Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 4117 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

§ И. Л О Г И К А П Р Е Д И К А Т О В С О Д Н О Й П Е Р Е М Е Н Н О Й

161

нима	на некоторой		области		5W, го она выполнима			на	об
ласти	WI',	содержащей		не более		2п	элементов, где		п —
число	предикатов,		входящих		в	рассматриваемую			фор
мулу.						А„),
Пусть		формула	21	(Л,,			содержащая только
символы		предикатов		Аи	Ап,		каждый из	которых

зависит от одной переменной, выполнима на некоторой области Ш. Эту формулу мы можем предполагать пред ставленной в нормальной форме, а все предметные пе

ременные в ней связанными. В самом деле, какова	бы
ни была формула 21, мы можем, произведя над ней	пре

образования, указанные в § 9, привести ее к виду, в котором все кванторы предшествуют остальным симво лам формулы, при этом состав ее предикатов и пред метных переменных не изменяется. Если в 21 есть сво

бодные

предметные

переменные, то мы можем связать

их

квантором

всеобщности.

Итак,

допустим,

что 21 — нормальная

формула.

То

гда мы

можем представить ее следующим образом:

CU, Qx2

•..

Охр 23 (Л,,

. . . , Л„,

. . . , хр),

где каждый из символов Qx{

обозначает

квантор

или

3xit

а формула

23 (Л,, . . . ,

Ап,

Х\,

. ,

Хр)

кванторов

не содержит.

формуле

23(Л,,

. . ., Л„, Х\ . . . ,

хр)

все

переменные

Х\,

хр

входят

предикаты Л,,

. . . ,

Л„,

и ее

можно

записать в виде

Ап(х1п)),

» ( Л ,

(*,,), . . . .

где

«1,

. . . , /„ — числа от

1 до

р.

Нам

будет,

однако,

удобнее пользоваться

выражением

23 (Л,,

. . . ,

Ап,

Х\,

. . . ,

если иметь в виду, что S3 является логической функцией предикатов AH, а каждый предикат Л^ зависит от ка кой-то одной переменной xik.

Покажем, что если для некоторой области 9Ю суще ствуют индивидуальные предикаты

Л?л ь . . . , /in,Л°

6 П. С. Новиков

162	ГЛ. I I I . ЛОГИКА	П Р Е Д И К А Т О В
для которых	формула 21 (Л°,	А°п) истинна, то эта

формула истинна и на некотором подмножестве этой области, содержащем не более 2П элементов. Этим тео рема будет доказана. Можно предполагать, что область Ш содержит более 2П элементов, так как иначе наше утверждение тривиально. Разобьем элементы множества 9Ji на классы следующим образом. Для каждой последо вательности, содержащей п символов И и Л в произ

вольном порядке (Я, Л, Л,		Я ) , существует часть
(может быть, пустая)	множества Ш, содержащая те и
только те элементы х, для		которых	последовательность
значений предикатов	А°\{х),	А\(х),	А°п(х) совпадает
с данной последовательностью символов Я и Л.
Обозначим через
	б1 ( б2 )	. . . , б„

последовательность символов И и Л, где б; представ ляют собой Я или Л, а соответствующий этой последо вательности класс элементов х обозначим

Некоторые из этих классов могут оказаться					пусты,
так как может случиться, что для				некоторой последова
тельности 6ь . . . , б„		не существует такого элемента, для
которого	предикаты	А?,	А°п	принимают	соответ
ствующие	значения	6i, . . . ,	бп - Вместе с тем		каждый
элемент множества		9Й принадлежит одному из			классов

а и различные классы общих элементов не имеют. Число всех классов (пустых и непустых) равно числу последо вательностей Si, . . . , бп, т. е. 2п . Следовательно, число q непустых классов а не превышает 2™. Выберем из ка ждого непустого класса по одному элементу и обозна чим эти элементы

	ах, а2,	....	аг
Множество всех этих элементов обозначим						До
кажем, что	если формула	21 (Л?,		Л°)	истинна	на
области Ш, то она истинна		и на области 2Л' (так				как
ЗОГ — часть	области Tt, то	предикаты		Л°	определены

на SOT). Каждому элементу х области Ш поставим в со ответствие элемент из 9Й', принадлежащий тому же

§ 11. ЛОГИКА П Р Е Д И К А Т О В С О Д Н О Й П Е Р Е М Е Н Н О Й

163

классу, что и х. В 9Л' существует один и только один такой элемент. Элемент из 9J1', поставленный в соответ ствие х, обозначим ц>(х). Можно сказать, что мы по строили функцию, определенную на множестве Ш и при нимающую значения из множества Ш'.

Легко видеть, что имеет место следующая равносиль ность:

A4(x)~AUQ(x)).

Действительно, ц>(х) принадлежит тому же классу а, что и х. Но, по определению для элементов одного и

того же класса каждый предикат

А\

принимает одно и

то же значение. Отсюда следует,

что если

формуле

21 (Л°,

А°п)

для каждой

предметной переменной t

заменить каждое

выражение A°i(t)

через Л? (ср (/)), то фор

мула

%(A°I,

. . .,

А°п) перейдет в формулу 91'(Л?

21'

А°п).

равносильную

первой.

Написание

формулы

отли

чается от 21 только тем, что все предметные

переменные

х, у,

z, ..

формулы 21 заменены

соответственно

на

<р(х),

(р(у),

ф(«). Это следует

из того, что по усло

вию формула

21 (Л?,

Ап)

содержит только

предика

ты Л?, и поэтому всякая предметная

переменная входит

только под знаком одного из этих

предикатов.

Пусть

R(x,

у,

и) —предикат, определенный

на

области Ш. Под выражением

R (х, у,

...,

и)

будем понимать предикат, зависящий от у,

z, . . . , и

(или высказывание, если у, z, . ..,

и отсутствуют)

принимающий значение И, когда R(x,

у, z, . ..,

и)

имеет

значение И для данных y,z,

. . . ,

и и для

всех х,

при

надлежащих

области

Ш', и

принимающий

значение

в противном

случае. Введем также выражение

3xR

(х, у,

и),

которое представляет собой предикат от у, .. ., и и при

нимает значение И,		когда R (х, у,		. . . , и)	имеет	значение
И для у,	. .., и и по крайней		мере для одного значения х
из области 9Л'( и значение			Л	в противном		случае.
Символы	Ух и Эх	будем	называть		ограниченными
6*

164	ГЛ.	I I I . ЛОГИКА П Р Е Д И К А Т О В
кванторами.	Если	мы		все	переменные предиката
R{x,y,	и) свяжем		ограниченными			кванторами, на
пример
	УхЗу	.. •	Уу	R (х,	у, ...,	и),

то получим формулу, отнесенную к области 971'. Пока жем, что выражение

VxR((f(x),

у,

и)

равносильно

выражению

Ух R(x,

у,

и).

(1)

Пусть

VxR((p(x),

у,

и)

имеет

при некоторых

значе

ниях

переменных

у,

...,

значение

И.

В таком

случае

R((p(x),

у,

. ..,

и)

имеет значение И для данных у,..

и для

каждого

х.

Но

так как

функция

ф(х)

пробегает

всю

область

972',

когда

пробегает

область

97с,

то

R(x,

у,...,

и)

имеет

значение И

для данных (/,, .. ,« и для

всех х из 9Й'. В

силу

определения

Vx R(x,

у,

и)

также

принимает

значение

И.

Обратно,

если

VxR(x,y,

и)

принимает значение И,

то R (х, у

и)

имеет значение

для данных у, ...,

и для

каждого х

из

Ш'.

таком

случае

выражение

R(q>(x),

у,

и)

имеет значение

для данных у, ...,

и для

каждого

из Эй, так как ср(х) для любого х принадлежит ЭЛ'.

Аналогичным образом можно показать, что выра

жения

З х R (ф (х), у,

...,

и)

Эх R (х,

у, . . . ,

и)

(2)

также

равносильны.

Рассмотрим

формулу

91 (Л?,

Л°), которую

можно

представить

форме

Qx, Ох2 ...

Q x p 2 3 ( X . . . ,

An,

хи

хр),

где

93(Л 1,

Л°, Х\,

хр)

представляет

собой

пре

дикат,

определенный

на

области

Ш и зависящий

от

переменных

хи

хр.

Каждая

из

этих

переменных

входит в формулу 93 только

через

предикаты

Л?, . . . , Л°.

другой

стороны,

мы

видели,

что

предикаты

Л°(х)

Л°(ф(х))

равносильны.

Поэтому,

если

формуле

§ П. ЛОГИКА П Р Е Д И К А Т О В С О Д Н О Й П Е Р Е М Е Н Н О Й

165

23(А1,	А°п, хи			Хр) мы		заменим	х{	на ф(х(-), то
получим	равносильное выражение:
%{А°и	А°п, хи			хр)~
				~ з з U ? , . . . . А1 Ф ( Х , ) , . . . . Ф у .
Отсюда	следует, что
ОлГрЭЗи?,			А°п, х и . . . .
			~ а * р 5 3 ( Л ? ,			Л°, ф(х,),			Ф (*„)).
Далее можно заключить, что
Qxp${A°u	....		А°„,Ф (х,),			<р(*р ))~
		— CUp93Ui,			Л°, ф(х,),			ф (xp _i), хР ).
Действительно, фиксируя произвольным образом в
выражении			23 (Л°,	А°П, q>(x{),			ф (хр))		перемен
ные х\,	. . . , Хр-и мы получим					предикат		от одной пере
менной	хр. Применив к				нему равносильность				(1) или
(2), получим			требуемую		равносильность. Из двух по
следних равносильностей					вытекает
Сир 93(Л,,			Л°„, хи . . . .		Х р	) - .
		— 0x^23 (Л?,			А°п, Ф(Х]),			ф(хр_]),		хр).
Рассуждая		аналогичным			образом, мы получим
Qxp_ 1 Qxp23(Ли				А°п, хи		х„-и х р ) ~
— Qxp-i Охр23(Ль				Л°, ф(х,),			Ф(Хр _2 ),		х р _ 1 , Х р )
и, наконец, придем к следующему:
CUi . . . Охр23(Ль				Л
			- C U i	. . . CUp23(X			А°п, хи		. . . .	Х р ) .
Правая		часть последней				равносильности,			согласно

смыслу символа Qx, представляет не что иное, как фор мулу

Qxt . . . Охр23(Ль . . . . А°п, х,	хр),
отнесенную к области Ж.

166

ГЛ. I I I . Л О Г И К А

П Р Е Д И К А Т О В

Таким

образом, мы доказали,

что

формула

91 (А?, . . .

An)сохраняет

свое значение,

если

ее отнести

обла

сти Ш', и теорема, таким образом, доказана.

С л е д с т в и е .

Если

формула

91,

содержащая

толь

ко предикаты,

зависящие

от одной переменной,

является

тождественно

истинной

для

всякой

области,

не

превы

шающей

2п

элементов,

где

п—число

предикатов

91,

то формула

91 тождественно

истинна

(т. е. истинна

для

любой

области).

самом

деле,

допустим,

что

91 не является

тожде

ственно истинной формулой. В таком случае ее отрица_ние^,91 выполнимо на некоторой области. Так как 91 также удовлетворяет условиям теоремы, то найдется об ласть, содержащая не более 2™ элементов, на которой формула 91 выполнима. Следовательно, 91 не может быть истинной на этой области, что противоречит усло вию. Итак, предположение, что 91 не является тожде ственно истинной, приводит к противоречию, что и тре бовалось доказать.

Доказанная теорема позволяет решать проблему раз решения для формул, содержащих только предикаты, зависящие от одной переменной. Из следствия видно, что для того, чтобы установить, является ли формула 91 тождественно истинной или нет, достаточно проверить, является ли она тождественно истинной на всякой об ласти, содержащей не более чем 2" элементов.

Заметим, что достаточно проверить, является ли дан ная формула 91' тождественно истинной на области, со стоящей ровно из 2га элементов. Это следует из того, что для формул рассматриваемого типа имеет место следую щее: если формула 91 тождественно истинна на некото рой области, то она тождественно истинна на всякой ее части.

Рассмотрим произвольную	область,	содержащую
ровно 2™ элементов: xv х2,	х2п. Легко	видеть, что
всякая формула, имеющая вид

V*33(*),

отнесенная к данной области, равносильна формуле »(*,)& 33 (*2 )& . . . &93(х2 «).

	§ П. ЛОГИКА П Р Е Д И К А Т О В			С О Д Н О Й П Е Р Е М Е Н Н О Й		167
А формула, имеющая			вид
равносильна		формуле	Зх 93 (*),

		»(,) V » ( 2 ) V		V23(x 2 4
В таком случае произвольная формула 91,					отнесен
ная	к области {Х\,		х2п},	равносильна формуле		91',
в которой все кванторы заменены операциями					конъюнк
ции	и дизъюнкции. Если в 91 входили только предикаты
At,	. . . , Ап,	зависящие от одной переменной, то			91' пред

ставляет собой формулу, образованную только опера


циями	алгебры высказываний над		выражениями		А{(х,),
1 ^ i ^ п, 1 г=С j ^		2П . Так как предикаты А{(х)			совер
шенно	произвольны,	то выражения	At(Xj)	представляют

собой произвольные высказывания. Формулу 91' тогда можно рассматривать как формулу алгебры выска зываний, у которой Ai(Xj) являются элементарными переменными высказываниями. Тогда вопрос о тожде ственной истинности 91 на области х2, .... х2п оказывается эквивалентным вопросу о тождественной

истинности		91' как	формулы		алгебры	высказываний
с переменными высказываниями Л,(х,).
	Заметим,	что формула алгебры высказываний 91', по
существу, не зависит			от того,	каковы элементы области
{х\,	.. ., хр},	а зависит только от их числа, так как если
мы	возьмем	другую	область	\х'{,	х'^,	то в 91' прои

зойдет только перемена обозначений переменных вы

сказываний At(x^	на At{xf^.	В силу этого	мы	можем
сказать, что если 91' тождественно истинна			как фор
мула алгебры высказываний,		то формула	91	тожде

ственно истинна на любой области из 2" элементов, и обратно. С другой стороны, в главе I мы получили конструктивный способ определять, является произ вольная формула алгебры высказываний тождественно истинной или нет. Применяя этот критерий, мы можем установить, будет ли произвольная формула 91, содер жащая только предикаты от одной переменной, тожде ственно истинной на любой области, содержащей 2п элементов. В таком случае в силу высказанного выше положения мы решим также и вопрос о том, будет формула 91 тождественно истинной или нет.

168 ГЛ. I I I . ЛОГИКА П Р Е Д И К А Т О В

§ 12. Конечные и бесконечные области

Чтобы выяснить вопрос, какие области могут характе ризоваться аксиомами, содержащими только предикаты с одной переменной, мы должны несколько усилить тео рему предыдущего параграфа. Именно, мы докажем следующую теорему.

Т е о р е м а .

Пусть

формула

91, не

содержащая

сво

бодных

предметных

переменных,

содержит

только

инди

видуальные

предметы

с\, . . .,

cq,

индивидуальные

пре

дикаты А[, . ..,

Ап

и переменные

предикаты

В\, ...

Вт,

причем

каждый

из

предикатов

В)

зависит

только

от одной

переменной;

пусть

на

некоторой

области

5Й

с определенными

на ней

индивидуальными

предикатами

А],

А°п

формула

91 истинна

при

любых

заменах

символов

В\, ...,

Вт

предикатами.

Тогда

существует

область

ЭЙ',

содержащая

не более

2п

элементов,

опре

деленными

на

ней

индивидуальными

предикатами

А[, ...,

А'п,

на

которой

формула

91 также истинна.

5Й с

Выражение «формула 91 истинна на области

предикатами

Л;» употребляется

здесь в том смысле, как

и в § 4. Только в

настоящем

случае

система

аксиом

состоит из одной аксиомы 91. Это обстоятельство, впро чем, не является существенным, так как любую систему аксиом

9t„ 912,	21„
мы всегда можем заменить одной	аксиомой

9l!&9t2 & . . . &9t„,

которая, как это непосредственно ясно по смыслу опе рации &, удовлетворяется теми же областями и преди катами, что и система 91ь 912, . . . , 91„.

Перейдем к доказательству теоремы. Рассмотрим классы а, определенные так же, как и в предыдущем

параграфе в связи с предикатами		Л?,	А°п.	Пусть
а\,	ар — элементы, выделенные	из	каждого	непу

стого класса а. Совокупность всех этих элементов обо значим Зй'. Рассмотрим на области Эй такие предика ты В' с одной переменной, которые для элементов, при надлежащих одному и тому же классу а, имеют одина ковое значение. Пусть ф(х) так же, как и в предыдущей теореме, представляет собой элемент аи принадлежа-

§ 12. К О Н Е Ч Н Ы Е И Б Е С К О Н Е Ч Н Ы Е ОБЛАСТИ

169

щий тому классу а, в который входит х. Мы уже знаем, что

Л ? ( * ) ~ Л ? ( Ф ( д : ) ) -

Предикаты В'(х), по условию, также обладают этим свойством, т. е.

В'(х)~В'(ц>(х)),

так как х w ц>(х) всегда принадлежат одному и тому же классу а. Тогда, рассуждая так же, как при доказа тельстве предыдущей теоремы, можно показать, что если формула

Я(с„	cq, Ai,	Ап, Ви	Вт)
истинна при	некоторых определенных		заменах	предме
тов с и предикатов А и В предметами			и предикатами из
ЭК, то формула

истинна.

К ) .

А .

Ап< К

•••>

в'я)

также *(ф('.). •••> ф

областью Ш

По условию

формула 21 удовлетворяется

с предикатами

Л?,

А°п.

Поэтому

существуют такие

предметы

с°,

с°, что

формула

истинна

при

всяких заменах предикатов В{

предиката

ми, определенными на

ЭЛ. В таком случае формула

истинна

при

всевозможных предикатах В[. Из сказан

ного следует, что формула

(

области

К),

л ? , . . . . л'я,

; ,

; )

истинна

на

9Л'

при всевозможных

предика

я ф( ?)

тах В\.

Но

совокупность возможных предикатов В\ на

области

Ш'

совпадает

множеством

всех

предикатов

этой области, так как значения предикатов В\ для эле ментов различных классов а не связаны никаким усло вием, а в Ш' из каждого класса а присутствует только

один элемент. Поэтому формула	—
Я(ф(с?). •••• Ф(ф А\, . . . .	Л°, В,,	..^Вт)

170 ГЛ. I I I . ЛОГИКА П Р Е Д И К А Т О В

истинна для всевозможных В{ из области Ш'; следова

тельно, область WI'	с предикатами Л°,		А\	удовле
творяет этой формуле. Теорема доказана.
Рассмотрим вопрос о том, какие множества				могут
характеризоваться	аксиомами,	содержащими		преди
каты только от одной переменной. Пусть
	211, 212	21n
— система аксиом,	содержащая	предикаты	только от

одной переменной. Как мы указывали в § 4, всегда можно предполагать, что аксиомы 21* не содержат сво бодных переменных. Кроме того, эту систему аксиом можно заменить одной аксиомой:

2l!&2t2 & . . . &21„,

которую мы обозначим буквой 21 без индекса. Из дока занной теоремы следует, что если формула 21 интерпре тируется какой-либо областью, то она интерпретируется и конечной областью. То же самое справедливо и для


системы аксиом	21 ь 212> . . . ,		21„.	совместной
Из всего этого следует, что не существует
системы аксиом,	содержащей		предикаты только от одной
переменной и такой,		чтобы	из нее вытекала	бесконеч
ность характеризуемой		ею области.

Иными словами, посредством аксиом с предикатами, зависящими от одной переменной, невозможно отличить бесконечное множество от конечного. Это значит, что бесконечное множество нельзя отличить от конечного, если делать высказывания только о свойствах его элементов, а не об отношениях между ними. Следова тельно, чтобы достаточно полно охарактеризовать такие множества, как, например, натуральный ряд чисел, со вокупность всех действительных чисел, без которых ма тематика немыслима, необходимо употреблять преди каты, зависящие более чем от одной переменной.

Аксиомы, в которых допускаются предикаты, завися щие от любого числа переменных, могут характеризовать бесконечные множества. Примером может служить си стема аксиом натурального ряда в § 8. Область, удовле творяющая этим аксиомам, подобна натуральному ряду и поэтому не может быть конечной,

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 4117 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ