книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

(мы здесь и в дальнейшем будем считать 0 натуральным числом), в котором предикат х < у означает, что «нату­ ральное число х меньше натурального числа у» в обыч­ ном смысле слова, удовлетворяет аксиомам I , I I , I I I . Таким образом, эта система аксиом содержательно не­ противоречива.

Введем одно понятие из теории множеств. Рассмот­ рим два упорядоченных множества ST/Ji и Ш2, на каждом из которых определен предикат, представляющий отно­

для соответствующих элементов также истинно. В таком случае в силу упорядоченности рассматриваемых мно­ жеств, если Х\ < у\ ложно, то для соответствующих эле­ ментов х2 < г/г также ложно. В самом деле, если Х\ < у\ ложно, то или Х\ = г/ь или у\ < Х\ истинно. В первом

рядка.

Мы можем, таким образом, высказать следующее положение: упорядоченные множества подобны тогда и только тогда, когда они вместе со своими предикатами порядка изоморфны.

Натуральный ряд есть упорядоченное множество и удовлетворяет аксиомам I , I I , I I I . Во все эти аксиомы входят только два индивидуальных предиката—предикат

152 ГЛ. I I I . Л О Г И К А П Р Е Д И К А Т О В

равенства и предикат порядка. Предикат равенства со­ храняется при всяком взаимно однозначном соответ­ ствии. Так как при подобии сохраняется и предикат порядка, то отсюда следует, что всякое подобное и, сле­ довательно, изоморфное натуральному ряду множество

ному числу 0 поставим в соответствие элемент из обла­ сти ЯЛ, обозначенный тем же символом. Обозначим этот элемент еще через Хо. Единице поставим в соответствие элемент, непосредственно следующий за Хо; обозначим

мы каждому натуральному числу п поставим в соответ­ ствие элемент хп области ЯЯ. Имеем, очевидно,

менив аксиому полной индукции, которой удовлетворяет область ЯЯ. Выскажем положение: «элемент z из обла­ сти Ш принадлежит множеству ЯЯ'». Это положение справедливо, если этот элемент есть х0 (или 0). Если это

ствует единственный элемент, непосредственно за ним следующий. В таком случае элемент хп+\, непосредствен­ но следующий за элементом хп, также принадлежит 9Л', На основании аксиомы полной индукции мы можем те­ перь заключить, что всякий элемент области 9Л есть также элемент области Ш', т. е. 2Л и 9Л' совпадают.

Итак, мы доказали, что всякая область, удовлетво­ ряющая аксиомам I , I I , I I I , упорядочена и подобна на­ туральному ряду. Мы можем формулировать получен*

натурального ряда. В них, например, не содержатся арифметические действия сложения и умножения* Аксиомы I , I I и I I I определяют только порядковые от­ ношения натурального ряда, и полнота этой системы аксиом в некотором смысле ограничена. Ее, как мы со­

Можно доказать, что каждая из аксиом рассматри­ ваемой системы независима от остальных. Мы здесь ограничимся доказательством независимости аксиомы полной индукции. Для этого надо найти интерпретацию, удовлетворяющую системе аксиом I и I I и не удовлетво­ ряющую системе из всех аксиом.

Пусть область Эй представляет собой совокупность

рациональных чисел, имеющих вид . | { и l + y ^ r j - ,

где / принимает все возможные значения из натураль­ ного ряда. Таким образом, рассматриваемая совокуп­ ность состоит из следующих чисел:

154 ГЛ. I I I . ЛОГИКА П Р Е Д И К А Т О В

Пусть индивидуальный объект, обозначенный в системе символом «О», для данной области является рациональ­ ным числом 0, а предикат х < у означает: «рациональ­ ное число х меньше рационального числа у» в обычном смысле этого слова.

Нетрудно убедиться, что рассматриваемая интерпре­ тация удовлетворяет системе аксиом I и I I .

В самом деле, для предиката, являющегося тожде­ ством объектов, аксиомы I истинны при всякой замене переменного предиката А. Аксиомы I I . 1 и II . 2 также истинны, так как предикат «число х меньше числа у» им удовлетворяет.

Рассмотрим аксиому II.3. В этой аксиоме утвер­ ждается, что для каждого объекта существует един­

что для числа 1 + •. ! , число 1 - j - •! j~v является един-

ственным непосредственно за ним следующим. Таким образом, область Ш с предикатом х < у удовлетворяет системе аксиом I и I I .

Покажем, что при некоторых заменах предиката А и предметной переменной г аксиома I I I является лож­ ной в нашей интерпретации. Выберем для замены пре­ диката А предикат А°(х), имеющий значение И для чи­

также истинно для всяких х и у из нашей области. В са­ мом деле, если А°(х) или о(х,у) ложны, то формула (1) истинна, так как посылка ложна. Допустим, что А°(х)

и о(х,у) истинны. Тогда х — число вида -. | 1 , а у —

также истинна, и, значит, формула

Л° (0) & Vx Vу (Л° (х) & a (х, у) -> Л° (у))

Л° (0) & Ух Vу (Л° (х) & <т (х, у) -> Л° (у)) -> Л° (z)

переменного предиката Л и предметной переменной z

сказываний.

В записи нормальной формулы кванторы, если они есть, предшествуют всем остальным логическим симво­ лам. Например, приведенная формула

В них предполагается, что формула Я не содержит сво­ бодной переменной х.

1. Vx2l(x) V Я равносильно Vx(2l(x) V Я).

также истинно для всякого х из Ш и, следовательно,

и (2) также истинны на Ш при данных заменах свобод­ ных переменных.

4. Формула 3x21 (х) V Я равносильна Зх [21 (х) V Я].

для случая, когда квантором связано второе слагаемое (множитель).

Случай, когда формула содержит константы, охва­

Мы докажем теорему по индукции, следуя закону построения формул логики предикатов. Для элемен­

наше утверждение истинно, так как эти формулы сами нормальны. Пусть для формул 21, и W2 имеются нор­

Так как при переименовании связанной переменной формула переходит в равносильную, то мы можем счи­ тать, что переменные Xi не входят в формулу 91*, а у. не входят в 21*.

Докажем, что для формулы 21, V 212 также суще­ ствует равносильная ей нормальная формула. Формула 211 V Ш равносильна формуле 9 l , V 9 l 2 , но она, вообще говоря, еще не представляет собой нормальную форму­ лу. Однако, пользуясь доказанными выше равносильностями, можно преобразовать ее в нормальную фор­ мулу.

двух равносильных формул мы получим также две рав­ носильные формулы. На том же основании формулу Щ можно ввести под знак второго квантора V*2 и т. д. Допустим, что формула Щ уже введена под знаки всех кванторов формулы Щ. Тогда получим формулу

3 и 4 можно построить нормальную формулу, равносиль­

нормальную формулу, равносильную 21, мы можем по­

Итак, для элементарных формул существуют равно­ сильные нормальные формулы; если формула 21 полу­ чена с помощью операций &, V , ~ и связывания кванто­ ром из формул, для которых существуют равносильные нормальные формулы, то и для 21 существует равно­ сильная нормальная формула.

Но так как каждая формула алгебры предикатов по­ лучается из элементарных формул с помощью указан­ ных операций, то для каждой формулы алгебры преди­ катов существует равносильная ей нормальная формула, что и требовалось доказать.

Эту проблему мы будем ставить для формул исчисления

щем изложении этой главы мы будем предполагать, что рассматриваемые формулы таковы (если не сделано специальных оговорок).

Каждая такая формула представляет собой опреде­ ленное утверждение, истинное или ложное, когда оно

всяких предикатов, будем называть ее тождественно

ложна, и наоборот.

Постановка проблемы разрешения для логики пре­ дикатов аналогична постановке этой проблемы для ал­ гебры высказываний. Она ставится следующим образом:

указать единый эффективный способ (алгоритм) для определения по произвольной формуле, выполнима она или нет.

Умея решать вопрос о выполнимости, мы тем самым сможем решать и вопрос об истинности любой формулы. В самом деле, если формула 91 истинна, то формула 91 невыполнима, и обратно. Поэтому, проверив выполни­ мость или невыполнимость 91 и 91, мы тем самым прове­ рим истинность 91. Проблема разрешения для логики предикатов является обобщением проблемы разрешения для исчисления высказываний, так как все формулы исчисления высказываний входят в число формул ло­ гики предикатов. Однако в то время как решение про­ блемы разрешения для исчисления высказываний ника­ ких трудностей не представляет, проблема разрешения для логики предикатов оказалась связанной с серьезны­ ми трудностями.

века в математической логике было дано точное опре­ деление понятия алгоритма, появилась возможность до­ казать, что проблема разрешения для логики предикатов неразрешима, т. е. искомый в этой проблеме алгоритм невозможен. Это впервые было доказано А. Чёрчем (см. также § 15 главы V) .

Для некоторых частных типов формул, однако, про­ блема разрешения решается. Мы рассмотрим наиболее важный тип формул, для которых решение проблемы разрешения может быть осуществлено.

§ 11. Логика предикатов с одной переменной

Мы будем рассматривать формулы логики предикатов, содержащие предикаты, которые зависят только от од­ ной переменной. Логика, в которой употребляются толь­ ко такие выражения, соответствует той, которая описана Аристотелем и вошла как традиционный элемент в си­ стему гуманитарного образования. Известные формы высказываний этой логики и формы умозаключений, так называемые «модусы силлогизмов», выражаются пол­ ностью в символике логики предикатов от одной пере­ менной.