книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

x = f[x, w(t),

u(t),

t];

(2-71)

z(t)=h[x(t),

u{t),

t],

(2-72)

где

t^t0,

a

векторы x, w, и

и v имеют тот же

смысл,

что

и ранее.

Предполагается, что / — n-мерная

вектор-

рывно дифференцируемая по всем компонентам

векто­

ров x, w и и;

h — m-мерная

вектор-функция

указанных

переменных,

непрерывная

и непрерывно

дифференци­

руемая по всем компонентам векторов

х

и ѵ.

Для данного x(t0)

и известных

кусочно-непрерывных

функций

w(t)—w{t)

и u(t)—ïï(t)

из теории

обыкновен­

ных

дифференциальных

уравнений известно,

что

урав­

нение (2-71) можно решить

и получить

некоторое x(t) =

= x(t). Тогда

для известной

кусочно-непрерывной

функ­

ции

v(t)=v{t)

можно

получить

z(t)=z(t),

подставляя

x(t)

wv(t)

в уравнение

(2-72).

Будем

считать x(t),

w(t),

ïï(t),

v{t)

и z(t),

где

t^to,

вести эту линеаризацию,

обозначим:

x(t) =x(t)+Êuc(t);

w{t)

=w(t)

+Aw(t);

u(t)=ïï(t)+&u(t);

v(t)

=v(t)

+Av(t);

z{t)=z(t)+&z{t)

и затем разложим обе части

исходных

систем уравнений

в ряд Тейлора.

Вначале рассмотрим і-е уравнение из системы урав­

нений (2-71)

Xi=fi\x,

w(t),

u(t),

t)

для некоторого і=\,...,п.

Разлагая

его в ряд Тейлора,

получаем:

-f- члены второго порядка,

(2-73)

где

индекс 0 означает, что указанные

частные

производ­

ные

следует вычислять при x=x{t),

w = w(t)

и u = ü~(t).

ков в уравнении (2-73) пренебрежимо малы, и

исполь­

зуя векторно-матричные обозначения, имеем:

Ах,-

дхі

' 'дхп

' ' ' dwp

Aw (t)

+

+

Au (t),

(2-74)

для любого і= 1,..., п, где

Дда,

Д«і

*-

Ах-.

;

Aw —

;

Au —

Дх„

àwp

Систему уравнений (2-74) можно записать

в более

удобном

виде:

Ax = F(t)Ax+G(t,)Aw(t)

+C(t)Au(t),

(2-75)

для t^t0j

где

F (t)

— Wfij(t) II — матрица

размера

пХп

{U){t) =

(dfi/dXj)o;

і,

/ = 1 , . . . , я ) ;

G (t)

=\\gi}

(t) || - м а т р и ­

ца рамера

nXp

(gij(t)

= (âfi/dwj)0;

i = l , . . . , n ;

/ = 1 , . . .

...,p);

C(t)

=\\Cij(t) Il—матрица

размера

nXr

(сц(і)

=

= (dfi/dujjo;

i= 1,...,

«;

/ = 1 , . . . ,

r).

Очевидно, уравнение (2-75)

имеет

ту

же форму,

что

и уравнение (2-1).

Аналогичным

образом получим:

Az{t)=H{t)Ax{t)+A{t)Av{t),

где H (t) = \\hij(t)

II — матрица

размера

m X / i

(hij(t)

=

= {дкі(дх})0;

i = l , . . . ,

m;

/ = ! , . . . ,

n) ;

Л (г) =

Ііа^ (^) || —

матрица

размеіра тХт

(ciij(t)

= (dhifdüj)0;

i—l,...,m,

/ = 1 , . . . , т ) .

Обозначая Аѵ*(t)

=А(t)Аѵ(t),

получим уравнение

Az(t)=H(t)Ax(t)+Av*(t),

(2-76)

имеющее такую же же форму, что и уравнение

(2-2).

Следует

иметь в

виду,

что линеаризованная

система

г = гѲ«- \

+

-^ar(t);

6 = -

ÉL+

—

иМ),

где y=GM; здесь G — универсальная

гравитационная

постоянная.

Обозначая

х, = г, х 2 = *,

xa =

b, xt

= Ѳ*. и, = иг

и их = и в , по

лучаем систему

уравнений

Х\ — Х\\

(2-77)

х 3

= х 4

х 4

2*2*4 ,

1

= —

соотношения

Дх, =

Дх,;

Ах, •

Д х , +

+ [2*, (t) sA (01 дх* +

A«i (0;

Дх, =

д х 4 ;

ДХ4

2Дг (О М О 1

Г2*4 (0 1 t

4 ( 0

0

1

О

*W +

о

2*і(0

(О

F (t) =

0

о

—2х2

(О

2*2 (0 х4 (0

_ 2 Ж 2s2( / )

*? (0

(0

о

о

1

0

m

C(t).

0

О

1

m

z(t)

=г(0—n + v(t)

=Xi(t)—

r0 +

v(t),

где r0 — радиус планеты. Тогда,

очевидно,

или

Az(t)=AXi(t)+Av(t)

Az(t)=\\\

0 0

0\\Ax(t)+Av(t),

где Ах — четырехмерный

вектор с компонентами

Ахі,

Ахг, Ахз и Ахік.

Следовательно, для этого

примера

Я ( / ) = | | 1

0 0 011.

Дискретный аналог системы (2-71), (2-72)

имеет вид:

x(k + l)=f[x(k),

w(k),

k+i];

(2-78)

z(k + l)=h[x(k

+ l),

ü(k+\),

k+\].

(2-79)

Процедура

получения

линеаризованных

уравнений

для такой системы точно такая же, за

исключением то­

го, что частные

производные

теперь следует

вычислять

только в дискретных

точках

k=Q,

1, .. .

В

частности,

матрица Ф(А + 1, k)

размера

пхп имеет вид:

Ф(к+\,

А)=|!фо-(А+1, А)II,

З А Д А Ч И К ГЛ. 2

2-1. Для

матриц

2

0

1 1

2

1

1

1, В =

; с = 0 3 —2

—5

3

1

0

2

0

3

1

определить:

а)

AB,

ВА

и

А2—В;

б)

С, | С | ,

\С'\,

adj С и С-»;

в)

|ЛВ|,

(Л5)->;

г)

ранги

ЛВ

и С;

д)

собственные значения и собственные векторы матрицы С;

е)

М~1

СМ,

где

M — матрица

размера 3X3,

столбцы которой

ж)

Sp

AB2;

з) симметрическую матрицу С* размера 3X3, для которой

х'Сх=х'С*х,

где X — трехмерный

вектор;

и)

является ли матрица С положительно определенной или нет?

2-2.

Показать, что для квадратной матрицы А:

а)

(А')~і=

( Л - 1

) ' , если Л несингулярна;

б)

|Л - *| =

|Л| - » = 1/|Л|, если

|Л|=^0;

в) V* [{У—Ах)'

В (у—Ах)]

=

2 (х'А'ВА—у'ВА)=

—2 (у—Ах)'

ВА,

где В — симметрическая

матрица;

г)

Sp (Ахх')

=

х'Ах;

д)

Ранг

(AB)

<g:min [ранг Л, ранг

В].

2-3.

При каких условиях справедливы следующие утверждения:

а)

(А—В)

(А + В)

=Аг—В2\

б)

А = В,

если

х

Ах=х'Вх;

в)

В = С, если

АВ=АС,

где

Л — квадратная

матрица.

2-4.

Определить

Л(0,

І Л ( 0 ^

и

ДОг)[Л-»(01

л (о =

t + 1

sin2 1

для матрицы

1

3

2-5. Рассмотреть данную на рис. 2-12 электрическую цепь, где

напряжение

e(t)

является

входной

(управляющей) переменной,

а вы­

ходом z(t)

является

напряжение, измеряемое на

резисторе Яг.

а)

Пусть Х\ = іі,

Хг=іг

и х3

= ес

— переменные

состояния системы.

в)

Является ли

система

полностью

наблюдаемой?

полностью

управляемой?

2-6.

Рассмотреть

теплообменник,

изображенный

на рис. 2-13,

в котором входящий

газ имеет

температуру

Ѳі, а выходящий — тем­

пературу Ѳг. Для простоты

предположить,

что газ в каме­

i,(t) "

ре равномерно

перемешивается,

так

что можно

считать

темпе­

e(t)

ec(t)

2<t)

ратуру

во

всем

объеме

тепло­

обменника

равной 02.

Тепловую

мощность

нагре­

Рис. 2-12. К задаче 2-5.

вателя

q(t)

можно

изменять

с

помощью

напряжения

пита­

ния

u(t).

Предположить, что

нагреватель не

сразу

откли­

кается

на изменение

u(t) и его отклик

описывается

уравнением пер­

вого порядка:

<? =

— «<? +

Р" (О

б)

Определить переходную матрицу состояния системы и исполь­

зовать

ее для того,

чтобы

представить состояние

системы

в виде

(2-19).

в)

Положить <о=0, <7(0)=0,

Ѳ2 (0)=0, Ѳ і(г)=0

и считать, что

ошибки

измерения

отсутствуют.

Представить соотношение

между

входом и выходом системы в виде

Ѳ2 (f) =

(t,

x) и (х) dt.

ных значениях

t и ta необходимо иметь

переходную матрицу состоя­

ния Ф(/, т) в виде функции от ее второго аргумента.

а) Показать, что матрица Ф(г, т) должна удовлетворять урав­

нению

дФЦ,

-с)

где Ф(Л

и * о < т < / .

б) Пусть

Ѳ(^, т) обозначает переходную матрицу состояния си­

стемы у = —F'(t)y, t^t0,

где у—ft-вектор.

Как выглядит соотношение

посредством замены переменных

вида y=Ax(t), где матрица А раз­

мера пХп несингулярна. Иными

словами, показать, что наблюдае­

2-9. Доказать следствие

2-2, повторяя доказательство теоремы

2-2 для стационарной линейной системы.

2-10. Является ли система из примера 2-4 полностью наблюдае­

мой?

2-11. Вывести уравнение

(2-69), используя уравнение (2-67).

2-13.

Полагая в. примере 2-8 йх

(t) = йг (t) = 0, й2 (0

=

і?ѳ (0 = 0

и считая,

что номинальная орбита

спутника—-круговая

с

радиусом

0

0

0

0J

0

2ш0

0

о

0

!

о

2ш„

0

0

c^ka{l)b(t)

для

і^О,

где

c(t)—количество

вещества

С; a(t)—количество

вещества

А;

b(t)—'Количество

вещества

В\

k— положительная

постоянная

ре­

акции.

вещества А

ао,

Если начальное

количество

равно

а

вещества

В — bo и если

ас единиц А реагирует с ßc единицами

В при образо­

вании ( a + ß ) c = c единиц С, где 0 < а < 1 ,

0 < ß < l ,

a + ß = l, то a(t) —

= ао—ас и b{t)=bo—ßc.

В этом

случае

реакция

описывается урав­

нением

c—k(a0—ас) (fro—ßc).

Из физических соображений следует, чго уравнение имеет смысл

тогда и только

тогда,

когда

величины с, а0 —ас и Ьа—ßc

неотрица­

тельны.

а) В каком диапазоне значений с(0) уравнение системы имеет

физический смысл?

б) Для частной задачи оценки требуется определить постоянную

реакции

k, измеряя

во время

реакции c(t) при / ^ О . В

предположе­

нии,

что с(0), а0, bo, а

и ß известны точно, можно вычислить номи­

нальную

функцию

c{t)

для

номинального

значения

к.

Положить

c(t) —c(t) +Ас(г)

и

k — H+Ak

и вывести

линеаризованные

уравнения

системы, вектор

состояния которой состоит из Ас(і) и Д£. Предполо­

жить, что уравнение

измерения имеет вид z(l)

=c(t)

+v(t),

где v(t)

—

ошибка

измерения.

k

в) Решить

задачу

п. «б», полагая, что постоянная

известна

с достаточной

точностью, а о0 нет, т. е. для случая,

когда

роли па­

раметров k и а0

поменялись.

2-15. Рассмотреть вертикальный полет ракеты массой т, изобра­

женный

на рис. 2-14. Предположить, что кг

ракету

действует сила

тяжести

£ =

(г„ + Л)2 '

где ц и Го — положительные

константы, и сила тяги и (вверх). Для

Л

9

i .

т (0 + ѵг (0 !

; в (о+«в о

I