книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

Поставим вопрос о соотношении между понятием выводимой формулы описанного исчисления и рассмо­ тренным в главе I I I содержательным понятием тожде­ ственно истинной формулы. Нетрудно видеть, что каждая

аксиомы исчисления предикатов тождественно истинны. Во-вторых, применение правил вывода исчисления пре­ дикатов к тождественно истинным формулам приводит к тождественно истинным формулам. Это очевидно для правила заключения. Для правил переименования сво­ бодных и связанных переменных это также очевидно.

есть результат замены в формуле 91 элементарного пре­

можно также рассмотреть как предикат от п перемен­ ных, если фиксировать значения всех остальных сво­ бодных переменных. Так как по условию формула 91 истинна для каждой области и при любой замене пере­ менных предикатов индивидуальными, то, очевидно, она истинна и при замене F формулой 23(t\, tn). Случай правила подстановки в переменное высказывание оче­ виден..

ложна, то формула (2) также истинна. Итак, формула

(2) является тождественно истинной формулой, что и требовалось доказать.

Таким же образом доказывается, что применение второго правила связывания квантором к тождествен­ но истинной формуле приводит к тождественно истин­ ной формуле.

Итак, мы показали, что всякая формула, выведенная из аксиом по правилам исчисления предикатов, являет­ ся тождественно истинной формулой в содержательном смысле. Заметим, что мы вместе с тем получаем и до­ казательство непротиворечивости исчисления предика­ тов на основе наивной теории множеств.

В самом деле, если каждая доказуемая в исчислении предикатов формула тождественно истинна, то две фор­ мулы, из которых одна является отрицанием другой, не могут быть обе доказуемы, так как не могут быть од­ новременно тождественно истинными. Однако приведен­ ное доказательство непротиворечивости опирается на понятие актуальной бесконечности. Оно не может быть употреблено при решении вопроса о непротиворечивости самой теории множеств, так как это привело бы к пороч­ ному кругу. Впрочем, строгое доказательство непроти­ воречивости исчисления предикатов, которое мы рас­ смотрим в следующем параграфе, основано на той же идее, что и приведенное здесь.

§ 5. Непротиворечивость исчисления предикатов

Вопрос о непротиворечивости исчисления предикатов легко решается в положительном смысле. Постановка вопроса о непротиворечивости исчисления предикатов та же самая, что и для исчисления высказываний: про­

тиворечивым называется такое исчисление, в котором ка­ кая-либо формула доказуема вместе со своим отрица­ нием.

Для исчисления предикатов и для любой логической системы, полученной из исчисления предикатов при­ соединением в качестве аксиом новых формул, так же, как и для исчисления высказываний, можно утверждать,

что если бы эта системы была противоречивой, то в ней была бы выводима произвольная формула. В самом деле, допустим, что мы доказали в исчислении предика­ тов как формулу 21, так и формулу 21. Формула

является выводимой формулой исчисления предикатов, так как она выводима в исчислении высказываний. Вы­ полнив подстановку, получим выводимую формулу

следующем. Мы будем рассматривать формулы содер­ жательным образом и понимать их так, как это дела­

на некоторой области Ш. Если эта область состоит из

состоящей из одного элемента а, равносильны высказы­ ванию 21(a). При такой интерпретации все формулы исчисления предикатов заменяются формулами исчис­ ления высказываний. При этом все аксиомы исчисле­ ния предикатов будут выводимыми формулами исчис­

казуема. Но тогда преобразованная система была бы

рительных замечаний дадим формальное доказательство непротиворечивости исчисления предикатов.

Поставим в соответствие каждой формуле исчис­ ления предикатов формулу 91* по следующему закону: переменному высказыванию ставим в соответствие это же переменное высказывание.

Мы видим, что наличие кванторов в формуле исчис­ ления предикатов никак не сказывается на формуле,

и та же формула. Можно кратко описать формулу 91*, соответствующую формуле 91, следующим образом:

Из этого закона соответствия следует, что формулы, ко­ торые мы ставим в соответствие формулам исчисления предикатов, являются формулами исчисления высказы­ ваний. Для элементарных формул исчисления предика­ тов это непосредственно ясно. Составляя из элементар­ ных формул произвольную формулу исчисления преди­ катов, мы применяем операции 3° и 4°, описанн"ые в § 1 (стр. 185). Но тогда соответствующая ей формула со­ ставляется из формул, соответствующих элементарным, только операциями 4°, т. е. для всякой формулы исчис­ ления предикатов соответствующая ей формула состав­ ляется из переменных высказываний с помощью опера­ ций исчисления высказываний и, следовательно, яв­ ляется сама формулой исчисления высказываний.

операции подстановки, наше утверждение можно запи­ сать так:

Будем далее рассматривать операции образования новых формул и докажем по индукции, что если наше утверждение справедливо для формул 21 ь 21г, 21 (ж), то оно справедливо и для формул, полученных из этих применением логических операций конъюнкции, дизъ­ юнкции, импликации, отрицания и связывания кванто­ ром. Это можно сделать кратко, пользуясь свойством

перестановочности операций R^ и R^\''"^ с этими логическими операциями. Мы проведем доказательство только для оператора подстановки и логи­ ческих операций конъюнкции и связывания квантором.

Требуется доказать, что формула

' я ) ( * . & * , ) ] '

совпадает с

если известно, что наше утверждение справедливо для формул 211 и 21г. В силу свойств оператора R^'y^"'

33*, которая также является формулой исчисления высказываний, всегда выполнима.

ному, формуле Н соответствует формула #*, получен­ ная в результате подстановки в выводимую формулу

23*->[V.v2C(x)]*

или, что то же,

23* -> 21*.

Следовательно, формуле (4) соответствует та же формула, что и формуле 23->21(х), т. е. выводимая формула исчисления высказываний.

Таким же образом наше утверждение доказывается для второго правила связывания квантором.

Таким образом, мы показали:

Доказательство этого осуществляется на основании того же соответствия, в силу которого мы каждой фор­ муле 91 исчисления предикатов отнесли формулу 91* исчисления высказываний. Из рассуждений § 5 выте­ кает, что каждая формула, которой соответствует выво­ димая формула исчисления высказываний, может быть присоединена без противоречия к аксиомам исчисления предикатов. Формуле (1) соответствует в исчислении высказываний формула

F—>F,

которая является выводимой формулой исчисления вы­ сказываний.

Итак, формула (1) может быть присоединена к ак­ сиомам исчисления предикатов. Может показаться странным, что такую формулу, явно неверную, можно без противоречия присоединить к аксиомам исчисления предикатов. Для выяснения этого вопроса обратимся к содержательному смыслу формул исчисления преди­ катов. Дело в том, что из общих логических аксиом ничего не вытекает относительно того, какие предметы и сколько их существует в той области Ш, к которой относятся наши высказывания и предикаты. Из обще­ логических положений нельзя, например, заключить, что область Ш содержит более одного элемента. Если же область Ш содержит только один элемент, то формула

(1) для нее истинна. Вместе с тем наш прием доказа­ тельства непротиворечивости тех или других аксиом в том и состоял, что мы интерпретировали все наши формулы на области, состоящей из одного элемента.

Чтобы доказать, что исчисление предикатов неполно в узком смысле, нам еще нужно показать, что формула

(1) не выводима из аксиом исчисления предикатов. С содержательной точки зрения этот вопрос представ­ ляется совершенно ясным. Ведь из всеобщей истинности