книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

Можно привести простую формулу, которая невыпол­ нима на конечной области, но выполнима на бесконеч­ ной области:

Допустим, что эта формула выполняется на некото­ рой области 9М. В таком случае должен существовать предикат F°(x,y), для которого эта формула на обла­ сти Ш истинна. Нетрудно убедиться, что в таком случае предикат F°(x,y) представляет собой предикат, устанав­ ливающий отношение порядка между элементами обла­ сти Ш. Из формулы видно, что предикат F°(x, у) в самом деле удовлетворяет аксиомам порядка:

существовать и такое, что истинно F(x, и), т. е. «х пред­ шествует и». Возьмем произвольный элемент области х\\ среди элементов области должен найтись такой эле­

В силу аксиом 1 и 2 каждый элемент этой последова­ тельности отличен от каждого элемента с меньшим ин­ дексом, так как будет иметь место «х, предшествует хп», «х2 предшествует хп », «x„_i предшествует хп». Но это значит, что любые два элемента нашей последователь­ ности различны и область Ш бесконечна. Мы доказали, таким образом, что если рассматриваемая формула вы­ полняется на некоторой области, то эта область беско­ нечна.

Vx У/у Vz Зи [х < х & ((х < у) -> (у < z -> х < z)) & х < и].

172 ГЛ. Ш . ЛОГИКА П Р Е Д И К А Т О В

Легко видеть, что для натурального ряда это выра­ жение в самом деле истинно.

Чтобы рассмотреть некоторые вопросы, касающиеся формул, выполнимых на бесконечных областях, нам необходимо ввести одно понятие из теории множеств, представляющее собой обобщение понятия «числа эле­

ления множества входят в классы равномощных между собой множеств, и выражение «мощность данного мно­ жества» или «число элементов данного множества» оз­ начает принадлежность данного множества к тому или другому классу.

Множества, равномощные натуральному ряду чисел, называются счетными множествами. Бесконечные мно­ жества, не равномощные натуральному ряду, называют­ ся несчетными множествами. Примером несчетного мно­ жества является множество действительных чисел.

Счетные множества имеют наименьшую мощность среди всех бесконечных множеств. (Смысл термина «мощность множества Ж меньше мощности множества Ж'» определяется в теории множеств следующим обра­ зом: мощность Ж меньше мощности Ж', если Ж и Ж'

где 23 — индивидуальный предикат, определенный на не-

в выражении (1) мы поставили первым квантор суще­ ствования, не имеет никакого значения. Однако, не уменьшая общности, мы можем предположить, что в вы­ ражении (1) всегда присутствует квантор существова­ ния, и даже, более того, можем предположить, что пос­ ледним является квантор существования. Для этого только надо заметить, что если / ( / ) , где t не входит сво­

при всех1 значениях переменных, входящих з 23. В таком случае, если в формуле (1) последний квантор есть кван­ тор всеобщности, мы можем заменить выражение 23 рав­ носильным выражением 3/(23 &/(/)) . Тогда получится формула, в которой последний квантор есть квантор существования. В дальнейшем мы и будем предпола­ гать, что последний квантор является квантором суще­ ствования.

Разобьем кванторы в формуле (1) на группы так, чтобы к каждой группе относились непосредственно сле­ дующие один за другим кванторы одного и того же рода (существования или всеобщности). Так, в выражении

(1) мы будем иметь следующие группы: первая

Поставим в соответствие каждой переменной, связан­ ной квантором существования, какую-нибудь функцию, определенную на области 9Л, принимающую значения из области ЯЛ и зависящую только от переменных, связан­ ных квантором всеобщности и предшествующих данному квантору существования. Если же квантору существо­ вания не предшествует ни один квантор всеобщности,

174 ГЛ. I I I . ЛОГИКА П Р Е Д И К А Т О В

то мы ему поставим в соответствие какой-нибудь ин­

окажется истинным для всех значений входящих в него переменных, то мы будем называть указанные пред­ меты и функции

и к предметам х], чтобы не вводить для них особого термина.

по числу групп кванторов.

176 ГЛ. I I I . ЛОГИКА П Р Е Д И К А Т О В

т. е. такой системы функций, что выражение 23(л°, x°ni, yv упг <fl(yl уJ, . . .

истинно для всех значений переменных на области ЯЛ. Но тогда для истинности формулы (3) необходимым и достаточным условием является существование пред­

для истинности формулы (1) необходимо и достаточно существование системы разрешающих функций.

Перейдем к второму случаю, когда первая группа кванторов состоит из кванторов всеобщности. В этом

причем число групп кванторов этой формулы равно, по

при фиксированных таким образом значениях перемен­ ных xlt ..., xni не имеет свободных предметных перемен­ ных и представляет собой выражение вида (1). Число различных групп одноименных кванторов в этой фор­ муле равно р. Согласно индуктивному предположению,

Допустим, что формула (6) истинна. Тогда для каж­ дой совокупности значений переменных х°р . . . , я" долж­ на существовать разрешающая система функций фор­ мулы (7). Выберем для каждой совокупности значений переменных х\, х°п вполне определенную разрешаю­ щую систему функций формулы (7) и обозначим ее

функцию, определенную на области 2К, принимающую

итак для всех функций системы (8).

Втаком случае предикат

!78 ГЛ. I I I . ЛОГИКА П Р Е Д И К А Т О В

является разрешающей системой функций для формулы

(6). (Легко видеть, что зависимость входящих в эту систему функций от переменных такая, какая требуется

истинно при всех значениях входящих переменных. Тог­ да для каждой совокупности значений переменных

получающаяся из данной нам системы функций фикси­

только одна группа кванторов, и, будучи верной для р групп кванторов, остается верной для р + 1 групп кван­ торов, то лемма полностью доказана.

§ 14. Теорема Лёвенгейма

Все рассуждения предыдущего параграфа не зависят от того, входят ли в рассматриваемые формулы индиви­ дуальные предметы или нет. Поэтому доказанные в этом параграфе положения мы можем применять и к выпол­ нимости в расширенном смысле слова, которую мы сейчас определим.

Понятие выполнимости формулы в § 10 было опре­ делено только для формул, не содержащих символов ин­ дивидуальных предметов и предикатов. Расширим поня­ тие выполнимости так, чтобы оно было применимо

Пусть формула 21 удовлетворяет всем ранее выска­ занным условиям, кроме требования отсутствия симво­

В доказательстве этой теоремы мы можем ограни­ читься рассмотрением нормальных формул, так как нор­ мальная форма любой формулы одновременно с ней выполнима или невыполнима на каждой области. Рас­ смотрим произвольную нормальную формулу, все пред­ метные переменные которой связаны. Она может содер­ жать символы индивидуальных предметов. Например,

мулу. То, что первыми стоят кванторы всеобщности, не имеет никакого значения для наших рассуждений. До­ пустим, что эта формула выполнима на некоторой обла­