книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

и применив к полученной формуле правило соединения посылок.

ЬЛ -> Л V Л,

ьл -> л v л.

Далее, применив IV. 1 и правило заключения, находим

Ь Л V Л - > Л, h Л V Л - > Л.

Подстановками в I I . 3 получаем

Ь- ( Л ~ \ 7 ^ - * Л) -> ((Л V Л - > Л)->(Л V -А-* Л& Л)), откуда, применив дважды правило заключения, находим

Ь Л \ / Л - > Л & Л . В силу эквивалентности А и А

I - Л V Л - > Л & Л.

Применив правило силлогизма к последней формуле

иутверждению теоремы 6 § 4, находим

ЬЛ v

Так как 3? выводимо, то, применив правило заключения, находим

ь л v л,

что и требовалось доказать. Т е о р е м а 6.

И Л ~ 9 { ) V ( Л ~ 3 ) .

Следует из теоремы 5 с помощью теорем 1 и 2. Т е о р е м а 7.

г- В Д & ? Ч ? 0 - > Я ( Л ) .

До к а з а т е л ь с т в о . Применив правило силлогиз­

ма к формулам, доказанным в теоремах 3 и 4, получим f- % (dl) & 91 (5) [(Л ~ Я) V (Л ~ Ъ) ~> Я (Л)]-

Отсюда, используя правило перестановки посылок, тео­ рему 6 и правило заключения, находим

Ь В Д & 2 Ш ) ^ 2 1 ( Л ) ,

.. ., Л„ на С? и Ъ- Однако мы пока не доказали, что такое произведение ассоциативно и коммутативно, т. е. не зависит от способа расстановки скобок и от порядка сомножителей. Поэтому нам и пришлось определить формулу (*), задав некоторый определенный порядок сомножителей и определенный способ расстановки ско­ бок.

Исходя из последней теоремы, легко доказать (по

Формулы исчисления высказываний можно интерпрети­ ровать как формулы алгебры высказываний. Для этого мы будем трактовать свободные переменные исчисления высказываний как переменные алгебры высказываний, т. е. переменные в содержательном смысле, принимаю­ щие значения И и Л. Операции &, V и ~ определим так

§ 8. ФОРМУЛЫ А Л Г Е Б Р Ы И И С Ч И С Л Е Н И Я В Ы С К А З Ы В А Н И Й ЮЗ

же, как в алгебре высказываний; тогда всякая формула при любых значениях переменных сама будет прини­ мать одно из значений И или Л, вычисляемое по прави­ лам алгебры высказываний.

Произведем теперь в произвольной формуле исчисле­ ния высказываний 21 замену входящих в нее переменных

зываний, были заменены соответственно St (или g ) , то

Достаточно доказать наше утверждение для простей­ ших формул, полученных из переменных высказываний с помощью одной из операций: &, V , -> или ~; действи­ тельно, тогда для любой формулы это утверждение доназывается по индукции на основании теоремы эквива­ лентности. Итак, докажем наше утверждение для про­ стейших формул:

а) Л - > В ; Ь) А&В;

с) Л V В; d) Л.

Для каждой из этих формул нужно рассмотреть все возможные замены переменных высказываний формула­ ми Ы и g; однако мы рассмотрим лишь несколько случаев, так как доказательство в остальных проводится аналогично.

Рассмотрим сначала формулу d). Нужно дока­

cU) \— Ъ -*• 9? получается из теоремы 4 § 4. Докажем

Подстановка в аксиому IV. 1 дают

Посылка этой формулы выводима в силу di). Применив правило заключения, находим

M t - * j § . Так как из аксиомы IV. 3 имеем

то, применив правило силлогизма, получим

а) Здесь мы рассмотрим все возможные замены и докажем, что

IV. 1:

1_(«->3)-(8->ю),

откуда перестановкой посылок получаем

Заметив теперь, что h 3 ~ 9? и ,— 9? — 3, и применив теорему эквивалентности (стр. 92) и правило заключе­ ния, получим требуемое:

выводимость же формул Si -> 91 и 3 ->- Ъ следует из теоремы 2 § 2, утверждающей, что — А-*-А.

Рассмотрим еще для примера один из возможных случаев замены в формуле А\/ В, а именно докажем, что

\-Ш V

Здесь ]— St V 3 -*• 9J следует из теоремы 1 § 2, а

Доказательства в остальных случаях проводятся сходным образом и могут быть предложены читателю в качестве упражнений.

§ 9. Непротиворечивость исчисления высказываний

Проблема непротиворечивости возникает при рассмот­ рении любого исчисления; это одна из кардинальных проблем математической логики. Дадим определение непротиворечивости логического исчисления, которое относится не только к исчислению высказываний, но и ко всем логическим системам, изучаемым в математи­

такое исчисление, что, какова бы ни была формула 91, никогда формулы 91 и 91 не могут быть одновременно выведены из аксиом этого исчисления с помощью ука­ занных в нем правил.

Проблема непротиворечивости состоит в следующем: является данное исчисление непротиворечивым или нет?

Если в исчислении обнаруживаются выводимые фор­ мулы вида 91 и 91, то такое исчисление называется

представляют. Все сколько-нибудь существенные логи­

в ней все формулы выводимы, и поэтому такие системы не могут отражать в себе различие между истиной и ложью.

также выводима 21 (£21, и, следовательно, формула А также выводима в исчислении высказываний. Но если

Все сказанное об исчислении высказываний оказы­ вается справедливым и для всех тех логических исчис­ лений, которые мы будем рассматривать далее.

То обстоятельство, что в противоречивом исчислении всякая формула выводима, может быть использовано для доказательства непротиворечивости. Для этого до­ статочно показать, что существует по крайней мере одна невыводимая формула. Отсюда будет следовать непро­ тиворечивость исчисления. Непротиворечивость исчисле­ ния высказываний устанавливается, однако, очень про­ сто и без этого.

Покажем, что все формулы, выводимые в исчислении высказываний и рассмотренные как формулы алгебры высказываний, являются тождественно истинными, т. е. принимают значение И при всех значениях переменных высказываний.

ременное высказывание Л, тождественно истинна, то и

значениях переменных высказываний принимает значе­ ние И. В таком случае 91 (И) и 91 (Л) имеют значение Я, каковы бы ни были значения других переменных выска­ зываний. Но 23 при любых значениях переменных вы­ сказываний может иметь только значение И или Л. От­ сюда ясно, что 91(23) всегда будет иметь значение И.

Докажем, что если формулы 91 и 91 -> 23 тождествен­ но истинны, то формула 23 также тождественно истинна.

Если 51 тождественно истинна, то она всегда имеет значение И. Так как формула 91 ->- 23 также всегда при­ нимает значение И, то 23 не может принять значение Л ни при каких значениях переменных высказываний, ина­ че формула 91 ->• 23 приняла бы значение И-*-Л, кото­ рое, по определению следования в алгебре высказыва­ ний, есть Л.

Итак, мы показали, что: 1) все аксиомы суть тожде­ ственно истинные формулы, 2) применяя к тождествен­ но истинным формулам правила вывода, мы получаем также тождественно истинные формулы. Отсюда сле­ дует, что все выводимые формулы исчисления высказы­ ваний, рассматриваемые как формулы алгебры выска­ зываний, являются тождественно истинными. В таком случае ясно, что если формула 9J выводима в исчисле­ нии высказываний, то формула 91 не может быть выво­ дима, так как 91 — тождественно истинная формула, а 51 тогда, наоборот, принимает значение Л при всех зна­ чениях входящих переменных высказываний. Итак, не­ противоречивость исчисления высказываний доказана.

§ 10. Полнота исчисления высказываний

В § 8 мы уже отметили, что формулы исчисления выска­ зываний могут быть интерпретированы как формулы алгебры высказываний. Доказывая непротиворечивость исчисления высказываний, мы показали, что всякая

но ГЛ. I I . И С Ч И С Л Е Н И Е В Ы С К А З Ы В А Н И Й

формула, выводимая в исчислении высказываний, яв­ ляется тождественно истинной, если ее рассматривать как формулу алгебры высказываний. Возникает обрат­

Смысл такой постановки вопроса состоит в том, что при построении логического исчисления, предназначен­ ного выражать содержательную логику, нам требуется знать, достаточно ли мы имеем аксиом и правил для того, чтобы вывести любую формулу, которая в содер­ жательном понимании является тождественно истинной.

Следовательно, в формуле

ПЯ(д„ . . . . 6„),

являющейся посылкой в (1), все сомножители — выво­ димые формулы, а значит, и вся эта формула выводи­ мая. Применив теперь к (1) правило заключения, полу­ чим, что формула 91 (Ль . . . , Л„) выводима в исчислении высказываний. Таким образом, полнота в широком смыс­ ле исчисления высказываний доказана. Мы показали, что употреблявшийся нами ранее термин «выводимая в исчислении высказываний формула» совпадает с содер-