книги из ГПНТБ / Немошкаленко В.В. Теоретические основы рентгеновской эмиссионной спектроскопии

1/(г) =

' и'Ч1г — rv|) при |г — rv| < t f v,

.0

при всех других г

= Ф

(г) У+

, J

, дх¥ (гЛ

, dG (г, г’)

dS'j,

G (г, Гу)

------ф (г,)------- г - 1-

'

sl

d ri

дГ1

Ф (г) — У]

J

G

(г.

Г/) У (п) Ф (rj) dV] =

i

rj< R j—e

—

S I

r

,

\

А1,(гЛ

, /4

5G(r> r;> dS).

(199)

G

(r>r/) —dr.

------^ (r/)

— dr.

Подставляем

(199)

в

(198):

ЛЕ=

j ф* (r) V (r) dV 2

( -

1) j dS',1G (r, rj)

-

Q,

;

!

^

— Ф (rj) —

)j/Г== — S

j"

dS'i[S y*V (r) G (r>r/) W

X

дф ( . r j )

S

j

Ф—* (*2г)’ КГ;)(г)d Kф(0).

(200)

X

+

Методы расчета энергетических гон в кристаллах

181

Интегрируем по атомным сферам:

J

17 (г) Ф* (г) G(г. г/) dV = ^ I

(г*)Ф* (га)G (га>г/) dVk>

Q|

h

где гь =

г — rVft. Получаем

( о* (г*)Ф* (г*) G (г*,

r'i)dVk =

+

S

f

^

drk

drk

•ф*(гл) * +

" ф*(гл) X

*

i

X V ^ dS]

— G (rt„ r',) - ^ r -

ф (r/) +

ф (r'j)

G (rk, r't)

диагональными. При г,- <

г/ <

R/

G (Г/, И) =

Ц

2

ji (ХГу) /у (к г ]) +

lm

I'm*

,

^тах

/

.

,

л,

Ф ( г / )=

2

2

J u n R d E , r i ) Y lm {Tj)

/=0

т«=—/

в формулу (203), то диагональные члены примут вид

2

2 ClmcVm- [ji (ХГу) R\П — /у (ХГу) R[U)] X

lm I'm*

X

[А\М}'т’ (jl' (xr,)

— /V (xr,) $ - ’) +

+

хбп'бшт' In/'Rp0 — Л/-#/'’]},

(204)

где

/$> =

d0

// =

■dr, ■ii (*o)-

При (гл + Гу) <

| rvA— rV/|

G {rk, Гу) =

2

2

Ahn.l'm-it (xrft) /, (xr'/) У/т (г,;) Угш- (Гу).

(205)

/т

/'т'

Методы расчета энергетических зон в кристаллах

183

Вклад,

вносимый

в (198) членом с rk, центрированным

вблизи k,

и с г/ вблизи /, можно записать в виде

2

2

....А Ь

[fiR\k) - hR,u\ = R k in-r P' - ir R P ] ,

„ • (206)

Irn

I'm'

rr

Rj

+ x6/r6mm-6;/- [jiR\k) — jtR rX

|tii'R't-R — n rR p ],

T R>

2

М /тД 'пГ U rR P —

jl'RP]

’

+

I'm'j

rr

Ri

+

'H&ll’Smm-hj [ t lf R P

— ni'Ri/ )]r=RjClt'm’ =

0.

Для того

чтобы эта система имела нетривиальное решение, должно

выполняться условие

Det |

[ji'R r1— jrR P]

,

+

rT Ri

+

Kbll'Smm’bkj [Пг Rr') — Щ-R P ].

|=

0.

ri=Ri

Разделив

каждый

столбец этого

детерминанта

на

[/V Rp!) —

— ji' R p ] r ~ R r

получаем секулярное

уравнение

Det

,ь

■+

П,. -- n,,L]0

I

=

0,

xSll'Smm'&kj

----- .

(/) 1 -

I l r - l r Lr

\ri=Rl

b P

= R\0 (r'j)

dr'jT- RP

(П).

Вычисление диагональных структурных

констант Л/шЖт' ана­

G[kJ) (г*, 17)

2

(К + к 1 я - £ 6ХР' (к + К«) • - fv,) X

кл

X

exp i (k + K J •(r* — r,).

cilm.l'.n' —

(4л)2

■1—1’

v

exp i (k +

K„) •(rV/; -

rV/)

(k +

K„)a - E

X

f i °

i , ( w f c )

/>

( w ’j)

{ r

x ii ( |k +

КJ rk) jr

( I k +

K„ |r]) Y

(k) Y,.m. (k).

Функцию Грина теперь можно записать в виде

1 v

e*P‘'(k +

K„)-(rV/;- r

)

G ( Г* . Г/) -

Q 0 2 j

(k -

К п )2 -

Е

х

кл

X exp i (к +

К„) •R k i = ----- У

(к +

КпГ - Е

X

Ц.

х exp i (к +

Кл) •(rVft — rv.) 2

Ч) ( |k + К„ |Rki) Y im(R*/) Y*m(k)

Im

G ( r k , г/) =

2

( I k

+ K„ I R k i)

Y

ш

(R */)•

LM

Сравнивая эти два выражения, получаем

•-'LM = —

•X

iL ~ k +

_ £ - exp i (k +

K J

•(rv* -

rv,) X

ЛЧ)

_

А„у—1' v

■Lr

/-><*-/)

Slim,I'm’

—

m i

l

^ L,m —m’\

L,m—m',

LM

где

C b .m —m ’ -, Im .l’m - =

j" Y

(k) Y/m (k) Yi'm>(k) dQk.

Применяя метод Эвальда, для

структурных

констант получаем

выражение

хехр/ кл -г.

(210)

-

j j

(г) V (г) G (г,

г')

V (г') ¥ (г') dVdV'.

(211)

/ИТ-потенциал

имеет вид

| М | г

— R„ — г„|)

при |г — R„ — r v | < / ? v,

V (г) =

(I

vc при всех других

г,

чцг) =

„ ( V I [ г — rv |

(г — rv)

' v , " A v

i, (2i2)

v К д

\ - S KfW ( | r - r v| ) X l « ( r - r v),

Методы расчета энергетических son в кристаллах

187

где хд (г) — нормированные двухкомпонентные спиноры,

]" 7д+ (г)

(г) dQ = бдд'бцц',

(а ■- f ) Х'к (г) =

(о •г) 1% =

- iS А

(г),

(213)

Так

(а- 1 + l)3Cfc(r) = - * X }U r ).

(214)

как

V = г (г ■V) — г х

(г X V) = г

----- х

1,

где

I = — гг X V — орбитальный

момент, и

то

(а •А) (а •В) = А ■В + га •(А X В),

—

а ■I = га •г X 1

и, следовательно,

(а •р) = — г (а •г)

+ ~

(о ■Г) (<* •1).

Используя формулы (213)

и (214),

получаем

(а •р) %/< (г) =

— 5дХ!1д (г)

+ - - ~ — j •

где

ЛЕ= 2

J

dV'Y* (г) V (г) [¥ (г) -

v |Г— r v | < i ? v - 2 в

- 2

I

dV'G(r,r')V(r')^(r')].

(215)

v' 1Г'—r^i-|<J?v—е

Учитывая уравнения (83), (207) и эрмитовость а и Р, получаем

¥ ( r ) - 2

J

dK,G (r,r')/(r,)4r(r,) =

v ' |Г'— r v - | < « v . — е

= х1'(г)+ 2

J

dFG(r, г')(са-р' + 4 - с2Р - Г ) ЧГ(г') =

V

|r'-rv,|</?v. - £

'

'

= ^ ( 0 + 2

j

Л "

+ ,

с о с р ' + ^ Р - Г С (г, г') т ТД г')-

Методы расчета энергетических вон в кристаллах

189

в уравнение (217) и совершая предельный переход при е

0, полу­

чаем

Л = 2 2 2

cK u ^K ix,il'ii'c<K'p.’ t

v,v' К,К’ и,и'

X [ c f P ( R v -) ] v ( p R v') — p S K ’g P(

( R v-) j 7. { p R V')\.

2

2

2 ^ки,К'и'сК’1' = 0.

V '

К'

к '

Del

= 0.

TO

Cfft1(r) til {pr) — p S p ^

(r) tij (pr)

Det |Д/сДж,д '+ p 8v,v'8k ,K'8u.w

(f) il (pr) — PSKg{

{Г) ij (pr)

cf(K

=

0.

Грина (208). Воспользуемся соотношениями [70]

ехр /к •г/2 =

4я 2

i‘ii ФГ)

(г)

(к),

КД

cos (р |г — г' |)

4 =

Р 2

i l ( р г < )

П[ (pry) 1%(Г) х£+ (г'), (219)

4я |г — г' |