книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

тальные переменные формулы 21, так как всякая от­ личная от х переменная либо свободна в \/х 21, либо свя­ зана квантором, находящимся в области действия кван­ тора Vx. Так как произведенное нами переименование

Уг/21'(г/) является формулой, что и требовалось дока­ зать.

Таким же образом можно показать, что если наше утверждение верно для 21, то оно верно и для 3x21.

Допустим, что наше утверждение справедливо для формул 21 и 23 таких, что связанные переменные одной формулы отличны от свободных переменных другой. Докажем, что оно справедливо и для формулы 21 & 23. Переименуем переменные этой формулы так, чтобы

щим условиям а) и Ь), являются формулами. В силу условия а) связанные переменные в 21' отличаются от свободных переменных в 23' и наоборот. Поэтому слово

тех, при которых формула остается формулой. Напри­ мер, в формуле

Vx [F (х) V G (у)}

переименование буквы у в букву х не допускается на­ шими требованиями, так как переменная у свободна,

192 ГЛ. IV . И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В

ах связана. Однако если такую замену произвести, то получится слово

Vx [F (х) V G (х)],

которое является формулой. Таким образом, условия а) и Ь) не являются необходимыми для того, чтобы в результате переименования переменных из формулы снова получилась формула. В дальнейшем нам пона­ добятся только переименования переменных, удовлет­ воряющие условиям а) и Ь), и мы не будем искать бо­ лее широких.

§ 3. Аксиомы исчисления предикатов

Определение выводимых формул мы будем формули­ ровать тем же способом, который мы применяли при описании исчисления высказываний. Условимся считать

ми исчисления предикатов. Затем укажем правила об­ разования новых выводимых формул из тех, которые уже получены, или же из аксиом. Те и только те фор­ мулы, которые можно получить применением этих пра­ вил, исходя из аксиом, мы будем считать выводимыми.

А к с и о м ы и с ч и с л е н и я п р е д и к а т о в

I

1.А-*(В->А).

2. (Л -> (В - * С)) -> ((Л -> В) -> (Л -> С)).

I I

1.А&В->А.

2.А&В-+В.

3.(А-+В)-+((А-+С)-+(А^>В&С)).

I I I

1.А ^ А У В .

2.В-> А V В.

3.(Л -> С) -> ((В -* С) -> (Л V В -> С)).

А всюду, где она входит, любой формулой 23, удовлет­

соблюдено условие Ь2 . Если все же произвести эту за­ мену, то полученное слово не будет формулой^-так как в нем два квантора, один из которых находится в об­ ласти действия другого, обозначены одинаковыми буква­ ми. Замена буквы А формулой

Vz V/ [А & И {z, t) V В & F (г, t)]

возможна, так как в этом случае условия Ы, Ь2 выполне­ ны. Полученное в результате такой замены слово

(вообще говоря, 23 может содержать и другие перемен­ ные), где t\, h , tn — буквы, отличные от всех пред­ метных переменных формулы 21. Если для формулы 23 соблюдено условие Ь1 и еще условие:

196 ГЛ. IV . И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В

поставленным перед той формулой, в которую произво­ дится подстановка, например:

/?*(21) (соответственно R^l'}'^'"'*пНЩ>

в результате опять получается формула. Мы на этом не будем останавливаться.

3. Правило замены свободной предметной перемен­

Произведем в ней подстановку, заменив переменную у переменной z; получим формулу

Операция переименования связанных переменных существенно отличается от операции подстановки в сво­ бодные переменные. Производя переименование свя­ занных переменных, мы уже не обязаны переименовы-

вать их всюду, где они входят в формулу 21, а лишь только в области действия квантора, связывающего дан­ ную переменную: Это значит, что такие одинаковые переменные, для которых связывающие их кванторы имеют разные области действия, могут переименовы­ ваться разным образом или одна из них может пере­ именовываться, а другая нет.

Пр и м е р ы .

1.Рассмотрим формулу

3xF(x)->VxG(x).

Применив операцию переименования связанных перемен­ ных, мы можем из данной формулы получить следующую:

3yF(y)->VzG(z).

Здесь мы переменную х в области действия одного кван­ тора заменили переменной у, а в области действия другого квантора — переменной г.

Поскольку области действия этих кванторов различ­ ны, мы совершили переименование связанных пере­ менных правильно. Переименовывая иначе связанные переменные, мы из той же формулы можем получить формулу

3xF x)->VzG(z).

2. Рассмотрим формулу

3v Зх V'у [(F (х, y)V3zG (z)) & G (у) V Я (а)].

Переименовывая в этой формуле переменную у, мы должны заменить ее одинаковым образом всюду, где она входит. Переименование, приводящее к формуле

3v Зх V» [(F (х, и) V 3zG (z)) & G (и) V Я (v)],

является вполне правильным, но замена переменной у, приводящая к формуле

3v Зх V» [(Г (х, и) V 3zG (z)) & С (о) V Я (о)],

не является правильным переименованием связанных переменных, так как в этом случае мы переменную у в области действия одного и того же квантора \/у пере­ именовали разным образом, в одном месте заменив ее переменной и, а в другом переменной v.

200 ГЛ. IV, И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В

тов содержит в числе своих аксиом все аксиомы исчис­ ления высказываний, а в числе правил образования выводимых формул — оба правила вывода исчисления высказываний: правило заключения и правило подста­

правила к аксиомам, получить все выводимые формулы исчисления высказываний. Вопрос о том, существуют ли формулы исчисления высказываний, выводимые в исчислении предикатов, но не выводимые в исчислении высказываний, решается отрицательно. Это легко сле­ дует из непротиворечивости исчисления предикатов и полноты исчисления высказываний в узком смысле. Об

о вполне определенной предметной переменной х. Однако посредст­ вом правил подстановки в свободную предметную переменную и пе­ реименования связанных переменных она-легко распространяется на любую предметную переменную.