книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

другом смысле. Будем говорить, что аксиома 21*- внутрен­

Как и в случае непротиворечивости, понятие внутрен­ ней независимости будет только тогда точным, когда мы

существует интерпретация, которая не удовлетворяет си­ стеме из всех аксиом вместе с аксиомой 21*. В таком слу­ чае формула 21г не может быть логически выведена из остальных аксиом. Если бы она была выводима из остальных аксиом, то этот вывод был бы справедлив и для любой интерпретации; для любой области с любыми

по предположению существует интерпретация, в которой

Обратный вопрос: будет ли аксиома, внутренне неза­ висимая от остальных аксиом, также независимой в пер­ вом смысле—мы здесь не будем рассматривать.

Если аксиома не является независимой от остальных аксиом системы, то мы будем называть ее зависимой от них. Нам полезно, однако, иметь прямое определение за­ висимой аксиомы.

мы аксиом имеют большое значение для математики. Если мы пользуемся какой-то системой аксиом, то уве­ ренность в ее внутренней непротиворечивости совершенно необходима, так как в противоречивой системе, как мы уже говорили раньше, нет отличия истины от лжи. В ней можно доказывать истинность произвольных утвер­ ждений.

не было лишних аксиом. Эту независимость, как мы уже видели, также можно устанавливать посредством интер­ претации. С вопросом независимости аксиом была свя­ зана хорошо известная история проблемы о пятом по­ стулате Евклида, или «аксиоме о параллельных». После многочисленных неудачных попыток доказать этот по­ стулат, т. е. вывести его из других принципов геометрии, Лобачевский высказал мысль о невыводимости этого по­ стулата из других аксиом геометрии и дал этому пред­ положению убедительное обоснование. В его исследо­ ваниях уже заключались элементы метода интерпрета­

построена такая система объектов, которая удовлетво­ ряет всем аксиомам геометрии, кроме аксиомы о па­ раллельных, и не удовлетворяет этой последней. Метод интерпретации, однако, приложим к вопросам непроти­ воречивости и независимости только в известных грани­ цах. Другие методы уже связаны с рассмотрением аб­ страктных логических систем. В этой главе мы их за­

Рассмотрим два множества Ш и ЗЛГ.

Говорят, что между элементами этих множеств уста­ новлено взаимно однозначное соответствие, если каж­ дому элементу множества Ш некоторым способом по-

ставлен в соответствие элемент множества W, причем каждому элементу Ш соответствует один и только один элемент из W и, обратно, каждому элементу из Ш' со­ ответствует один и только один элемент из Ш. Взаимно однозначное соответствие между элементами рассматри­ ваемых множеств будем записывать в виде

ременных, определенный на Ж. Определим на 272' преди­

деленное значение И или Л. Это же значение мы дадим

следует, что и, обратно, любому предикату на Ш' соот­ ветствует единственный предикат, определенный на Ж.

§ 7. И З О М О Р Ф И З М ОБЛАСТЕЙ И П О Л Н О Т А СИСТЕМ АКСИОМ [tf

над формулами, обладающими указанным свойством, приводят к формулам, обладающим тем же свойством. Из сказанного следует, что каждая формула, составлен­ ная из предикатов, определенных на области ЙЛ, также обладает этим свойством, т. е. для нее имеет место соот­ ношение (3).

§ 7. Изоморфизм областей и полнота систем аксиом

определенных на этой области, и другую область W с предикатами

F1 (я,, . • •,

Мы скажем; что область Ш с предикатами F{ изо­ морфна области Ш' с предикатами F\, если между эле­ ментами 9Я и Ш' можно установить такое взаимно одно­ значное соответствие

теории чисел, «х сравнимо с у по модулю три». Записы­ вается это выражение следующим образом:

х = у (mod 3).

Говоря точнее, F(x,y) принимает значение И, если х сравнимо с у по модулю три, и значение Л в противном случае.

Область Ш' будет совокупностью чисел

Предикат F'{x',yr) для 9Й' определяется так же, как и для SK: F'{x',y') истинно тогда и только тогда, когда

5-25.

Разности между элементами области Ш и между соот­ ветствующими элементами области WI' равны, поэтому, если х = у (mod 3), то и х' = у' (mod 3), и обратно.

§ 7. И З О М О Р Ф И З М ОБЛАСТЕЙ И ПОЛНОТА СИСТЕМ АКСИОМ Н7

и только их. (Это условие не касается переменных пре­ дикатов; они могут входить в аксиомы как угодно.) До­ пустим, что область Ш с предикатами

г\, Г2 Гк

удовлетворяет нашей системе аксиом. Пусть Щ' — произ­ вольная область с предикатами

F'\, F2, ..., F'k,

изоморфная области 9Й. Ясно, что область Ш' с преди­

Возникает обратный вопрос: если две области с не­ которыми предикатами удовлетворяют одной и той же системе аксиом, будут ли они изоморфны? Нетрудно убедиться, что ответ на этот вопрос отрицателен.

Рассмотренная выше система аксиом порядка:

1.х < х,

2.x<y->(y<z-+x<z)

представляет собой пример системы аксиом, для которой существуют не изоморфные между собой интерпретации. В самом деле, этой системе аксиом с предикатом х < у удовлетворяет область Ш из двух элементов о и Ь, если

По условию аксиома 2Ц+ 1 иных индивидуальных преди­ катов не содержит.

Мы уже указывали, что если система аксиом удов­ летворяется какой-либо областью с индивидуальными предикатами, то она удовлетворяется и всякой другой областью с индивидуальными предикатами, изоморфной первой области. Отсюда следует, что если система ак­ сиом не удовлетворяется какой-либо областью с преди­ катами, то она не удовлетворяется и никакой другой об­ ластью с предикатами, изоморфной первой.

По условию теоремы существует какая-то интерпре­

эта система содержит те же индивидуальные предикаты, что и система (2), то всякая интерпретация системы (1) изоморфна данной интерпретации системы (2). Из свойств изоморфизма следует, что тогда произвольная интерпре­ тация системы (1) удовлетворяет и системе (2), Итак,

что у следует за х и между ними никакого предмета не имеется.

Символ 0 означает индвидуальный предмет области.

Как видно из этих аксиом, характеризуемая ими об­ ласть содержит индивидуальный предмет 0.

Аксиомы I определяют предикат равенства. Две пер­ вые аксиомы второй группы определяют предикат пред­ шествования <; .

Аксиома I I . 3 выражает утверждение, что для каждо­ го предмета области существует единственный непосред­ ственно за ним следующий предмет.