книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

Обозначим теоретико-множественную сумму

через 3)1'. Множество W обладает следующим свойством. Если аргументы любой из разрешающих функций

. . . , %, . . . , -фу, . . .

принимают значения из Ш', то и значение самой функ­

жества Ш'п определены так, что каждое последующее содержит все элементы предыдущего. Поэтому все эле­

Рассмотрим опять формулу (2), но предположим, что теперь она относится к области Щ'. Это сделать вполне

принимают значения из ЗК', если их аргументы принад­ лежат к 2R'. Поэтому тождественная истинность пре­ диката

на области 93}' является также необходимым и доста­ точным условием истинности формулы (2) на области

Ш'. Так как этот предикат действительно является ис­ тинным на Ш', то мы можем заключить, что формула (2) истинна для области Ш'. В таком случае формула (1) выполнима на W.

Таким образом, мы доказали утверждение, что если формула (1) выполнима на некоторой области, то она выполнима на ее конечной или счетной части, что и со­ ставляет теорему Лёвенгейма.

сиомы содержат только предикаты с одной переменной, то они не могут характеризовать бесконечной области, потому что такой системе аксиом всегда будет удовлет­ ворять также и конечная область.

Аксиомы с предикатами, которые зависят от двух и большего числа переменных, могут характеризовать бес­ конечные области, и возникает вопрос: могут ли они ха­ рактеризовать несчетные области? Пусть

— система аксиом, содержащих только символы инди­ видуальных предикатов. Как мы уже указывали выше, мы всегда можем заменить эту систему одной аксиомой

21, & 2i2 & . . . & 21„

и рассуждать всегда только об одной аксиоме. В рас­ сматриваемом случае понятие интепретируемости ак­ сиомы совпадает с понятием выполнимости этой фор­ мулы на некоторой области (см. § 10). Однако если эта формула выполнима на некоторой области, то в силу теоремы Лёвенгейма она выполнима и на некоторой ко­ нечной или счетной области. Из этого следует, что по­ средством аксиом рассматриваемого типа невозможно отличить несчетную область от счетной или конечной.

Оказывается, однако, что аксиомы, содержащие сим­ волы переменных предикатов, могут характеризовать не­ счетные множества и даже множества заданной несчет­ ной мощности в том смысле, что все удовлетворяющие им области несчетны и имеют в точности данную мощ­ ность.

Г Л А В А IV

ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ

В настоящей главе мы приведем аксиоматическое описа­ ние логики предикатов, которую мы рассмотрели в предшествующей главе с содержательной точки зрения. Заметим, что, в отличие от алгебры высказываний, ло­ гика предикатов имеет явно неконструктивный характер. Все ее понятия определяются для произвольной области или произвольного множества объектов. Ввиду этого при содержательном изложении логики предикатов нам при­ ходилось опираться на неконструктивные принципы тео­ рии множеств. Описание логики предикатов, которое мы дадим в настоящей главе, вполне удовлетворяет требо­ ваниям финитизма Гильберта.

Исчисление предикатов, как и всякая аксиоматиче­ ская система, содержит символы, из которых состав­ ляются формулы. Затем среди всех формул выделяются формулы, называемые выводимыми. Выделение выводи­ мых формул в исчислении предикатов, так же как и в исчислении высказываний, осуществляется путем указа­ ния некоторой конечной совокупности формул, которые называются аксиомами, и указанием правил вывода, по­ зволяющих из выводимых формул получать новые вы­ водимые формулы.

§ 1. Формулы исчисления предикатов

Каждая формула исчисления предикатов представляет собой некоторую конечную последовательность символов этого исчисления. Опишем символы исчисления преди­ катов.

1) Малые латинские буквы с индексами или без них:

формула является конечной последовательностью сим­ волов или, иначе говоря, словом в алфавите, содержа­ щем все указанные выше символы. Однако этим поня­ тие формулы еще не определено. Мы должны опреде­

есть формула. За такими формулами мы сохраним на­

Для дальнейшего определения формулы нам необхо­ димо различать входящие в формулу предметные пере­

ливать параллельно определению формулы. В элемен­ тарных формулах все предметные переменные являются свободными.

будем говорить, что в формуле Ул:21 переменная х свя­ зана квантором Vx, а в формуле Зх 91 переменная х связана квантором Зх. Остальные же предметные пере­ менные, которые в формуле 91 свободны, остаются сво­

предметных переменных, которые связаны в одной фор­

Определение формулы исчисления предикатов имеет тот же индуктивный характер, как и определение фор­ мулы исчисления высказываний. Оно может быть выска­

(91 V 53), (Я —93) и —21.

В таком случае для доказательства каких-либо ут­ верждений о формулах можно применять принцип пол­ ной индукции. Такое доказательство имеет следующий вид. Утверждение доказывается для элементарных фор­ мул. Затем доказывается, что из предположения истин­

186 ГЛ. IV . И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В

заключение, что наше утверждение истинно для любой формулы.

Из 1° — 4° видно, что все формулы исчисления выска­ зываний являются также формулами исчисления преди­ катов. В самом деле, в числе формул исчисления преди­ катов находятся переменные высказывания, и мы можем, исходя из них, образовывать формулы, пользуясь теми же операциями, что и в исчислении высказываний. При этом к формулам, построенным только из переменных

также является формулой, в которой переменная х свя­ зана квантором Зх, переменная у связана квантором Уг/, а переменная z свободна.

формула, в которой обе переменные связаны. Формулы эти удовлетворяют условию из 4°, так как в них все пере­ менные связаны. Поэтому исходное слово является фор­ мулой.

вом переменная х связана, а во втором свободна. Сле­ довательно, эти формулы не удовлетворяют условию из 4°, и, соединив их знаком &, мы не получим формулы.

Для формул исчисления предикатов можно, как и в исчислении высказываний, определить понятие части

формулы.

Частью элементарной формулы является она сама.

ляются сами эти формулы и все части формул 91 и 93. Частями формулы —91 является сама эта формула и

все части формулы 91.

В записи формул мы внесем некоторые изменения. Во-первых, мы будем опускать некоторые скобки. Пра­ вила опускания скобок здесь остаются те же, что и в исчислении высказываний. Во-вторых, опускаются внеш­

и т. д. Далее, будем опускать скобки, сообразуясь с пра­ вилом, что & связывает сильнее, чем V и —>, а V связы­ вает сильнее, чем —>. Например, формулу

((А & В) V Q

будем записывать в виде

А & В у С,

а формулу

(B - >(F! (х) VGl(y)))

будем писать в виде

£ - > Я (x)yG1(y).

Чтобы облегчить чтение длинных формул, мы разре­ шим заменять некоторые круглые скобки прямыми. На­ пример, выражение

Эх [F (х) -> Уу G (у, z)]

также будем считать формулой.

Докажем утверждения а) и Ь). Утверждение а) оче­ видно для элементарных формул, так как в них нет свя­ занных переменных. Допустим, что а) справедливо для

менных в Vx2l и 3x91.

Допустим, что а) справедливо для формул 21 и 23. Тогда а) справедливо для формул 21 & 23, 21 V 23, 21 -> 23, если только эти выражения являются формулами. В са­ мом деле, для того чтобы можно было составить эти формулы, необходимо, чтобы свободные переменные в 21 отличались от связанных переменных в 23 и наоборот. Но тогда, если в 21 и в 23 не было одинаковых свобод­ ных и связанных переменных, то их не будет и во вновь образованных формулах 21 & 23, 21V23 и 21-^-23, Если утверждение а) справедливо для 21, то оно, очевидно, справедливо и для 21.

Таким образом, мы доказали по индукции справед­ ливость утверждения а).

Докажем утверждение Ь). Оно, очевидно, справед­ ливо для элементарных формул.

Допустим, что Ь) справедливо для формулы 21, со­ держащей свободную переменную х. В силу индуктив­ ного предположения, если один квантор в 21 входит в область действия другого квантора, то связанные этими

ствия которого входят все остальные кванторы. Но пе­

190 ГЛ. I V . И С Ч И С Л Е Н И Е П Р Е Д И К А Т О В

принадлежат одной из формул 91 или 99 и в силу индуктивного предположения связанные этими кванто­

не удовлетворяется Ь). Легко видеть, что оно не может быть построено операциями 3° и 4° из элементарных

Это справедливо для элементарных формул, напри­ мер для F(x,y,z), так как, заменяя произвольным об­ разом предметные переменные, входящие в предикат, мы снова получим предикат, т е. элементарную фор­ мулу. Допустим, что наше утверждение справедливо для формулы 21, содержащей свободную переменную х. Пе­ ременим обозначения предметных переменных в фор­ муле Vx 91, не нарушая условий а) и Ь). Если при этом буква х заменена новой буквой, например у, то у должно отличаться от переменных, которыми заменены все ос-