книги из ГПНТБ / Немошкаленко В.В. Теоретические основы рентгеновской эмиссионной спектроскопии

90 Глава 1. Элементы еонпой теории

функциями вектора к, а величина VE (к) непрерывна в зонах или частях зон, принадлежащих одному и тому же неприводимому пред­ ставлению группы G (к), и после пересечения эта непрерывность сохраняется.

Причины касания энергетических зон подробно исследованы Херрингом [11].

Особый интерес представляет касание двух зон, соответствую­ щих одному и тому же неприводимому представлению. Две зоны,

но высказать обоснованные предположения об изменении энергетических зон в кристалле. Допустим, что известно неприводимое представление, по которому преобразуются волновые функции в точке к = 0. Необходимо установить, на какие представ­ ления оно может быть разложено при выходе из точки к = 0 вдоль какого-либо направления высокой симметрии. Вдоль направления высокой симметрии группа симметрии является подгруппой группы симметрии при к = 0. Поэтому, если использовать в качестве матриц представления матрицы большей группы симметрии, то в меньшей группе они являются приводимым представлением, которое можно разложить обычным способом на неприводимые представления, ха­ рактеризующие меньшую группу симметрии. Поскольку к точке к = 0 или какой-либо другой точке подходит несколько направле­ ний симметрии, указанную процедуру можно выполнить для каждо­ го из них. Обычно эти результаты записываются в виде таблиц сов­ местности.

Заметим, что можно определить совместность неприводимых представлений, соответствующих оси симметрии, с неприводимыми представлениями плоскостей, содержащих эту ось. Но так как это теоретико-групповые соображения, то они не могут дать ответ на вопрос о том, какому неприводимому представлению соответствует то или иное значение энергии.

Некоторые особенности симметрии энергетических зон

Остановимся кратко на вопросах, связанных с обращением в нуль величины VE (к) и формой пересечения поверхностей постоянной энергии с осями симметрии.

При отражении в плоскостях симметрии, лежащих в зоне Бриллюэна, каждому значению энергии с данным к и некоторым неприво-

дится непосредственно у плоскости симметрии, на границе зоны Бриллюэна. Параллельно этой плоскости проходит плоскость через центр зоны Г, относительно которой Е (к) имеет симметрию отраже­

правление, перпендикулярное плоскости симметрии, обращается в нуль (рис. 13, а). Этот результат справедлив также в том случае, если зоны (п) и (/г -f 1) соответствуют двукратному вырождению неприводи­ мого представления группы G (к) при всех к , расположенных вдоль нормали к рассматриваемой плоскости (рис. 13, б). Величина VE (к)

собственных значений, соответствующих различным волновым векто­ рам. Это возможно лишь тогда, когда группа F не содержит инвер­ сию I. Если cpks (г) являются базисными функциями неприводимо­ го представления Гр группы G (к), то базисные функции, соответ­ ствующие неприводимому представлению Гкр пространственной

группы G, являются функциями Р ({0 1г,-)) фь (г), вращения {0 j л£} генерируют звезду вектора к. Базисными функциями представления

(Гкр)* тогда являются функции Р ({0| г,-)) ср^ (г)*, - и ни одна из этих функций не содержит к как их волновой вектор, если вектор

как следует из соображений, развитых в первом пункте, существует дополнительное вырождение Е (к) вследствие изменения знака вре­

в точке к есть не что иное, как вырождение между уровнями Е (к), соответствующими неприводимым представлениям Гр и Г17 группы G (к). Поэтому говорят, что Г р и Г 7 «склеиваются» в результате симметрии относительно изменения знака времени.

3. Вектор— к эквивалентен к . В этом случае существует допол­ нительное вырождение Е (к), вызванное симметрией по отношению к изменению знака времени, и если Гк? — представление, эквивалент­ ное Гкр*. то Гр и Г 7 «склеиваются».

Часто в случаях 2 и 3 существует только два неприводимых представления группы G(k) типа (б) и очевидно, что именно они явля­ ются «склеивающимися» представлениями. Если существует больше двух неприводимых представлений группы G (к) типа (б), необхо­ дим дальнейший анализ.

В случае 2, так как — к находится в звезде вектора к, существует вращение { 0 !/у} из группы G такое, что /ук = — к. По правилу построения звезды только один элемент г, из тех, что позволяют построить звезду, обладает таким свойством. Обозначим его г_. Если Гр и Г17 — два «склеивающихся» неприводимых представле­ ния группы G (к) типа (б), а %р и V — их характеры, то

типа (б) «склеиваются» с Гр, можно по таблице характеров группы G (к). Справедливость соотношения (49) можно доказать следующим образом. Если Г кр* эквивалентно Гк<7, то функции cp{L (г)* явля­ ются линейными комбинациями функций Р ({01г_}) ср£, (г). Соот­

ветствующим преобразованием подобия функции cpw (г) могут быть

для каждой строки s. Для любого вращения {0 1г} из группы G (к)

Суммирование в левой части равенства проводится по всем преобра­

ствующий критерию (48) для симморфных пространственных групп, может быть записан в виде

где суммирование проводится по представителям (t| Q) группы

в которых Qk эквивалентно вектору — k, g0 — порядок группы F, М (к) — число векторов в звезде вектора k, %р ({Q Q}2) — характер

элемента {t |Q)2 группы G (к) в неприводимом представлении Гр. В двойных симморфных пространственных группах комплексно­ сопряженная спинорная функция cpft (г)* не является, вообще го­ воря, собственной функцией гамильтониана, содержащего члены

спин-орбитального взаимодействия. Можно показать, что

cr2 'Н (г) ст2 = Н* (г),

следовательно, если

Н (г) Фк (г) = Е (к) срк (г),

то, выполнив комплексное сопряжение, получаем

Н (г) {ст2фк (г)) = Е (к) {<т2фк (г)).

Поэтому а2фк (г) — собственная функция, соответствующая тому же собственному значению энергии, что и срк (г).

В двойных группах также возможны три случая [7]:

а) Г эквивалентно представлению, построенному из веществен­

строенному из вещественных матриц.

Как видим, эти случаи аналогичны рассмотренным выше, однако соответствующие им вырождения в случае спин-орбитальной зави­ симости гамильтониана носят другой характер. В случае (а) суще­ ствует дополнительное вырождение. В случае (б) также существу­ ет дополнительное вырождение, поскольку собственные значения,

98 Глава 1. Элементы зонной теории

значения Et в систему (54), можно определить коэффициенты сс, вхо­ дящие в разложение (53).

Функции срг (г) обычно выбираются из соображений сходимости разложения (53). Однако вычислительные возможности ограничива­ ют число членов в этом разложении. Преодолеть возникающие труд­ ности можно при помощи методов теории групп. В качестве функ­ ций ср,- (г) в (53) следует использовать функции, преобразующиеся по какой-либо строке неприводимого представления пространст­ венной группы. Действительно, любую функцию можно представить

ции ф?т (г) преобразуются по m-й строке неприводимого представ­

Столбцы и строки определителя можно поменять местами так, что все члены, соответствующие данной строке данного неприводимого представления, будут сгруппированы. При этом, согласно теореме о матричных элементах гамильтониана и ортогональности функций, преобразующихся по разному типу симметрии, величины (фfn, ф?ш) и (ф/п, Яф/'ш), входящие в (55), обратятся в нуль и определитель примет вид

полученное значение энергии будет /„-кратно вырожденным. Преимущество уравнений типа (56) заключается в том, что поря­

док их меньше порядка системы (54), а точность определения соб­ ственного значения такая же. Разумеется, каждому неприводимому представлению соответствует определенная система уравнений, но решение их проще решения исходной системы (54).