книги из ГПНТБ / Немошкаленко В.В. Теоретические основы рентгеновской эмиссионной спектроскопии

для каждого элемента {t |г} из группы G (к), образует неприводи­ мое представление группы G (к), которое удовлетворяет соотноше­ нию {32).

Заметим, что не все неприводимые представления фактор-группы удовлетворяют соотношению. (34). В частности, при к Ф О

этому соотношению не удовлетворяет единичное представление.

Неприводимые представления фактор-группы у щ - ’ Удовлетво" ряющие уравнению (34), называются допустимыми. Фактор-

'Г ({t |г)) Г ({t' |г'}) =

= Г' ({t |г) Т (к)) Г ({t' |г'} Т (к)) = Г' ({t |г) Т (к) {Г |/■'} Т (к)) =

2 | X 4 ( t [ r ) ) r ( k ) r = f | L ,

следовательно,

2 l X « t | r } ) l2 = g(k).

Условие (32) выполняется, поскольку для любой чистой трансля­

Зависимость неприводимых представлений группы от выбора начала координат

Неприводимые представления, по которым преобразуются вол­ новые функции, зависят от выбора начала координат. Рассмотрим элементарную ячейку, в точках Ьр и Ь„ которой находятся атомы. Это могут быть атомы одного и разного вида. Пусть г/— элемент группы преобразований, допустимых относительно обеих точек, т. е. соответственно рг,- и 9Г/. Введем вектор spi) = b q — Ьр. Пусть, далее, г' = г — sPQ. Тогда

Если cpSk (r) — функция, построенная относительно начала коор­ динат, которое не обязательно находится в одной из рассматривае­ мых точек, то

фзк (г) = ехр гк •rask(r),

рГ/срзк (г)= exp ikpr~l •r«sk (рГ]~]г).

Следовательно,

Так как функции cpsk (г) образуют базис неприводимого представ­ ления Г кр группы G (к), то

//фзк (г) = 2 М'зф/к (г).

t

Окончательно получаем

qDts = exp (ik •(Е — pr~x) spq)pDls,

т. е. одна и та же функция, заданная в элементарной ячейке, отно­ сительно разных центров преобразуется по разным неприводимым представлениям, связанным этим соотношением.

НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ

Линейные преобразования

Рассмотрим группы линейных преобразований, элементы ко­

при помощи эйлеровых углов (рис. 10; последовательность враще­ ния сферы: на угол а вокруг оси z, на угол р вокруг оси, перпендику­ лярной плоскости NOE, на угол у вокруг оси ОР). Применим оператор вращения P r (R — вращение на угол а вокруг оси г) к функции rlYim (0, ср), равной произве­

дению радиуса в степени / и сфериче­ ской гармоники У,ш(0, ср). При враще­ нии угол ср переходит в ср + а, и по­ этому (в обозначениях Эйлера)

Р {a,f,.y}r'Y1'П(0. ф) = 2 Dil) ({а, Р, y))m'mrY inV(0, ср),

т ' = —/

откуда

DU) ({а, 0, 0})„,-,„ = exp (ima) 6тт-.

Таким образом, в представлениях Dil) матрицы, соответствующие вращениям вокруг оси г, диагональны. Вращение на угол а описы­ вается следующей матрицей представления

ехр На,

Отсюда определяем характер представления (в данном случае класс характеризуется углом вращения а):

sin(/ + —

• т

Представления D W) неприводимы. Прямое произведение двух представлений группы вращений можно разложить на неприводи­

мые представления по формуле

/i~W«

D(/,) х D[l,) — 2 1Л-М

Всякое представление трехмерной группы вращений является ком­ бинацией представлений D l0\ Dm , D{2\ ... и определяется с точ­ ностью до преобразования подобия.

ствии с трехмерной группой вращений 0 + (3):

Ru-

Это соответствие и является гомоморфизмом. Заметим, что из соот­ ношения

R U lR u s — R u . u , — R u

следует равенство

иги2 = ± и.

Только знаки «±» отличают группу унитарных унимодулярных матриц от нового представления трехмерной группы вращений

0 + (3). Если матрица и известна, то соответствующее вращение наи­ более просто получить при помощи (37), а унитарную матрицу вра­ щения с углами {а, р, у} — из (38).

При помощи гомоморфизма устанавливается и тесная связь меж­ ду представлениями двух рассматриваемых групп. Из каждого пред­ ставления группы вращений можно получить представление U (и) унитарной группы. При этом матрица V (и) = D (Ru) описывает все элементы и и — и второй группы, которые при гомоморфизме со­ ответствуют одному и тому же элементу Ruпервой группы. Если все представления унитарной группы известны, то можно выбрать та­ кие, в которых одна и та же матрица представления U (и) = U (— и) соответствует обеим матрицам и и — и. Если матрицу D (Ru) = = U (и) = U (— и) можно сопоставить вращению Ru, то из каждого такого представления можно построить представление группы вра­ щений.

Представления группы унимодулярных матриц могут быть чет­ ными и нечетными [7), в зависимости от того, какое из равенств

U (и) = U (— и), U (и) = — U (— и)

при этом выполняется. Четные представления являются регуляр­ ными представлениями группы вращений. Поскольку существует только одно (21 + 1)-мерное неприводимое представление группы

0 + (3), его можно построить, вычислив четное (2/ -(- 1)-мерное неприводимое представление группы унитарных унимодулярных матриц. В нечетных неприводимых представлениях группы унимо­ дулярных матриц матрицы U ( + и) и U (— и) = — U (и) соот­ ветствуют каждому вращению Ru = R - u. В этом случае говорят о двузначных представлениях группы и. Одно нечетное представле­ ние унитарной группы образуется самой группой U (и) = и.

Матрицы представления унитарной унимодулярной группы име­ ют вид [7]1

Представления, построенные из этих матриц, унитарны и непри­ водимы, и других представлений двумерной унитарной группы не существует.

Всякое представление UK^(u) унитарной группы является одно­ временно однозначным или двузначным представлением группы вра­

щений. Матрица U{,)(u) соответствует вращению с углами {«. Р. V). если и является унитарным преобразованием, соответствующим в гомоморфизме вращению с углами {а, р, у).

Подставляя выражения коэффициентов а и b через эйлеровы углы

в формулу (39), после преобразования, выполненного для сохра­ нения преемственности обозначений, использованных в (38), при

либо полуцелым числом. Строки и столбцы матрицы Dw пронуме­ рованы целыми и полуцелыми числами — /, — / + 1, ..., /, сумми­ рование по k проведено по всем целым числам. Если / — целое

число, то представление D0>({а, р, у)) совпадает с D(I)({a, р, у}), определенным ранее. При полуцелых j представление DU) ({сс, р, у}) двузначно, так как вращение с углами (а, р, у) соответствует мат­ рицам ± D (/)({a, Р, у )) . Примером может служить матрица

D ^ ( { a ,P ,y } ) =

exp — ia sin — P exp ( — — iy exp — ia cos — P exp — iy