книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

жательным понятием тождественно истинной формулы. Одним из следствий теоремы о полноте является воз­ можность непосредственно перенести в исчислении вы­ сказываний все «правила действий» с формулами, кото­ рые выполняются в алгебре высказываний. Например, отсюда следует, что в исчислении высказываний верны утверждения:

1-21&23~23&2Г, I— 2С V 23-23 V 21,

Ь21&(23&е)~(21&23)&(Е, г-21 V (93 VS)~(21V23) V К,

I - 21 & (23 V Щ ~ 21 & 23 V 21 & 6, г- 21 V 23 & 6 ~ (21 V 23) & (21 V G),

h - (2l - >23)~l V 23, b2TV23~2i&23I

Ь21 V 23.

Не менее важное значение, чем понятие полноты в

Исчисление высказываний полно также в узком смысле. Доказательство этого факта нетрудно провести, используя конъюнктивные нормальные формы. Предо­ ставляем читателю провести это доказательство.

§ 11. Независимость аксиом исчисления высказываний

Как мы уже говорили выше, всякое логическое исчисле­ ние может быть задано следующим образом: опреде­ ляется понятие формулы и понятие выводимой форму­ лы. Это делается путем указания, во-первых, некоторых исходных формул, объявленных выводимыми и называе­ мых аксиомами, и, во-вторых, правил вывода, т. е. та­ ких правил, с помощью которых из выводимых формул можно образовывать новые выводимые формулы. Для

112 ГЛ. П. И С Ч И С Л Е Н И Е В Ы С К А З Ы В А Н И Й

всякого такого исчисления возникает вопрос о незави­

таким образом вывести из остальных, то ее можно вы­ черкнуть из списка аксиом, и логическое исчисление при

зависимая система аксиом в некотором смысле менее совершенна, чем независимая, так как она содержит

имеет значение только с точки зрения технического удоб­ ства. Однако это не всегда так. Вопрос о независимости одной аксиомы некоторой системы от других аксиом часто бывает равносилен вопросу о возможности заме­

та Евклида в системе аксиом геометрии. Вопрос этот, как известно, имел большое значение в развитии мате­ матики.

Мы докажем, что система аксиом исчисления выска­ зываний независима. Метод доказательства этого поло­ жения сходен с тем, которым мы доказывали не­ противоречивость исчисления высказываний (см. § 9). Тогда мы интерпретировали переменные высказывания в исчислении высказываний как переменные алгебры

же, как в алгебре высказываний, и устанавливали, что всякая выводимая формула исчисления высказываний получает при всех значениях переменных значение И. Для решения вопроса о независимости некоторой аксио­ мы % исчисления высказываний мы поставим себе зада-

чу интерпретировать переменные высказывания как пе­ ременные с конечным набором значений, которые мы будем обозначать греческими буквами а, р, . . . Опера­

то она имела бы значение а при всех значениях пере­ менных. Заметим, что формулы, в которых вместо пере­ менных подставлены некоторые их значения, также имеют смысл. Например,

одинаковое значение а, |3, . . . , мы будем в дальнейшем ради краткости выражать знаком равенства:

21 = 23.

При этом мы будем всегда считать, что знак = свя­ зывает слабее логических связок &, V , - к

Легче всего доказать независимость аксиом групп II — IV. Мы докажем сейчас независимость аксиомы I I . 1. Для этого будем интерпретировать переменные высказы­

логические операции, кроме конъюнкции, определим так же, как в алгебре высказываний. Выпишем эту интер­ претацию подробно:

а - > а = а; р - > р = а; р - > а = а; а - * р = Р;

а V а = а; а V Р = a; р V а = a; р V Р = Р; a = p; p = «.

114 ГЛ. I I . И С Ч И С Л Е Н И Е В Ы С К А З Ы В А Н И Й

не входит; остальные же операции определены так же, как в алгебре высказываний. Так как в алгебре выска­ зываний эти формулы являются тождественно истин­ ными, то в нашей интерпретации они принимают значе­ ние а при всех значениях переменных. Рассмотрим от­ дельно формулы группы I I . Формула I I . 2 принимает всегда значение а, так как в нашей интерпретации она равносильна

В-+В.

Формула I I . 3 равносильна формуле

(Л -> В) -> ((Л -> С) -> (Л -> С)).

Эта формула не содержит конъюнкции и является то­ ждественно истинной формулой алгебры высказываний. Поэтому она всегда принимает значение а.

а- > Р ,

аэто выражение имеет, по условию, значение р. Покажем теперь, что формулы, получаемые путем

правил вывода из таких, которые тождественно равны а, сами тождественно равны а.

Для правила подстановки это очевидно: если фор­ мула при всех значениях переменных принимает значе­

здесь, по существу, повторили рассуждение § 10, где доказывали, что правило заключения, применяемое к тождественно истинным формулам в смысле алгебры высказываний, приводит к таким же формулам.)

Таким образом, мы доказали независимость аксио­ мы I I . 1.

же из операций определяем так, чтобы та аксиома, не* зависимость которой доказывается, не являлась тожде­ ственно равной а. Вместо того чтобы приводить все эти доказательства, мы дадим таблицу, в первом столбце которой стоит аксиома, независимость которой доказы­ вается, во втором столбце помещено определение той операции &,• V , ->- или ~, которая определяется иначе, чем в алгебре высказываний, и в третьем столбце ука­ заны те значения переменных, при которых соответ­ ствующая аксиома принимает значение р.

При всех указанных интерпретациях аксиомы, вхо­ дящие в группы, отличные от той, в которой находится исследуемая аксиома, принимают значение а при всех значениях переменных. Происходит это потому, что в аксиомы этих групп не входит та исключительная опе­ рация, которая определяется иначе, чем в алгебре вы­ сказываний, и, следовательно, интерпретация этих фор­ мул такая же, как и в алгебре высказываний. Поэтому все эти формулы принимают значение а при всех значе­ ниях переменных.

условия, как мы сейчас увидим, не определяют интерн претанию однозначно.

Для доказательства независимости аксиомы I . 1 выберем следующую интерпретацию. Переменные прини­

Легко видеть, что условия (а) и ( Ь ) уже полностью определяют интерпретацию. Например, операция -* оп­ ределяется условиями (а) и ( Ь ) однозначно. Действи­ тельно, когда первый из членов импликации есть р\ или когда второй есть а, или когда оба члена равны, то опе­ рация -*• определяется условиями (а). Во всех осталь­

ных случаях значение формулы Л~>В определено усло­ виями ( Ь ) .

а другой 6; в этом случае операции определяются пол­

а, приводит к формуле, тождественно равной а, остается, очевидно, верным для всех интерпретаций. Таким об­ разом, правила вывода, применяемые к формулам, тож­ дественно равным а, приводят к формулам, также тож­ дественно равным а. Кроме того, приведенная интер­ претация обладает тем свойством, что если переменные

над ними таковы же, как в алгебре высказываний, если считать а за Я, а р за Л.

В рассматриваемой интерпретации формула I . 1 при значениях переменных А = б, В — а принимает значение

Можно показать, что все остальные аксиомы при всех значениях переменных принимают значение а. Мы не будем проводить доказательства этого утверждения для всех аксиом. Истинность его может быть установлена непосредственной проверкой. Мы ограничимся тем, чтс докажем справедливость нашего утверждения для неко­ торых аксиом.

1)Л = р;

2)В — а;

3)Л = В;

4) Л = 6; В = у.

В первых трех случаях непосредственно видно, что

А-* (В -> С) = р

ився формула 1.2 примет значение а.

Если же А = р, то Л —* С — а и формула I . 2 опять принимает значение а. Итак, 1.2 принимает значение а

Y & б —> у и у & б -> б.

Но Y & 6 = 6. Поэтому первое выражение равно

(Л -> В) -> (В-> А).

Импликация Л—*В, как мы уже говорили выше, может принимать только значения а или р.

Если

л - * в = р,

то формула IV. 1 принимает значение а. Допустим, что

интерпретацию, в которой переменные принимают три