книги из ГПНТБ / Новиков П.С. Элементы математической логики

§ 6. Э К В И В А Л Е Н Т Н Ы Е ФОРМУЛЫ

91

или, если

записать

это

выражение

в

принятой

нами

форме,

_

Н Л ~

Л.

Мы

будем

говорить,

что

формулы

Я

« 23

эквива­

лентны,

если имеет место

Ь

21 ~

23.

Заметим сразу же, что всякие две выводимые фор­

мулы исчисления

высказываний эквивалентны.

Соотношение

эквивалентности

формул

симметрично,

т. е. если

21

эквивалентно 23, то

и

23

эквивалентно 21.

В самом деле, если

имеет

место

И23-^21)&(21->23),

или

Н З З ~ Я .

Соотношение

эквивалентности

транзитивно, т. е. если

21

эквивалентно

23

и

23 эквивалентно

(5, то 21

эквива­

лентно а.

|на

Действительно,

из

|— 91 ~ 23

и

I—- 33 — (5

следует

основании -щ—jg-j.

что

92

ГЛ. I I . И С Ч И С Л Е Н И Е В Ы С К А З Ы В А Н И И

В силу симметрии эквивалентности будем иметь

И,

наконец, применив правило

получим

Ш -> SB, SB -> ST

St~33

SI ~ SB

'

ST

SB, SB -> St

Пользуясь введенным ранее понятием, сформулируем

это утверждение так:

Чтобы формулы

21 и

23 были

эквивалентны,

необхо­

димо и достаточно,

чтобы 21 была

сильнее

23 и

23 силь­

нее 21.

П р и м е р .

Из доказанной

эквивалентности

Л ~ Л

посредством

подстановки

получаем, что формулы 21 и 21

эквивалентны.

Т е о р е м а

э к в и в а л е н т н о с т и . Пусть

формула

21 (Л) содержит или не содержит

переменное

высказыва­

ние А, и пусть формулы

23i и 232 эквивалентны.

Тогда

формулы 21(23!) и

21(232), получаемые

из 21 (Л)

заменой

А соответственно на 231 и 232, также

эквивалентны.

Иначе:

м ^ - а д - ^ в д л - а д ] .

а )

§

6. Э К В И В А Л Е Н Т Н Ы Е

ФОРМУЛЫ

93

Если

число

этих

операций равно

нулю, то

формула

91 (Л) есть либо А,

либо

переменное

высказывание

В,

отличное

от А.

В первом

случае

формула (I)

имеет

вид

выведенную

ранее

формулу Л-»-Л, а

вторая выводима

в силу теорем

1 и 2 § 2.

Пусть теперь утверждение (I) выполнено для всех

формул,

которые

получены не более чем п операциями,

и пусть

91 (А)

составлена п + 1

операциями. Последняя

операция, участвующая

в составлении

91 ( Л ) , — это

одна

из четырех

возможных

операций

&, V , —* или

—.

Поэ­

тому

формула 91 (Л)

имеет одну

из

следующих

форм:

91, (Л)&912 (Л),

9(,(Л) У Я 2 ( Л ) ,

%(А)-*Щ(А),

%Щ,

где формулы 91,(Л) и 2Т2(Л) образованы уже не

более

чем п

операциями.

Отсюда

следует,

что теорема

будет доказана,

если

в предположении, что

выполнены

Ь(23,~23 2 )^[Я,(8,)~91,(23 2 )]

(а)

Ь(23,~232 )->[912 (93,)^912 (532 )],

(Ь)

будут

доказаны

утверждения

1.

Ь

(23, ~

232)

[91, (23,) & 9(2 (23,) ~ 91, (232) & %

(232)],

2.

Ь- (23, ~

232) -> [91, (23,) V %

~

«i №2) V Щ («г)],

3.

Ь

(23, ~

232) - * {[91, (23,) -+ % (23,)] ~

[91, (232) -

912(232)]},

[для случая 4 нужно предположить только (а)].

Итак,

докажем

1—4.

1.

Подстановками

в аксиому

П. 1 получим

Ь

91, (23,) &9<2 (23,)-* 91, (23,).

(1)

94

ГЛ. I I . И С Ч И С Л Е Н И Е В Ы С К А З Ы В А Н И И

Ь- 91, (23,)- [(23, ~ 2 3 2 ) -

91,(232)].

(2)

Из (1) и (2) получаем

по правилу силлогизма

Н 91, (23,) & 912 (23,) -> [(23, ~ 232) -»

91, (232)],

откуда, если переставить

посылки,

получим

Ь (23, - 232) -

[91, (23.) & 212 (23,) -> 21, (232)].

(3)

Совершенно аналогично

можно получить

. Ь- (23, - 232) -

[91, (23,) & 912 (23,) -

21, (232)].

(4)

Сделав подстановки

в аксиому

I I . 3 и дважды

при­

(33, - 232) -

[91, (23,) & 212 (23,) -

91, (232)] &

&[9l,(23,)&2t2 (23,)-9t2 (232 )].

(5)

С другой

стороны, применив к аксиоме П.З правило

соединения

посылок и сделав

подстановки, получим

Ь [91, (23,) & 912 (23,) -> 91, (232)] & [21, (23,) & 212 (23,) ->

-» 912 (232)] -

[(21, (23,) & 212 (23,) -

21, (232) & 212

(23,)].

(6)

Применение

правила силлогизма

к (5) и (6) дает

Н (23, -

232) -> [21, (23,) & 2(2 (23,) -

21, (232) & 912

(232)].

(7)

Из (7) и из утверждения

Н (23, -

232) -> [91, (232) & % (232) -> 21, (23,) & 912

(23,)],

(8)

сиомы

П . З

Ь- (23, ~ 232) - [21, (23,) & 212 (23,) - 91, (232) & 212 (232)].

2.

Из определения эквивалентности и аксиомы

I I . 1

следует

И Л ~ Я ) - > ( Л - Д ) .

(9)

§

6.

Э К В И В А Л Е Н Т Н Ы Е ФОРМУЛЫ

95

Кроме

того,

имеет место (аксиома I I I .

1)

h B - > B V C .

(10)

Далее,

из теоремы 1 § 4 подстановкой

получаем

Ь

(А -> Б)

[(Б -> В V Q -> (Л -> Б

V С)],

h

(Л -> Б) -> (Л -> Б

V С).

(11)

Применив к

(9) и (11) правило

силлогизма,

имеем

h(A~B)-*(A-*BV

С).

f- (23, ~

232) -> [21, (23,)

->

(232)

V

Щ (Ш

(12)

Аналогично

доказывается

Н- (23, ~232 ) -> [212

(23,) -> 21, (232)

V

% (Ш

(13)

Из (12)

и (13),

применив

аксиому

I I . 3,

получим

1- (23, ~

232) -> [21, (23,) - 2t, (232)

V % Ш

& [% (23,) ->

->21,(232) V?t2 (232)].

(14)

(- № (33,).-* 21, (232) V Щ Ш

& [% (23,) -»

- * 21, (232)

V 212 (232)] -> [Я, (23,)

V

Я2

(23,)

-

->2l,(232)

V 2 l 2

(232)].

(15)

Применив к (14) и (15) правило

силлогизма,

полу­

чим

К (23, ~

232) -

[21, (23,) V

% (23,) -

21, (232)

V

2t2 (Ш

Из этого и

из аналогично

доказываемого

утверждения

h (23i -

232) -> [21, (232) V

« 2 (232) -* 21, (23,)

V

Щ (23,)]

следует, согласно

аксиоме

I I . 3:

Н (23, ~

232) -> [21, (23,) V

Щ (23,) ~

2t, (232)

V

212 (232)].

96

ГЛ. I I . И С Ч И С Л Е Н И Е В Ы С К А З Ы В А Н И Й

3. Из (а) применением аксиомы

П. 2

и

правила

сил­

логизма получим

Ь-(93, ~

»

2

)

Я

,

(93,)].

(16)

Аналогично,

из

(Ь),

применив

аксиому

I I . 1 и

пра­

вило

силлогизма,

получаем

Ь ( 9 3 ]

~ 932 )->[912 (931 )->«2 (532)].

(17)

Переставив

посылки

в

(16)

и (17),

получим

I - 91, (232) -

[(53, ~232 )-> 21,(23,)]

(18)

г-212 (23,)^[(23,~232 )-> 9(2

(232)].

(19)

Соединив посылки в

(18),

получим

Ь 211 (332 )&(23,-232 )->2{,(23,).

(20)

С

другой стороны,

подстановка

в

формулу

дает

h- А-+

А

Ь

[21, (23,) -> 212 (23,)] -> [21, (33,) -» 212 (23,)],

откуда, переставив

посылки,

получаем

Ь

21, (23,) -> {[21, (23,) -> 21, (23,)] -

212 (23,)}.

(21)

Применением

правила

силлогизма

к

(20) и (21)

по­

лучим

Ь- 21, (232) & (23, ~

232)

{[21, (23,) -* 212

(23,)] -> 212 (23,)},

откуда по

правилу

соединения

посылок

следует

Ь

[21, (9Э2) & (23, ~

232)] & [21, (23,) -

2(2 (23,)] -> 212 (23,).

(22)

Из

(22)

и (19)

по правилу

силлогизма

находим

Ь

[«, (232) & (93, ~

232)] & [21, (23,) -

212

(23,)] ->

->.[(23,~232)->212(232)].

(23)