книги из ГПНТБ / Немошкаленко В.В. Теоретические основы рентгеновской эмиссионной спектроскопии

любого элемента группы g £ Gсправедливо равенство

k

Матрицы D (g) образуют представление группы. Составим матрицу гамильтониана

Hik = j % (х) Н (х) op* (х) dV

и аналогичную матрицу Hik на штрихованных функциях

ф; (х) = ф, (я“ 'х)-

В силу инвариантности гамильтониана относительно преобразова­ ния g

H\k = Н1к.

С другой стороны, Hik можно выразить через элементы матрицы D:

Н' = D+HD,

или

D(g)H = HD(g).

Таким образом, условие симметрии квантовомеханической систе­ мы относительно группы преобразований может быть выражено как условие коммутативности матрицы гамильтониана с матрицами унитарного представления этой группы.

Итак, при операциях симметрии волновые функции стационар­ ных состояний системы, относящихся к одному и тому же значению энергии, преобразуются посредством друг друга, т. е. образуют некоторое представление группы. Существенно, что это представле­ ние неприводимо. Функции, преобразующиеся друг через друга при операциях симметрии, должны относиться к одному значению энергии. Совпадение собственных значений энергии нескольких групп функций (на которые можно разбить базис приводимого представления), не преобразующихся посредством друг друга, было бы невероятной случайностью. Иногда дополнительные усло­ вия симметрии, не связанные с пространственной симметрией, приводят к совпадению значений энергии нескольких неприводи­ мых представлений. Такое дополнительное вырождение может быть вызвано инвариантностью уравнений движения относительно обра­ щения времени. В особых случаях группа симметрии гамильтониана может оказаться выше группы симметрии потенциала V (в частнос­ ти, кулоновского), что также приводит к дополнительному вырож­ дению. Однако, как правило, каждому значению энергии системы соответствует некоторое неприводимое представление ее группы симметрии. Размерность этого представления определяется крат­ ностью вырождения данного уровня, т. е. числом различных со­ стояний с данным значением энергии.

ПОСТРОЕНИЕ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Операторы проектирования

При помощи неприводимых представлений можно построить базисные функции, преобразующиеся по каждому из этих представ­ лений. Выберем произвольно функцию Фх (х). Применив последо­ вательно операции группы G ,g1 = Е, g2, ..., gh, получим h функций

ф» (х) = p tu®1 (х) = ф 1 (£ Г ‘х).

Функцию Ф2 (х) можно выбрать так, что все функции Ф, (х) будут линейно независимыми. При операции g каждая из h функций Ф< (х) переходит в другую функцию набора Ф< (х):

Такое представление, базисом которого являются h линейно неза­ висимых функций, есть не что иное, как регулярное представление. Поскольку регулярное представление содержит все неприводимые представления, из Ф< (х) функций можно построить h функций

=1,2, ..., Пц) — номер одного из эквивалентных р представлений). Покажем, что в результате применения оператора

к любой из функций Ф, (х) получается набор функций ф(,^. Прове­ рим, действительно ли функции-партнеры

преобразуются по неприводимому представлению р. Согласно (21) и (22) получаем

Можно убедиться, что любые функции фm2, являющиеся базис­ ными функциями неприводимого унитарного представления, орто­ гональны по все трем индексам. Так как все функции Ф* (х) линейно независимы, т. е. никакая линейная комбинация этих функций не

может обратиться в нуль, то среди функций ф!$, в соответствии с (22), нет ни одной функции, равной нулю, и все эти функции линей­ но независимы. Действуя операторами на функцию Ф, (х),

Следовательно, Vd является пространством представления D группы

Функции Д образуют систему базисных функций, принадлежащих представлениям Dp. Поэтому удобно вместо индекса /', изменяюще­ гося от единицы до й, ввести индексы р, /и, я, где р — номер непри­ водимого представления Dp, m принимает значения от единицы до пр и означает номер многократно встречающихся одинаковых пред­ ставлений Dp, к — номер строки представления Dp. Следователь­

но, d — 2 npdv- Учитывая, что / = Д, из равенства (24) получаем p=i

/— U 1; pmx/pmx-

р,т ,к

Так как ^ U *; pmKfp„m принадлежит к-и строке представления Dp,

т—1

то полученное выражение имеет искомый вид (23).

Проверим, как действуют на функцию (23) введенные операторы проектирования. Из (23) видно, что

Следовательно, при v = р, непосредственно получается проекция

Из теоремы разложения вытекает, что сумма всех операторов проектирования равна единице, т. е.

представления. Часто же известны лишь характеры Х(р> (g) представ­ лений. В этом случае можно ввести операторы Р(р\ соответствующие

Предположим, что обращение в нуль матричного элемента (/, Ag), характеризующего вероятность перехода из состояния / в состояние g, обусловлено только симметрией. Если оператор А перестановочен с операторами Та группы G и g — базисная функция некоторого неприводимого представления этой группы, то будет принадле­ жать той же строке, что и g. Это вытекает, согласно свойству базис­ ной функции, из перестановочности А и Ра. Если / — также базис­ ная функция некоторого неприводимого представления группы G, то при помощи соотношения (25) легко установить, равна или не равна нулю величина (/, Ag). Если же / и g не являются базисными функциями, то, согласно теореме разложения, их можно разложить по базисным функциям. Матричный элемент (J, ,4g) тогда будет ра­ вен сумме матричных элементов, к каждому из которых можно при­ менить критерий ортогональности. Рассмотрение матричных эле­ ментов этим способом существенно упрощается.

Применим изложенные соображения для вычисления матричных элементов гамильтониана между двумя функциями, найденными при помощи операторов проектирования.

Прежде всего найдем матричный элемент гамильтониана между

Используем свойство унитарности оператора преобразования. Так

как R~]Rt = Е, то RRlRp\> = ф. Оператор R~l коммутирует с га­ мильтонианом, и поэтому в подынтегральное выражение входит

R~'Rjty'- Пусть

R~'Rj = Rs, Rj = RtRs.

Заменим суммирование по R( и R/ суммированием по ./?, и Rs. Тогда первоначальный матричный элемент преобразуется к виду

На основании свойства ортогональности элементов матриц пред­ ставлений получаем

р и р' не совпадают, кроме того, при одинаковых неприводимых пред­

ставлениях а = с. Если матричный элемент отличен от нуля, то его можно вычислить, используя (26), где суммирование проводит­ ся только по Rs. Другими словами, фактически достаточно выпол­ нить лишь одну операцию симметризации над функцией ф'.

Эти свойства матричных элементов широко применяются в зонной теории. В некоторых случаях важное значение имеет построение базисных функций, преобразующихся по единичному представлению. По определению единичного представления эти функции являются инвариантными, т. е. не изменяются при всех преобразованиях симметрии, входящих в данную группу. Напри­ мер, в регулярном представлении единичное представление содер­ жится только один раз и инвариантная функция имеет вид

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИММЕТРИИ

Симметрия тела определяется совокупностью тех перемещений, которые совмещают тело с самим собой. Такие перемещения назы­ вают преобразованиями симметрии. Известно три типа преобразо­ ваний: вращение вокруг некоторой оси, отражение в плоскости, трансляция. Первые два типа преобразований имеют неподвижные

Группы симметрии, у которых при всех преобразованиях сохра­ няется неподвижная точка, называются точечными. В точечной груп­ пе все оси вращения и плоскости отражения пересекаются в не­ подвижной точке.

Рассмотрим основные свойства указанных трех типов преобра­ зований симметрии.

Вращение Сi (а) определяется заданием направления оси вра­ щения 1 и угла вращения а. Последовательное проведение m

вращении вокруг одной оси I на угол а является вращением на угол т а .

38 Глава 1. Элементы зонной теории

Если а составляет рациональную часть 2л, например а =

где п — целое число, то п вращений эквивалентно тождественному

преобразованию С" (а) = Ci (2л). Поэтому совокупность вращений на такие углы содержит конечное число п элементов и образует циклическую группу Сп.

- Если а несоизмеримо с 2л, то среди вращений Сf (а) нет равных между собой. Наличие иррациональных от 2л углов вращений сви­ детельствует о том, что симметрия носит аксиальный (осевой) характер.

В число элементов симметрии кристаллической решетки входят только элементы конечных точечных групп, так как в кристаллах

Произведение любого числа вращений вокруг различных осей, пересекающихся в одной точке, является также вращением вокруг некоторой оси, проходящей через эту же точку.

Вращения вокруг различных осей в общем случае некоммутатив­ ны. Они коммутативны лишь в частном случае вращений на угол я вокруг взаимно перпендикулярных осей, так как их произведение является также вращением на угол я вокруг третьей оси, перпен­ дикулярной им.

Каждое вращение можно рассматривать как линейный оператор, переводящий вектор г в вектор г' = gr.

Пусть Ci (а ) — вращение вокруг оси 1 на угол а, а g — любое

вращение. Покажем, что операция С], = gC\ (a)g~‘ представляет собой вращение на угол а вокруг новой оси llt в которую переходит ось 1 при преобразовании g. Обозначим через ац матрицу вращения

Ci (а) в базисе е^ е2, е3. В базисе I/ = ge/ эта же матрица означает вращение Cj, (с^).

Действительно, С), (ах) е, = а,;е/. Матрица вращения однозначно определяет угол вращения и расположение оси вращения относи­

Это означает, что вектор ^ получается из вектора 1 путем вращения g. Таким образом,

a i = a , l! = g l, gCi ( a ) g ~ ~ ' = Cgi (a),

т. e. каждый класс сопряженных элементов состоит из вращений на один и тот же угол а вокруг всевозможных осей.

Произведение двух вращений на угол я вокруг осей I и Г, между которыми угол равен ф, является вращением вокруг третьей оси 1", перпендикулярной первым двум, на угол 2<р, т. е.

поскольку при вращении оси 1" на угол я относительно перпендику­ лярной оси направление оси 1" становится обратным.

Так как при вращении сохраняются длина векторов и углы между ними, то скалярное произведение двух векторов в результа­ те вращения также не изменяется, т. е. (г, гх) = (gr, grx). Следова­ тельно, вращения представляют собой унитарные операторы. Как известно, определитель любого унитарного оператора в трехмерном действительном пространстве равен либо + 1,либо — 1. Вращениям соответствуют только те унитарные операторы, у которых определи­ тель равен единице. Поскольку вращение на угол, равный нулю, является единичным оператором, определитель его равен единице. Следовательно, определитель любого вращения также равен единице.

Итак, каждое вращение представляет собой унитарный оператор с определителем, равным единице. Можно показать, что и, наобо­ рот, всякий унитарный оператор в трехмерном действительном про­ странстве с определителем, равным единице, является вращением.

Совокупность всех унитарных операторов в действительном трехмерном пространстве, имеющих определитель, равный единице, образует группу, изоморфную группе вращений.

В некоторых случаях возможна другая трактовка группы враще­ ний. Унитарные матрицы можно рассматривать как преобразования координат неподвижных векторов при вращении системы координат.

Если орты новой системы координат е/ выражаются через орты ста­ рой системы посредством соотношений

е/= ар (g) ег>

то координаты неподвижного вектора преобразуются по закону

х\= а,т (g) xt.

Таким образом, одну и ту же унитарную матрицу можно рассмат­

ривать либо как вращение g пространства, либо как вращение g~l системы координат. Группа унитарных матриц с определителем, равным единице, изоморфна, не только группе вращений простран­ ства, но и группе вращений системы координат, поэтому обе послед­ ние группы и называются группами вращений.

Вторая операция — отражение в плоскости не соответствует ника­ кому физически возможному перемещению тела как единого целого.