книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

Аналогичным образом можно убедиться, что и ак­ сиоме V. 2 поставлена в соответствие правильная фор­ мула.

Дальше можно показать, что правила получения выводимых формул исчисления предикатов для соответ­ ствующих формул без кванторов переходят в правила, в силу которых из правильных формул получаются снова правильные формулы исчисления предикатов.

Рассмотрим, например, первое правило связывания квантором. Предположим, что формула

91 23 (х),

где 91 не содержит переменной х, выводима, а соответ­ ствующая ей формула является правильной формулой исчисления предикатов. Эта формула имеет вид

где 91** и 23** — формулы, соответствующие 91 и 23. Так как формула (2) по предположению правильная, то формулы

2Г - *23"(1) и Я " - * 93" (2)

также правильные. Но тогда и формула ЗГ-*ЭЭ"(1)&33"(2)

правильная, а это и есть формула, соответствующая формуле

2t->Vx93(x).

Проведя доказательство для всех правил исчисления предикатов, мы тем самым покажем, что каждой выво­ димой формуле исчисления предикатов соответствует

Так как формула (1) свободных переменных не со­ держит, то формула (3), если она правильная, должна быть выводимой формулой исчисления высказывании. Однако легко видеть, что формула (3) не является вы­ водимой. В самом деле, для предиката F, для которого F(\) имеет значение И, а F(2) —значение Л, формула

(3) перейдет в

И V л->и&л,

т. е. примет значение Л. Отсюда следует, что формула

(1) не является выводимой в исчислении предикатов, что и требовалось доказать.

§ 7. Некоторые теоремы исчисления предикатов

Утверждение о том, что формула 91 является выводи­ мой в исчислении предикатов, мы будем обозначать так же, как и в исчислении высказываний:

\-%.

Так как все формулы, выводимые в исчислении вы­ сказываний, являются также выводимыми в исчислении предикатов, то, совершая подстановки в выводимые формулы исчисления высказываний, мы будем получать выводимые формулы исчисления предикатов.

Пр и м е р ы .

1.Заменяя в выводимой формуле исчисления выска­ зываний

hА V А

Ана F(x), получим выводимую формулу исчисления предикатов:

\-F{x) V F(x).

2. Заменяя в выводимой формуле

\-А-+А V В

А на F(x), В на Vу G(y), получим

Заметим, что обнаружить выводимость формулы в исчислении высказываний не представляет никакого

214 ГЛ. IV. И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В

труда. Для этого пет необходимости проводить ее вы­

мые формулы исчисления предикатов; однако таким об­ разом всякую выводимую формулу исчисления преди­ катов вывести нельзя.

Все производные правила, выведенные для исчисле­ ния высказываний, остаются справедливыми и для ис­

складываются из последовательного применения основ­ ного правила подстановки (соответственно основного

так как они получаются повторением соответствующих доказательств для исчисления высказываний. Для при­ мера докажем только справедливость правила силло­ гизма

является выводимой, каковы бы ни были формулы ис­

переменными какой-нибудь пары этих формул. Но так

выводима из совокупности всех выводимых формул ис­ числения предикатов и формулы 91 посредством приме­ нения всех правил исчисления предикатов, причем оба правила связывания квантором, правила подстановки вместо переменных предикатов и вместо свободных предметных переменных должны применяться только к таким переменным предикатам или предметам, кото­ рые в формулу 91 не входят.

Мы высказали предварительное, не вполне точное определение «выводимости формулы 93 из формулы 91». Дадим теперь точное определение этого понятия. Оно складывается из следующих пунктов.

1. Каждая выводимая формула 23 исчисления пре­ дикатов выводима из 21, если только выражение 91 -> 23 не содержит коллизии переменных.

2.Формула 21 выводима из 21.

3.Если формулы

выводима из 21.

218ГЛ. IV . И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В

7.Если 23 выводима из 21, то и формула 23', полу­ ченная из 23 подстановкой в свободную предметную переменную, не входящую в 21, также выводима из 21, если эта подстановка не приводит к коллизии перемен­ ных с 21.

8.Если 23 выводима из 21 и если формула 23' полу­ чена из 23 посредством подстановки в переменное вы­ сказывание или переменный предикат, причем это пере­ менное высказывание или предикат не содержатся в

Мы при этом, конечно, предполагаем, что 91 и 23 таковы, что 21 23 является формулой, т. е. между 21 и 23 не возникает коллизии переменных. Впрочем, ка­ кова бы ни была формула 23, можно так переименовать предметные переменные, что полученная при этом фор­ мула 23' не приводит к коллизии переменных с 21 и поз­ воляет образовать формулу 91 -> 23'. В таком случае теорема дедукции может быть сформулирована для формул 91 и 23'.

Для доказательства теоремы дедукции достаточно

23,->VA- 232 (A;).

e) Если теорема справедлива для формулы

ЗД-*23„

подстановкой в переменное высказывание или перемен­ ный предикат, не содержащиеся в 21, при условии, что между 21 и 23' не возникает коллизии переменных.

Справедливость а) следует из того, что всякая фор­ мула вида

Л->9(,

где 91 — выводимая формула, также выводима. Следо­ вательно, если 23 — выводимая формула, то и

91-> 23

—также выводимая формула.

Справедливость Ь) очевидна.

Докажем с). Пусть 231 и 23, - > 232 — выводимые из 21

формулы, для которых справедлива теорема дедукции. Возьмем аксиому I . 2:

(Л -> (В -> С)) -> ((Л -> В) -> (Л - * С)).

Подстановками в эту аксиому мы получим следую­ щую выводимую формулу исчисления предикатов:

Так как по предположению мы имеем

то, применив сложное правило заключения, получим

Ь 21 — 232.

получим требуемую формулу:

I-31 (33,-> V* 232 (*)).

e) Справедливость этого утверждения доказывается так же, как и d); только в этом случае надо воспользо­ ваться еще правилом перестановки посылок:

% - > ( § B - > G )

SB - >(« - >< £ ) '

Справедливость f) и g) очевидна.

h) Справедливость этого утверждения также ясна. Действительно, для выводимой из 91 формулы 23 имеет место

Н91-»23.

Если 23' является результатом подстановки в перемен­ ное высказывание или переменный предикат, не входя* щий в 91, то

91-> 23'

является результатом той же подстановки в формулу 91->23.

Поэтому 91 -»- 23' — также выводимая формула исчисле­ ния предикатов.