книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

Более значительным примером аксиоматического оп­ ределения является система аксиом геометрии. Рассмат­ риваемую систему объектов будем разделять на три класса: «точки», «прямые-» и «плоскости» — и будем употреблять для них термины: «точка а принадлежит прямой А», «прямая А принадлежит плоскости «точка а лежит между точками Ь и с» и другие, выра­ жающие отношения между объектами системы. Вместе с тем, употребляя эти термины, мы не будем вкладывать в них смысла пространственных отношений, а вместо этого выскажем для них некоторую систему аксиом. Это можно сделать по-разному, но существует вполне опре­ деленная система аксиом, носящая название «системы аксиом геометрии Евклида». Эта система была предло­ жена Гильбертом. Мы не будем здесь приводить эти ак­ сиомы. Их можно найти в книгах по основаниям геомет­ рии. В этих аксиомах высказаны все те предпосылки, ко­ торые явным или неявным образом употреблялись при доказательстве теорем геометрии Евклида. Таким обра­ зом, выводимые из этих теорем следствия адекватно выражают свойства евклидова пространства, интуитив­ ное представление о котором было почерпнуто из не­ посредственного опыта и существует издавна в умах людей.

Ясно, что соответствие между аксиомами и предме­ тами реальности всегда имеет приближенный характер. Если мы, например, поставим вопрос, удовлетворяет ли реальное физическое пространство аксиомам геометрии Евклида, то предварительно мы должны дать физические определения геометрических терминов, содержащихся в аксиомах, как-то: «точка», «прямая», «плоскость» и др. Иными словами, нужно указать те физические реально­ сти, которые этим терминам соответствуют. После этого аксиомы превратятся в физические утверждения, кото­ рые можно подвергнуть экспериментальной проверке. После такой проверки мы можем ручаться за истинность наших утверждений с той степенью точности, какую обес­ печивают измерительные приборы.

При рассмотрении любой системы аксиом возникает ряд вопросов, которые, в частности, могут решаться и с помощью интерпретаций. Один из этих вопросов — во­ прос о непротиворечивости системы аксиом. Мы всегда

ВВЕДЕНИЕ

должны быть уверены, что, делая всевозможные вы­ воды из данной системы аксиом, не придем к про­ тиворечию, т. е. не выведем какие-либо несовместимые утверждения. Появление противоречия означало бы, что рассматриваемой системе аксиом не может удовлетво­ рять никакая система объектов и, таким образом, эти аксиомы ничего не описывают. Непротиворечивость си­ стемы аксиом может быть доказана построением какойнибудь точной интерпретации этой системы. Следует за­ метить, что в догильбертовском аксиоматическом методе это был единственный способ доказательства непротиво­ речивости.

Аналогично обстоит дело и с вопросом о независимо­ сти аксиом. Какая-либо аксиома называется независи­ мой в данной системе аксиом, если она невыводима из остальных аксиом этой системы. Для доказательства независимости какой-либо аксиомы достаточно найти систему объектов, удовлетворяющую всем аксиомам, кроме исследуемой, и не удовлетворяющей этой послед­ ней. Иными словами, для доказательства независимости аксиомы требуется найти интерпретацию системы ак­ сиом, полученной из рассматриваемой после замены ис­ следуемой аксиомы ее отрицанием. Поэтому, для того чтобы пользоваться системой аксиом, необходимо иметь заранее такие объекты, свойства и отношения, которые могут служить точной интерпретацией этой системы ак­ сиом.

Интерпретации систем аксиом черпаются из круга математических понятий. Мощным источником интерпре­ таций для всевозможных систем аксиом является теория множеств.

Мы не можем здесь сколько-нибудь подробно вда­ ваться в изложение теории множеств. Укажем только в самых общих чертах, какими именно объектами она рас­ полагает.

Исходными объектами являются натуральные числа. Из совокупности натуральных чисел можно при помощи теоретико-множественных принципов строить новые мно­ жества и функции. Укажем некоторые основные прин­ ципы построения множеств.

1. Если дано множество объектов, то посредством точно сформулированного признака можно выделить из

него подмножество, т. е. некоторую его часть. Напри­ мер, из множества всех натуральных чисел можно вы­ делить часть—множество всех простых чисел.

2.Если имеется какая-то совокупность множеств, то можно получить новое множество, объединив все эле­ менты всех этих множеств.

3.Для каждого множества можно образовать мно­ жество всех его подмножеств.

4.Допустим, что в силу некоторого признака каж­ дому элементу множества Е поставлен в соответствие какой-то элемент множества G. Такое соответствие на­ зывается функцией. При этом говорят, что рассматри­ ваемая функция определена на множестве Е и прини­ мает значение из множества G. Функции также являют­

ся объектами, из которых можно строить множества. В частности, можно образовать множество всех функций, определенных на £ и принимающих значения из G.

Перечисленные принципы не исчерпывают всех воз­ можных средств построения теоретико-множественных объектов. Но для дальнейшего изложения мы можем ог­ раничиться описанными здесь средствами. При помощи теоретико-множественных принципов, исходя из сово­ купности натуральных чисел, рассматриваемой как ис­ ходное множество, можно построить все существующие математические понятия. Отсюда же черпаются и ин­ терпретации для систем аксиом.

Эта дисциплина, возникшая в конце прошлого столе­ тия, быстро развиваясь, оказала огромное влияние на математику и имела особенное значение в вопросах ос­ нований математики. Но уже в самом начале возникно­ вения теории множеств было замечено, что использова­ ние без всяких ограничений создаваемых ею понятий приводит к противоречию. Это обстоятельство не оста­ новило развития теории множеств, так как в тех преде­ лах, в которых обычно пользуются ее понятиями, проти­ воречий не возникало. Но и дальнейший анализ основ теории множеств не дал никаких удовлетворительных оснований для уверенности, что и в дальнейшем, хотя бы

14 В В Е Д Е Н И Е

в рамках фактического пользования идеями теории мно­ жеств, не может возникнуть противоречие. Таким обра­ зом, утверждение об отсутствии противоречий в преде­ лах существующих теоретико-множественных построе­ ний является эмпирическим заключением, для которого не имеется достаточно веских оснований. В результате приходится констатировать, что, несмотря на весьма успешное обслуживание теорией множеств аксиоматиче­ ского метода, основания, на которых она сама строится, неудовлетворительны. Отправляясь от указанных затруд­ нений, дальнейшая критика обратила внимание на одну существенную особенность теории множеств или, лучше сказать, на особенность математического мышления во­ обще, но проявившуюся наиболее ясно при развитии тео­ рии множеств. Речь идет об идее бесконечности, являю­ щейся одним из самых основных элементов математиче­ ского мышления. В античной математике по отношению к бесконечности была проявлена осторожность. Был про­ изведен в известной мере логический анализ понятий, связанных с бесконечностью. Это выразилось в появле­ нии известных антиномий об «Ахиллесе и черепахе», «летящей стреле», «бесконечной делимости» и др. Осто­ рожность выразилась в требованиях большой строгости, предъявленных к употреблению бесконечности в матема­ тических рассуждениях. Современный математический анализ в самом начале своего возникновения Под влия­ нием требований естественных наук и техники стал обращаться с бесконечностью с гораздо большей свобо­ дой и меньшей строгостью. Благодаря этому он получил возможность быстро и широко развиваться и сыграть

ности, связанные с идеей бесконечности. Эти трудности каждый раз вызывали к жизни критику соответствую­ щих понятий анализа. Наиболее полно это критическое направление выразилось на последнем своем этапе, а именно в трудах Кронекера, Бореля, Лузина и Брауэра. Форма бесконечности, которая лежит в основе теоретикомножественных представлений, получила название «ак­ туальной бесконечности». Прежде чем уточнять это по­ нятие, попытаемся его себе представить при помощи гру­ бого и логически несовершенного описания. Под терми-

ная совокупность, построение которой завершено и эле­ менты которой представлены одновременно. Мы будем, например, иметь дело с актуальной бесконечностью, если пересчитаем весь натуральный ряд полностью. Если бы можно было производить любое бесконечное множе­ ство строго отделенных друг от друга актов, то не существовало бы никаких математических проблем. Каждая из них была бы решена непосредственной про­ веркой всех возможных случаев. Идеализированный ха­ рактер понятия актуальной бесконечности совершенно ясен. Построение бесконечного числа отдельных предме­ тов, выполнение бесконечного числа актов неосущест­ вимо не только в силу недостатка практических средств, но и принципиально не может быть осуществлено никогда и никакими средствами. Вместе с тем математи­ ческое мышление широко использует эту идеализацию, например представляя геометрическую фигуру как бес­ конечную совокупность точек, отрезок времени как бес­ конечную совокупность моментов, движение как беско­ нечную совокупность отдельных положений движущегося тела и т. д.

Конкретное проявление идеи актуальной бесконечно­ сти состоит в распространении на бесконечность некото­ рых логических принципов, которые являются совершен­ но бесспорными в области конечного. Одним из таких принципов является, например, известный закон исклю­ ченного третьего, который формулируется следующим об­

*&. Предположим, что 21 есть высказывание о предметах бесконечной совокупности, например о всех натуральных числах. Если бы мы могли произвести бесконечное число актов проверки, то легко выяснили бы, что именно вер­ но— 21 или 21. Предположение о возможности удостове­ риться, что для любого суждения 21 верно оно или его отрицание, представляет собой частичную замену гипо­ тезы о возможности бесконечного числа актов проверки. Такую же роль играет в теории множеств и абсолютное понимание термина «существование» в применении к бесконечным совокупностям. Для теории множеств

1G В В Е Д Е Н И Е

характерны теоремы чистого «существования», когда до­ казывается существование какого-то объекта без того, чтобы этот объект указывался или строился. Такие до­ казательства часто бывают связаны именно с употребле­ нием закона исключенного третьего.

Рассмотрим пример такого доказательства. Построим бесконечную последовательность целых неотрицательных чисел, связанную с разложением числа я = 3 , 1 4 . . . в де­ сятичную дробь. Каждый член ап последовательности определим в зависимости от п-го знака в разложении я. Если я-й знак разложения равен нулю, то соответствую­

После того как появился первый нуль (или несколько ну­ лей подряд), следующие числа, отвечающие знакам, не равным нулю, — вплоть до нового нуля — положим рав­ ными двум. Затем, после появления нуля (или несколь­ ких нулей подряд), все числа, соответствующие знакам, не равным нулю, — до нового нуля — положим равными трем и т.д. Вообще, если числа последовательности, предшествующие нулю (или группе из нескольких нулей подряд), равны k, то числа последовательности, после­ дующие за этим нулем до следующего нуля, равны /г+1 . Таким образом, мы получим последовательность следую­

В самом деле, в разложении числа я имеется или конеч­ ное число нулей, или бесконечное. В первом случае в по­ следовательности найдется число ап с наибольшим номе­ ром п, равное нулю. После него все числа последователь­ ности равны между собой, и, следовательно, число ап+\ повторяется в ней бесконечное число раз. Если в разло­ жении числа я содержится бесконечное количество зна­ ков, равных нулю, то и в нашей последовательности нуль повторится бесконечное количество раз. Таким образом, существование числа, повторяющегося в построенной по- ~ следовательности бесконечное количество раз, установ-

18 В В Е Д Е Н И Е

вопрос о непротиворечивости. Проблема разрешимости в

таком случае сводится к проблеме независимости, так как доказать, что данная проблема не разрешима в тео­ рии множеств, означает установить, что соответствующее утверждение и его отрицание не выводимы из данных аксиом. Найти систему аксиом, описывающую в извест­ ных пределах теорию множеств, возможно, но решение вопросов непротиворечивости и независимости для такой системы аксиом наталкивается на существенные затруд­ нения. Дело в том, что в рассматриваемых вопросах уже мы не можем применить метод интерпретаций. Причиной этого является то обстоятельство, что интерпретации для тех или иных систем аксиом мы обычно находим в преде­ лах теории множеств и в силу этого непротиворечивость самой теории множеств уже должны предполагать.

Для выхода из создавшихся затруднений Гильберт предложил новую точку зрения на рассматриваемые во­ просы. Идеи Гильберта явились переломным моментом в вопросах оснований математики и началом нового эта­ па в развитии аксиоматического метода. Поставим сле­ дующий вопрос: в какой мере необходимо для решения вопросов непротиворечивости и независимости пользо­ ваться исключительно методом интерпретаций? Нельзя ли обойтись при решении этих вопросов без интерпретаций?

Допустим, что дана некоторая система аксиом, для которой мы хотим решить вопрос непротиворечивости. Противоречивой системой, как мы уже указывали, назы­ вается такая система, в которой выводимо некоторое предложение Я и вместе с тем его отрицание, которое мы обозначим 51. Поэтому для доказательства того, что система аксиом противоречива, достаточно найти какоелибо предложение 91, для которого осуществляется вы­ вод из данной системы аксиом его самого и его отрица­ ния. Чтобы доказать непротиворечивость системы ак­ сиом, достаточно показать, что, какое бы положение ни высказать, не существует вывода из аксиом одновремен­ но его и его отрицания. Если бы мы могли описать все­ возможные предложения, которые можно высказать для данной системы аксиом, и вместе с тем описать всевоз­ можные способы дедукции, то, быть может, нам удалось бы из этого описания прямо доказать невозможность существования одновременно выводов какого-либо пред-

ложения и его отрицания. Таким же образом можно было бы ставить и вопросы независимости. Доказать, что предложение 51 не зависит от аксиом 51ь 91„, зна­ чило бы тогда извлечь из имеющегося описания выводов

может случиться, что описание всевозможных предложе­ ний и выводов не требует привлечения очень сильных средств теории множеств и не включает таких вызываю­ щих сомнения в познавательном отношении идей, как, например, актуальная бесконечность. Описание всевоз­ можных форм дедукции оказалось вполне достижимым и было, в сущности, уже подготовлено предшествующим развитием символической логики. Однако в вопросах непротиворечивости встретились новые трудности. Все же дело было сдвинуто с мертвой точки, и новое напра­ вление аксиоматического метода стало развиваться.

Итак, нам прежде всего нужно иметь круг вполне надежных (во всяком случае в отношении непротиворе­ чивости) понятий и принципов мышления, в рамках кото­ рого мы будем делать все дальнейшие построения. Чтобы исключить из основного круга понятий все сомнительные элементы теоретико-множественного мышления, естест­ венно пытаться выбрать его возможно более ограничен­ ным. Вместе с тем невозможно полностью исключить из рассмотрения бесконечность; но зато вполне возможно

валась идея бесконечности другого рода, которая полу­ чила название «потенциальной бесконечности». Смысл этого понятия состоит в том, что рассматривается беско­ нечное множество осуществимых возможностей. Каждая из них в отдельности осуществима, осуществимо также любое конечное число этих возможностей, но все вместе они неосуществимы. Рассмотрим пример. Будем считать, что построение целого числа осуществлено, если пред­ ставлено какое-нибудь множество вещей, содержащее данное число элементов. Для каждого данного целого числа принципиально возможно представить себе со­ ответствующее множество. Можно это сделать и для

20 В В Е Д Е Н И Е

любого конечного количества целых чисел, но осуще­ ствить представление всех целых чисел невозможно.

Сомневаться в законности пользования понятием по­ тенциальной бесконечности при настоящем состоянии науки нет никаких разумных оснований. Без такого рода бесконечности не может обойтись не только математика, но и точное естествознание. Во всяком случае по отно­ шению к этому понятию критика основ математики никаких возражений не представляет. Идея потенциаль­ ной бесконечности лежит в основе концепции Гильберта.

Остановимся несколько подробнее на основных прин­ ципах учения Гильберта. Мы ставим перед собой две за­

бесконечности и выяснить границы, в которых это воз­ можно. Мы начнем с первой задачи — построения си­ стемы понятий и принципов, удовлетворяющих постав­ ленным требованиям.

Будем рассматривать системы, составленные из ко­ нечного числа элементов, некоторых отмеченных свойств этих элементов и отношений между ними. Нам безраз­ лично, каковы эти элементы, свойства и отношения. Мы требуем только, чтобы все эти элементы были четко отли­ чимы друг от друга, так же как и их свойства и отноше­ ния между ними. Для каждого отмеченного свойства и отношения должно быть точно определено, для каких элементов оно имеет место, для каких нет. Рассмотрим примеры.