ->3xF (х).
Применив к последней формуле и к выводимой фор муле
3xF~Jxj->3xF(x)
правило силлогизма, имеем
VxF(x)-+3xF(x). (6)
Применив к формулам (5) и (6) правило
Ш, %
получим 7а.
Докажем 7Ь. Рассмотрим истинную формулу
\-F(x)~F(x).
Применив к ней производное правило связывания квантором,будем иметь
k Vx (F (х)~?(х)) .
Сделав подстановку в выводимую формулу, доказан ную в теореме б, получим
I - Vx (F (х) ~ F (х)) -> (Vx F (х) ~ Vx F (х)).
Применив правило заключения к последним формулам, будем иметь
\-4xF{x)~4xF{x).
§ |
9. Д А Л Ь Н Е Й Ш И Е ТЕОРЕМЫ |
И С Ч И С Л Е Н И Я |
П Р Е Д И К А Т О В 229 |
|||
Рассмотрим оба следования, заключенные в этой |
||||||
формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
Ух F (х) —> Ух F (х) и УхР(х)-+ |
VxF(x). |
||||
Обратим оба эти следования и соединим |
полученные |
|||||
обращения в виде формулы |
|
|
|
|
||
|
|
Ь- Ух |
FJX)~VX?(X). |
|
|
|
Сделаем |
подстановку в формулу |
7а; заменив F(x) на |
||||
F(x), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
Ь- 3xF(x)~ |
УхТ(х). |
|
|
|
Применив |
к двум последним |
формулам |
правило |
|||
|
|
gt~SB, |
6 ~ S |
|
|
|
|
|
SI ~ |
(5 |
|
|
|
получим формулу 7Ь. |
|
|
|
|
||
Выводимость формул 7с и 7d легко доказывается |
||||||
посредством правила обращения |
следования |
из формул |
||||
7а и 7Ь. |
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
8. |
|
|
|
|
|
Ь (Л - > У х F ( х ) ) ~ У х |
(А->F(х)). |
|
||||
Докажем первое следование: |
|
|
|
|||
(Л -> Ух F (х)) -* |
Ух (А -> F (х)). |
|
||||
Сначала докажем, что F(y) |
выводимо |
из формулы |
||||
|
(A-+yxF |
(х)) & Л. |
|
(7) |
||
В самом деле, из формулы (7) выводимы, |
очевидно, |
|||||
формулы Л -> Ух F(х) |
и Л. Применив |
к этим |
формулам |
|||
правило заключения, мы видим, |
что |
формула VxF(x) |
||||
выводима из |
формулы |
(7). Аксиома V. 1 |
yxF(x)^>F(y) |
|||
выводима из (7). Применив правило заключения к фор
мулам yxF(x) |
и |
Ух F (х) -> F {у), |
находим, что Р(у) |
|
выводима |
из |
(7). |
|
|
На основании теоремы дедукции мы можем заклю |
||||
чить, что |
|
h(A->yxF(x))& |
A->F(y). |
|
|
|
|||
„ |
правило |
81 & 33 -> G |
П 0 Л У Ч И М |
|
Применив |
>д > ("В -> G) ' |
|||
h(A->VxF(x))->{A-*F(y)),
230 |
ГЛ. I V . И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В |
откуда, применив правило связывания квантором и пе реименовав затем связанные переменные, имеем
h(A-+VxF{x))-*Vx(A-*F(x)). (8)
Докажем обратное следование:
\-Vx(A-+F (х)) -+(A->VxF (х)).
Покажем, что следствие выводимо из посылки. В самом деле, из формулы
Vx(A-*F(x)) |
(9) |
и выводимой формулы
Y-Vx(A->F{x))->(A->F(y)),
применив правило заключения, находим, что формула
A-*F(y)
выводима из формулы (9). Применив первое правило связывания квантором и переименовав связанные пере менные, найдем, что формула
|
|
A-+VxF(x) |
|
выводима из формулы |
(9). |
|
|
На основании теоремы дедукции мы можем заклю |
|||
чить, |
что |
|
|
|
t-Vx(A-+F |
(х)) |
(А -> Vx F (х)). |
Из |
выводимости доказанных следований вытекает |
||
выводимость эквивалентности |
|
||
|
Ь- Vx (А -> F (х)) ~ |
(А -> Vx F (х)). |
|
§ 10. Эквивалентные формулы
Так же, как и в исчислении высказываний, мы будем го ворить, что формулы % и 23 эквивалентны, если имеет место
Ь Я ~ 2 3 .
Так как в исчислении предикатов также справедли вы правила
И 3 3 ~ % '