книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

при некоторых значениях переменных принимает значе­

Доказательство второго утверждения мы не будем проводить для всех остальных аксиом, но для примера проверим некоторые из них.

Рассмотрим аксиому I . i

Д->.(В-* А).

Вслучае, когда А — В, эта формула принимает значе­

ние а. В случае, когда А = а, имеем В —• А = ос и фор­ мула I . 1 принимает значение а. При А — р также

А(В -*А) =а.

Остается рассмотреть случай А — у. Тогда мы будем иметь

Но В—*у может принимать значения а или у. В обоих случаях у -*• (В —* у) — а.

Рассмотрим аксиому I I I . 1

( Л - * В ) - * ( В - > А).

122 ГЛ. П. И С Ч И С Л Е Н И Е В Ы С К А З Ы В А Н И Й

Вслучае, когда А и В равны а или р, формула IV. 1 принимает значение а, так как тогда имеют место за­ коны алгебры высказываний.

Если А = В, то формула IV. 1 будет равна

а - » а = а.

Допустим, что А — у; получим

(Y _> Я) _ > ( £ _ •

Но у = у; следовательно, последнее выражение равно (Y - *5) - »(iF — у) -

Если В — а, то В = (5, в—>у = сс и все выражение примет значение а.

Если В = р, то

Итак, формула IV. 1 принимает значение а при всех значениях переменных. Аналогично доказывается то же самое для всех остальных аксиом.

Таким образом, доказана независимость системы аксиом исчисления высказываний.

Г Л А В А I I I

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

Мы видели выше, что можно дать два различных описа­ ния логики высказываний. В главе I мы дали ее содержа­ тельное описание, именуемое алгеброй высказываний, а в главе I I изложили ее в виде аксиоматической системы.

Переходя к рассмотрению другой логической системы, которую мы будем называть логикой предикатов, опять сначала изложим ее содержательно, в духе алгебры высказываний. В главе IV мы изложим логику предика­ тов в виде аксиоматического исчисления.

Заметим, однако, что если для описания алгебры высказываний нам не потребовалось средств, выходящих за пределы конструктивных, то с логикой предикатов дело обстоит иначе. Чтобы изложить ее в содержатель­ ной форме, нам придется привлечь понятие актуальной бесконечности и принять, без всякого обоснования, спо­ собы проведения рассуждений, употребляемые в теории множеств. При таком изложении логики предикатов мы, конечно, не можем поставить задачи обоснования мате­ матики, так как то, что особенно нуждается в этом обо­ сновании,— теорию множеств — мы принимаем за ос­ нову нашего изложения.

Содержательная трактовка логики предикатов обла­ дает, однако, тем достоинством, что она очень облегчает изучение как исчисления предикатов, так и других аб­ страктных логических систем. Не являясь сама аксиома­ тической системой, она содержит богатые эвристические средства, позволяющие легко ориентироваться во мно­ гих вопросах, касающихся аксиоматических логических систем.

§ 1. Предикаты

Логика предикатов представляет собой развитие алгебры высказываний. Она содержит в себе всю алгебру выска­ зываний, т. е. элементарные высказывания, рассматрираемые как величины, которые принимают два значения

124 ГЛ. I I I . ЛОГИКА П Р Е Д И К А Т О В

И и Л, все операции алгебры высказываний и, следова­ тельно, все ее формулы. Но, помимо этого, логика пре­ дикатов вводит в рассмотрение высказывания, отнесен­ ные к предметам. В ней уже имеется расчленение выска­ зывания на субъект и предикат.

ства. Тогда высказывания об этих предметах мы будем

предметах с и d и т. д. Пусть, например, Яй представ­

Такие высказывания могут быть как истинны, так и ложны. Как и в алгебре высказываний, мы будем рас­ сматривать эти высказывания только с той точки зрения, что они представляют собой либо истину, либо ложь, обозначаемые соответственно символами И и Л. Но, в отличие от алгебры высказываний, здесь мы будем счи­ тать, что значения И и Л ставятся в соответствие опре­ деленным предметам или группам предметов. Так, в

представляет собой произвольный предмет из этого мно­ жества. Тогда выражение F(x) обозначает высказыва­

представляют собой вполне определенные высказывания. Например, если Ш — натуральный ряд, то F(x) может обозначать: «х есть простое число».

Это неопределенное высказывание становится опре­ деленным, если х заменить некоторым числом, например: «3 — простое число», «4 — простое число» и т. д.

Пусть S(x, у) обозначает: «х меньше у».

высказывание представляет собой И или Л, то выраже­

деленную на множестве 9Й и принимающую только два значения: И и Л. Таким же образом неопределенное вы­ сказывание о двух и более предметах Н(х, у), G(x, у, z) и т. д. представляет собой функцию двух, трех и т. д. переменных. При этом переменные х, у, z пробегают множество 30т, а функция принимает значения И и Л. Эти неопределенные высказывания, или функции одной или нескольких переменных, мы будем называть логиче­ скими функциями или предикатами. Предикатом с одной переменной можно выразить свойство предмета, напри­ мер: «х есть простое число», «х — прямоугольный тре­ угольник» и т. д.

Понятие предиката в классической логике Аристо­ теля соответствует в нашей терминологии предикату с одной переменной. Понятие предиката, введенное нами, имеет более широкий.объем. Предикатами мы называем также и логические функции нескольких переменных. Такими предикатами можно выразить отношения между предметами. Пусть, например, Ш — множество действи­ тельных чисел, а переменные х, у, z, ... — предметы из Ж. Тогда можно посредством предикатов от двух и боль­ шего числа переменных выразить различные отношения между числами, как-то:

семьи. Тогда можно предикатами выразить родственные отношения, например: «быть отцом и сыном», «быть

Мы увидим дальше, что введение в рассмотрение пре­ дикатов от нескольких переменных, способных выражать отношения между предметами, приносит существенно новое по сравнению с логикой предикатов от одной

переменной. Оказывается, что во всех системах аксиом математических дисциплин существуют аксиомы* не вы­ разимые посредством предикатов от одной переменной. Но с помощью предикатов от большего числа перемен­ ных все аксиомы этих систем могут быть выражены.

Все понятия, которые мы будем вводить, относятся всегда к некоторому произвольному множеству Ш, кото­ рое мы будем называть предметной областью или просто областью. Элементы этой области будем обозначать ма­ лыми латинскими буквами (иногда эти буквы мы будем снабжать индексами). Буквы конца латинского алфавита

X, у, Zy Uy u, Х[, X<i, . . .

обозначают неопределенные элементы области. Их мы будем называть предметными переменными. Буквы на­ чала алфавита

а, Ь, с, й], а2, . . .

обозначают определенные предметы области. Их мы бу­

мы будем, как и в алгебре высказываний, обозначать пе­ ременные, принимающие значения Я и Л. Их мы назо­ вем переменными высказываниями. Мы будем также рассматривать и постоянные высказывания. Их мы будем также обозначать большими латинскими буквами, какнибудь отмеченными или просто с дополнительной ого­ воркой.

Выражения

обозначают предикаты, т. е. функции, аргументы которых принимают значения из области Ш, а сами функции мо­ гут принимать только два значения: И и Л. Если такое выражение ничем не отмечено и не сделано никакой оговорки, то оно означает переменный (т. е. произволь­ ный) предикат на области Ш от данного числа перемен­ ных. Определенный же предикат мы будем обозначать таким же символом с соответствующей оговоркой или

какой-нибудь дополнительной отметкой. Впрочем, некото­ рые предикаты мы будем обозначать теми же симво­ лами, которые для них употребляются обычно.

буквами, как переменные, так и постоянные, а также вы­ ражения

чить эти формулы от сложных, которые мы будем со­ ставлять из элементарных.

Символы предметов не являются формулами. Эле­ ментарные формулы, как высказывания, так и логиче­ ские функции, всегда представляют собой величины, спо­ собные принимать только значения Я и Л. Поэтому элементарные формулы можно связывать операциями алгебры высказываний:

&> V . -»-> "".

сохраняя за этими операциями те определения, которые мы дали им в алгебре высказываний. Полученные таким образом формулы в свою очередь могут определять вы­ сказывания или предикаты. Например:

Первая формула при фиксированных А и F(x) опреде­ ляет некоторый предикат. Четвертая формула при вся­ ком L представляет собой предикат, зависящий от двух переменных х и у. Если х и у принимают одинаковые значения, то этот предикат принимает значение И.

Кроме операций алгебры высказываний, мы будем упот­ реблять еще две новые операции. Этих операций не было в алгебре высказываний, так как они связаны с особен­ ностями логики предикатов. Операции эти выражают со­ бой утверждения всеобщности и существования.

каждого элемента х некоторой области Ш. Тогда под выражением

принимающая определенное значение, если входящие в нее переменные предметы и переменные предикаты за­ менены вполне определенным образом. Формула 21 (л:) может содержать и другие переменные, кроме х. Тогда выражение 21 (л:) при замене всех переменных, как пред­ метов, так и предикатов, кроме х, представляет собой конкретный предикат, зависящий только от х. А формула

Ух 21 (х)

становится вполне определенным высказыванием. Следо­ вательно, эта формула полностью определяется зада­ нием значений всех переменных, кроме х, и, значит, от х

формула логики предикатов, то формула

Зх 21 (х)

Ух 21 (х).

Высказывание «Vx9I(x) ложно» равносильно выска­ зыванию: «существует элемент у, для которого 21 (у) ложно», или, что то же, «существует элемент у, для ко­ торого 21 (у) истинно». Следовательно, выражение Ух%(х) равносильно выражению

Рассмотрим таким же образом выражение

Уу%(у).

Мы получили, таким образом, следующее правило:

Знак отрицания можно ввести под знак квантора, за­ менив квантор на двойственный.