книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

Мы уже видели, что для каждой формулы существует равносильная ей формула, которая из операций алгебры высказываний содержит только &, V и ~.

Пользуясь последними равносильностями, связан­ ными с кванторами, и законами алгебры высказываний, мы можем для каждой формулы найти равносильную, в которой знаки отрицания относятся только к элементар­ ным высказываниям и элементарным предикатам. Дока­ зательство этого утверждения мы здесь приводить не будем. Ограничимся только примером.

Рассмотрим формулу

3x(A(x)-*VyB(y)).

Найдем для этой формулы равносильную ей формулу, в которой нет знака —+. Это будет

3x(A(x)VVyB(y)).

Применив рассмотренное выше правило к отрицанию над квантором Зх, получим равносильную формулу:

Vx(A(x)WyB(y)).

Затем, совершая преобразования алгебры высказываний, получим

Vx(A(x)&VyB(y)).

Применив опять правило внесения знака отрицания под знак квантора \fy, получим окончательно

\/х(А(х)&ЗуВ(у)).

В этой формуле знак отрицания относится к элементар­

то высказывания или предикаты, всегда принимают оди­ наковые значения И или Л, мы будем обозначать по­ средством знака = . В настоящем параграфе мы рас­ смотрим некоторые множества, соответствующие логиче­

ляются предикаты. Такое множество мы называем об­ ластью. Каждому предикату одной переменной F(x)

содержащемуся в 2JJ, можно поставить в соответствие

ствами Ш и предикатами от одной переменной, опреде­ ленными на ней, взаимно однозначно. В дальнейшем,

состоящее из всех элементов множества Е\ и всех эле­ ментов множества Е2. Теоретико-множественным произ­ ведением или пересечением Е\ Л Е2 двух множеств Е\ и Е2 называется множество всех элементов, принадлежа­ щих и множеству Е\ и множеству Е2. Аналогично опре­ деляются теоретико-множественная сумма и теоретикомножественное произведение любого конечного или бес­ конечного числа множеств.

Пусть

Р (х) Рх (х) V Р2 (х).

Тогда

Ер = £р, U Ер2,

т. е. ЕР является теоретико-множественной суммой мно­ жеств Ер, и Ерг В самом деле, если х е ЕР, то Р (х) истинно; значит, Р{ (х) или Р2(х) истинно. В первом

шими латинскими буквами, присутствующие в логике предикатов, можно трактовать как предикаты, сохра­ няющие для всех предметов одно и то же значение И или Л. Таким предикатам мы должны в силу нашего условия поставить в соответствие в первом случае всю область Ш, во втором — пустое множество.

Логические законы, справедливые для величин ал­ гебры высказываний, остаются справедливыми и для логических функций, так как значениями этих функций являются те же величины. В силу соответствия между логическими функциями и множествами законам логики предикатов соответствуют известные законы для теоре­ тико-множественных операций.

Например, двум законам дистрибутивности для ло­ гических операций соответствуют законы дистрибутив­ ности для теоретико-множественного сложения и умно­ жения. Первому закону дистрибутивности

F (х) [G (х) V Н (х)] =sF(x)G (х) у F (х) Н (х)

соответствует теоретико-множественный закон

Pf\(QUS) = P(]QUPf\S,

где Р, Q, S — произвольные множества. Второму закону дистрибутивности

F (х) V G (х) Н (х) =з (F (х) V G (х)) (F (х) V Н (х))

соответствует теоретико-множественный закон

PUQf\S = (P[jQ)f](P[jS).

Мы установили связь между множествами и преди­ катами от одной переменной. Аналогичным образом это можно сделать и для логических функций большего чис­ ла переменных. Рассмотрим только случай функций двух

переменной и подмножеств Ш.

Рассмотрим теперь теоретико-множественный смысл кванторов. Пусть

F(x)B~3yP(x, у).

Множество EF, соответствующее предикату F, состо­ ит из тех и только тех элементов области Ш, для кото­

будем рассматривать 9R2 как плоскость, точки которой

(х, у) в буквальном геометрическом смысле. Поэтому множество EF, отвечающее логической функции F(x), равной Зу Р(х,у), совпадает с обычной ортогональной проекцией множества ЕР на ось ОХ. Обозначив проек­ цию произвольного множества Н на Ш символом прж Я, мы можем записать, что

EF = прх ЕР.

Чтобы установить теоретико-множественный смысл квантора всеобщности, применим закон действия отри­ цания на квантор. Пусть

Итак, кванторы связаны с геометрической операцией проектирования и, обратно, проектирование имеет ука­ занный логический смысл.

Рассмотрим индивидуальные предикаты, которые мы обозначим S(x) и х = у. Первый представляет собой функцию, принимающую значение И для всякого эле­ мента области, а второй принимает значение И, когда х и у представляют собой один и тот же элемент, и Л, ко­ гда х н у различны. Предикат S(x) может быть явно определен посредством формулы логики предикатов, на­

В самом деле, это выражение имеет значение И для вся­ кого х. Предикат х — у нельзя представить непосред­ ственно в виде формулы логики предикатов. Но посред­ ством таких формул можно высказать условия, которые однозначно определяют этот предикат.

Допустим, что нам неизвестно, какой именно преди­ кат изображается символом х — у. Напишем "две фор­ мулы:

1. х = х, 2. х = у -> {А (х) -> А (у)),

и потребуем, чтобы для предиката х = у эти формулы

жет быть только предикатом тождества. В самом деле, если х и у заменены одним и тем же предметом, то пре­ дикат х = у принимает значение И в силу формулы 1.

должна быть истинна. Поэтому формула а — Ь ложна. Итак, мы показали, что предикат х = у, удовлетворяю-

щий нашим условиям, может быть только предикатом тождества.

Аналогичным образом можно характеризовать и дру­ гие индивидуальные предикаты. Часто такая характери­ стика не определяет однозначно характеризуемый преди­ кат, но выделяет некоторый класс предикатов. Но и в этом случае мы будем называть символ характеризуемо­ го предиката индивидуальным предикатом.

В некоторых случаях формулы характеризуют не

ет индивидуальный предикат, удовлетворяющий этим формулам. Наконец, формулы могут вовсе не содержать индивидуальных предикатов; тогда они характеризуют только область. Например, формула

А(х)-+А (у),

где А — переменный предикат, характеризует области, состоящие из одного элемента. В самом деле, если об­ ласть 3R содержит только один предмет а, то при любой замене хну предметами области мы получим формулу

А (а)-* А (а),

которая всегда истинна. Наоборот, если область содер­ жит более одного предмета, то можно подобрать такой предикат, для которого наша формула ложна

П р и м е р . Напишем формулы, характеризующие пре­ дикат, который мы обозначим х < у:

ны при всех значениях входящих свободных переменных х, у и г, или, иначе говоря, предикат х < у должен удов­ летворять условиям 1 и 2. Нетрудно указать пример та­ кой области и такого предиката, для которых наши фор­ мулы истинны. Рассмотрим область из трех предметов а,

предикат имеет значение Л. Тогда формулы 1 и 2 для данной области выполнены, в чем легко убедиться непо­ средственной проверкой, осуществимой благодаря конеч­ ности области.

В теории множеств всякое отношение х < у, удовлет­ воряющее формулам 1 и 2, называется отношением по­ рядка. Для элементов, находящихся в отношении поряд­ ка х < у, иногда употребляют выражение «х предшест­ вует у». Мы также будем пользоваться этим термином. Говорят, что множество упорядочено отношением х < у,

если это отношение, кроме формул 1 и 2, удовлетворяет еще одной формуле:

мул 1, 2 и 3. Иначе необходимо присоединить к форму­

предикатов Р?, удовлетворяющих первоначальной систе­ ме аксиом, удовлетворяют и новой системе, так как если

предикаты P°i P°k удовлетворяют системе аксиом, то эти аксиомы должны быть истинны при всех значениях

ние содержательной непротиворечивости, или интерпре­ тируемости, предполагает, что существует область пред­ метов, из которых можно составлять множества (обла­ сти) и определять на них предикаты так, чтобы с по­ мощью этих множеств и предикатов мы могли находить интерпретации для исследуемых нами систем аксиом.

Круг предметов, употребляемый в математике для указанных целей, как мы уже говорили во введении, мо­ жет представлять собой натуральный ряд чисел и все, что можно из него образовать путем общих теоретикомножественных построений, в частности рациональные числа, действительные числа, комплексные числа, раз­ личного рода функции и другие объекты.

ность одного и того же утверждения.

Чтобы иметь возможность рассуждать о непротиво­ речивости в последнем смысле, необходимо иметь опи­ сание тех логических средств, которые мы употребляем для вывода следствий из аксиом. Описание логических выводов мы дадим в следующей главе; оно совершается посредством построения абстрактной логической систе­ мы. После этого определение непротиворечивости во вто­ ром смысле будет вполне точным. Чтобы различать вве­ денные здесь различные понятия непротиворечивости, будем для непротиворечивости во втором смысле упо­ треблять термин «внутренняя непротиворечивость». При­ мером внутренне непротиворечивой логической системы является рассмотренное в предыдущей главе исчисление высказываний. Не имея пока возможности рассуждать о введенных понятиях достаточно строго и точно, мы все же можем до некоторой степени сравнить эти определе­ ния непротиворечивости. Если считать, что область тео­ ретико-множественных понятий,из которой мы черпаем интерпретации для систем аксиом, сама является внут­ ренне непротиворечивой, то представляется ясным, что каждая интерпретируемая система аксиом также внут­ ренне непротиворечива.

Таким образом, наличие интерпретации системы ак­ сиом сводит вопрос о непротиворечивости этой системы к непротиворечивости используемой для интерпретации системы понятий. Если мы уверены, что эта система по­ нятий внутренне непротиворечива, то факт наличия ин­ терпретации устанавливает внутреннюю непротиворечи­ вость исследуемой системы аксиом. Обратный вопрос: будет ли внутренне непротиворечивая система также ин­ терпретируема — совсем не так ясен, и для его решения, по существу, необходимо иметь аксиоматическое описа­ ние средств вывода логических следствий из аксиом. Здесь мы не будем останавливаться на этом вопросе.

Рассмотрим произвольную систему аксиом

(1)