книги из ГПНТБ / Немошкаленко В.В. Теоретические основы рентгеновской эмиссионной спектроскопии

вокруг этой же оси, но в противоположном направлении. Отсюда видно, что преобразования av и av> не коммутируют. Исключение

Таким образом, произведение вращения на данный угол вокруг некоторой оси и отражения в плоскости, проходящей через эту

перпендикулярной этой оси. Такое произведение называется зер­ кальным поворотом и обозначается Si (а). Следовательно, полная ортогональная группа состоит из различных вращений и зеркаль­ ных поворотов.

Разобьем группу W на классы. Пусть h u g — соответственно собственное и несобственное вращения. Так как

gCk (a) g~' = Cgk (a),

TO

hCk (a ) h~' = Cgk (a) = C -hk (a),

t . e .

hCk (a) h~l = C_/lft (a).

Аналогично устанавливаем, что

hSk (a) h~l — S_ftft (a).

Отсюда следует, что совокупность всех зеркальных поворотов на один угол также образует класс.

Приведем все коммутативные операции:

1) два вращения вокруг одной и той же оси;

2)два отражения во взаимно перпендикулярных плоскостях (они эквивалентны вращению на угол 2ср вокруг линии пересечения плоскостей);

3)два вращения на угол я вокруг взаимно перпендикулярных осей (они эквивалентны вращению на этот же угол вокруг третьей перпендикулярной оси);

4)вращение и отражение в плоскости, перпендикулярной оси поворота;

5)любое вращение (или отражение) и инверсия в точке, лежащей на оси вращения (или в плоскости отражения).

ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ

Прежде всего заметим, что два вращения на один угол относят­ ся к одному классу, если в числе элементов группы существует пре­ образование, при помощи которого можно совместить одну ось вра­ щения с другой. Два отражения в различных плоскостях относятся к одному и тому же классу, если какое-либо преобразование группы переводит одну плоскость в другую.

Все точечные группы могут быть построены из простейших групп Сп путем присоединения новых элементов симметрии: вра­ щений вокруг других осей и отражений в плоскостях, причем до­ бавление одного из новых элементов влечет за собой появление других элементов симметрии.

При построении конечной точечной группы присоединение но­ вых элементов симметрии не может быть произвольным. Например, углы, под которыми пересекаются новые оси симметрии со старыми, не могут быть произвольными. Поэтому построить можно конечное число типов точечных групп.

Существует 14 типов точечных групп.

1. Группы Сп- Это циклические группы вращений вокруг единст-

венной оси симметрии на углы 2я k (k = 0, 1 ,..., /г— 1). Каждый из

ихэлементов сам по себе составляет класс. Группа Сг содержит только тождественное преобразование Е и соответствует отсутствию какой

Пусть g — произвольная группа, а С — какая-либо ее ось. Совокупность всех вращений вокруг оси С из группы G образует (вместе с единичным элементом) подгруппу группы G, представляю­ щую собой, очевидно, группу Сп. В соответствии с этим ось С группы G обозначают Сп и называют осью п-го порядка.

и С^] взаимно сопряженные. Для того чтобы ось Сп была двухсто­

ние Сп сопряжено вращению С„или С^Г1. Условием эквивалентности осей Сп и Сп является наличие в группе G элемента, переводящего

ось Сп в ось Сп.

2. Группы Спн- Группы Спп имеют ось n-го порядка и перпенди­ кулярную ей плоскость отражения ah. Каждая группа имеет 2п элементов: п элементов Сп и п зеркально-поворотных преобразо­ ваний

Skn = Cn<jh.

При четных п в группе существует инверсия. Все группы Сп/г абеле­

Таким образом, если п нечетно, то группы Sn содержат независимые элементы Сп и ап, т. е. являются группами Спн- Поэтому при нечет­ ных п группы Cnh фактически являются циклическими группа­ ми S2n-

При четном п группы Sn имеют порядок п, так KaKS" = Ch — Е.

= С2п, т. е. группа S2 — введенная выше группа С\.

группы Cnv содержат, следовательно, 2п элементов: п вращений вокруг двухсторонней оси n-го порядка и п отражений в вертикаль­ ных плоскостях (рис. 4, а).

Распределение по классам различно при четных и нечетных я.

Если п нечетно, то при последовательных вращениях Ск все пло­ скости совмещаются друг с другом и поэтому все отражения в пло­ скостях принадлежат одному классу. Если я четно, то группа Ст

ось я-го порядка двухсторонняя, а все горизонтальные оси второго порядка эквивалентны (если я нечетно) или образуют два неэквива­ лентных набора (если я четно). Следовательно, группа DiP имеет р -\- 3 класса: Е, два класса по р вращений и2 в каждом, вращение

классов по два вращения вокруг вертикальной оси.

Важным частным случаем является группа D2, или V. Она со­

зонтальную плоскость симметрии, проходящую через л осей второго порядка, то автоматически появится я вертикальных плоскостей, каждая из которых будет проходить через вертикальную ось и одну из горизонтальных осей (рис. 4, в). Группа £>„/, содержит 4л эле­ ментов: 2я элементов группы Dn и я произведений типа «аста, которые согласно соотношению

а'о = /ст/ 'ст = /2

кость отражения ап или ось второго порядка. 4я элементов группы

Dnh включают я вращений я вращений на угол п вокруг осей второго порядка (все эти элементы входят в группу Dn), я зеркаль­

но-поворотных преобразований 5„ = олСп, я отражений в верти­ кальных плоскостях ctv.

Плоскость отражения о п коммутирует со всеми элементами группы Dn, поэтому группа D„h может быть представлена в виде прямого произведения

Dnu = Dn х Cs.

Следовательно, число классов в группе Dnu равно удвоенному числу классов в группе Dh, а сами классы Dnn получаются умножением элементов классов группы Dп на Е и ал.

При четном я группа Dnh содержит инверсию

П

Сц П/, = С2с>ь = i,

поэтому при я = 2 р группа D^p.h может быть записана в виде пря­ мого произведения

так как и2 = avoh — вращение вокруг оси Сп, являющейся линией пересечения плоскостей av и od, на угол, равный удвоенному углу между соседними плоскостями av и a d. Все остальные произведения

ная ось порядка 2я. Поскольку отражения в диагональных плоскос­ тях переводят оси второго порядка друг в друга, все оси второго порядка эквивалентны, как и все плоскости отражения. Зеркально­

поворотные преобразования S|*+1 и сопряжены друг

ет три взаимно перпендику­ лярные оси второго порядка, соединяющие середины противопо­ ложных ребер тетраэдра, и четыре оси третьего порядка, соединя­ ющие каждую вершину тетраэдра с центрами противоположных граней. Ее можно построить, присоединяя к группе D2 ось третьего

порядка. Группа Т состоит из 12 элементов: Е, ЗС2, 4С3, 4С|. Три оси второго порядка эквивалентны, так как переходят одна в другую при вращениях вокруг оси третьего порядка. Оси третьего порядка также эквивалентны, так как переходят одна в другую при враще­ ниях вокруг осей С2. Все элементы группы Т распределяются по

четырем классам: (Е), (3С2), (4С3), (4Сз).

9. Группа Г,,. Эта группа получается из группы Т добавлением инверсии, центр которой является центром тетраэдра (рис. 5, б):

Тн = Т X CL.

Так как С3/ = од, то в группе Th появляются три взаимно перпен­ дикулярные плоскости отражения. Появляются также зеркально­

поворотные преобразования S„ и 5б, поскольку

С31 — С3С.2а п = Сф}1 = 5б, С31 = СзС2аЛ= Se,

т. е. оси третьего порядка превращаются в зеркально-поворотные оси шестого порядка. Число классов в этой группе вдвое больше числа классов в группе Т, т. е. равно 8. Классы сопряженных эле­

собой. Она содержит три оси четвертого порядка, проходящие через центры противоположных граней, четыре оси третьего порядка Са, проходящие через противоположные вершины куба, и шесть осей второго порядка и2, проходящих через середины противопо­ ложных ребер (рис. 5, в).

Группа О может быть получена добавлением оси третьего поряд­ ка к группе Z)4. В этой группе оси одного порядка эквивалентны, так как все они двухсторонние. Она содержит 24 элемента, распре­

в плоскостях, проходящих через две вершины и середину противо­ положного ребра. Всего в ней 24 элемента: 12 элементов группы Т (Е, 3С2, 4С3, 4CJ), шесть отражений в плоскостях ad и шесть

зеркально-поворотных преобразований S 4u S i Зеркальные повороты появляются так же, как и в группе Dw, поскольку плоскости от­ ражения осей второго порядка диагональны. Плоскости симмет­ рии содержат оси С3, поэтому в группе Td, в отличие от группы Т,

Од = Ох С(-.

Число ее элементов равно 48. Оси третьего порядка — пространст­ венные диагонали куба. Как и в группе Td, они превращаются в зеркально-поворотные оси шестого порядка, при этом появляются три плоскости отражения aft, перпендикулярные осям четвертого порядка, шесть плоскостей отражения ad, проходящих через каждую

с радиусом-вектором г. Функция а (г) должна быть такой, чтобы рас­ стояние между любой парой точек не изменялось в результате их перемещения. Под произведением двух перемещений простран­ ства следует понимать результирующее перемещение. Совокупность всех перемещений образует относительно этого произведения груп­ пу, называемую евклидовой. Полная ортогональная группа явля­ ется, таким образом, подгруппой евклидовой группы.

Другая важная подгруппа евклидовой группы — группа тран­ сляций. Трансляцией называют такое перемещение пространства, при котором перемещения всех точек одинаковы. Обозначим тран­ сляцию символом ta, где а — общее перемещение всех точек про­ странства. Ясно, что

t a t b = t a + b -

Из этого равенства следует, что группа трансляций, а значит и лю­ бая ее подгруппа, изоморфна некоторой векторной группе.

Т ео р е м а . Всякий элемент g евклидовой группы может быть представлен в виде произведения вращения или зеркального поворота г0 вокруг произвольной точки о и некоторой трансляции ta: g =

= ^аС>-

Для доказательства обозначим через о' точку, в которую пере­ ходит произвольная точка о при перемещении g. Рассмотрим пере­

является вращением или зеркальным поворотом г0 вокруг точки о.

В пространственной группе возникают новые элементы симмет­ рии: винтовые оси и плоскости скольжения. Винтовые оси возника­ ют в результате сложения вращений и трансляций.

в плоскости, перпендикулярной оси 1. Согласно теореме Шаля,

Преобразование, заключающееся во вращении вокруг оси Г на угол а и в последующей трансляции на вектор а й, параллельный оси вращения, а также ось Г называют винтовыми преобразовани­ ем и осью. Винтовые преобразования не имеют неподвижных точек.

Плоскости скольжения возникают в результате действия от­ ражений и трансляции вдоль плоскости. Пусть г — отражение в некоторой плоскости а. Разложим опять а на две составляющие — параллельную ац и перпендикулярную а х по отношению к плоскос­ ти о:

параллельный плоскости отражения. Это преобразование называ­ ется скользящим отражением, а плоскость су — плоскостью сколь­ жения.

Таким образом, каждый элемент пространственной группы яв­ ляется либо винтовым движением, либо скользящим отражением,