Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

для k = Ö, 1 . . . В уравнении (2-30) векторы х, w й it имеют такое же число компонент, как и в предыдущем параграфе, и представляют собой соответственно векто ры состояния, возмущения и управления системы. Одна

ко здесь они определены только в дискретные

моменты

времени.

матрицу Ф(к+1,

пХп

переход

Назовем

размера

ной

матрицей

состояния,

матрицу

Г(&+1, k)

размера

пХр

— переходной

матрицей

возмущения

матрицу

4?(k+\,

размера

пХг

— переходной

матрицей

управ

ления. Предположим, что k = 0

соответствует

фиксиро

ванному

начальному

времени

и начальное

состояние

х(0)

известно.

Последовательность {w(0),

w(\),

...}

называется воз

мущающей

последовательностью,

{«(0), ы(1),

. . . } —

управляющей

последовательностью.

Зная

эти две

после

довательности

и вектор х(0),

можно

с использованием

уравнения (2-30) вычислить последовательность

состоя

ния

{х(1),

х(2),

.. .}.

Пока будем полагать, что возмущающая и управляю

щая последовательности произвольны.

Допустим, что измерительную систему можно описать

уравнением

(2-2), ыо измерения

проводятся только в те

же дискретные моменты времени, в какие определено состояние системы (2-30). Поэтому в качестве модели


системы измерения			выберем уравнение
	z(k	+ \)=H(k+l)x(k+\)+v(k+l)						(2-31)
для & = 0,	1, ... , где z и V — m-векторы,						а Я — матрица
размера шХп.		Заметим, что аргумент (&+1)						в уравне
нии (2-31) можно заменить на k.
Последовательность {г(1),				z(2),		...}	называется		по
следовательностью			измерений	или		выходной		последова
тельностью системы, a ( f ( l ) , ѵ(2),						. . . } называется			по
следовательностью ошибок измерения.
Описание системы вида (2-30), (2-31) называется
дискретной	линейной		системой.		Структурная			схема	мо
дели приведена на рис. 2-7, где					(здесь и далее) блок				БЗ

соответствует блоку хранения или задержки значения х из предыдущего вычислительного цикла для использова ния его в последующем цикле. Иными словами, после

того как состояние	x(k)	вычислено, его следует хранить
до момента k + l,	чтобы	использовать при определении
x(k+l).

Наиболее часто такое описание системы встречается при дискретизации непрерывной линейной системы (2-1) и (2-2). Иными словами, модель системы в этом пара графе представляет собой дискретизацию модели преды дущего параграфа. Такая формулировка является есте-

ш(х)

Рис. 2-7. Структурная схема дискретной линейной системы.

ственной, если, например, из соображений экономии измерения проводятся только в дискретные моменты времени. Теперь покажем, что уравнения (2-30) и (2-31) являются дискретными аналогами уравнений (2-1) л (2-2).

Дискретизованная модель

Предположим, что векторы возмущения и управ ления системы (2-1) являются кусочно-постоянными функциями Бремени, причем оба они изменяют свои зна

чения в одни и те же момен
ты времени.			Далее	предпо
ложим,	что	измерения			про	г - J
водятся	в	те	же	моменты		!
времени.						!	L
времени.						-Ц	1_
Компоненты векторов w (і)						-Ц	1_
Компоненты векторов w (і)
и u(t)	изображены			на	рис.	j
2-8, где специально выде						j
2-8, где специально выде
ляется то обстоятельство,					что
интервалы		между		дискрет
ными моментами времени не
обязательно		постоянны.

Рис. 2-8. Компоненты кусочно-по стоянных функций w(t) и u(t) для дискретизованной модели.

Рассмотрим интервал времени tk^J^.th+i					для неко
торого & = 0,	1, .. . Предположим, что x(tk)				известно,
W(t) =W(k) = C O n s t		И U(t)	=u(k)	= C O n s t Д Л Я	ths^t^tk+l.
Тогда из уравнения		(2-19) следует, что
	г- t h + i			u(k).	(2-32)
				u(k).	(2-32)
Обозначая
		x(tk+1)	=	x(ff+4);
		x(tn) = x{k);
f	Ф(^+,. x)G(x)rft = r ( f e + l , fe);				(2-33)
f	Ф(^+,. x)G(x)rft = r ( f e + l , fe);

уравнение	(2-32)	можно переписать в виде
x(k+l)=0(k+l,		k)x(k)+T(k+l,		k)w(k)	+
		+ ¥ 0 4 - 1 ,	k)u{k)
для k = 0,	1 .. .	Полученное	соотношение		совпадает

суравнением (2-30).

Вкаждый момент t — th+i, k = 0, 1 .. . уравнение (2-2) принимает вид:

	z(tk+i)	= Н (th+i)x(tk+i)		+v(tk+i),
или, что то же самое,
	z{k+l)=H(k+l)x(k+l)+ü(k+l).
	Это уравнение	аналогично		уравнению (2-31).
	Заметим, что в последних			двух равенствах из (2-33)
для	вычисления	Г(&+1,	k) и 4 r (fe+l, k) необходимо
иметь переходную		матрицу	состояния в виде, в котором
ее	первый аргумент является			постоянным, а второй —
переменным.
52

Пример 2-4. Применим изложенную методику для получения ди скретной модели стационарной системы второго порядка из приме ра 2-1. Для простоты предположим, что дискретные моменты отсчета отстоят друг от друга на постоянные промежутки времени Т. Тогда k+l соответствует моменту времени (£+1)7", a k— моменту kT.

Так как

О 1

то Fn=0 для всех п^2. Следовательно, переходная матрица со стояния

ф(*,

т) = ф(г — т) = e f ( ' - T ) =

/ + f

(г1

— *)

1 t —

Поэтому

ф - (Л+

Тогда, согласно уравнению (2-33),

1)7"—т

(k + l)T

{k+l)T-z

1/2 7"г

Аналогично

(k+\)T

1 (k+l)

T — z

1/2 ЬТг

bT (k +

Следовательно,

динамика

системы описывается

уравнением

x(k+

1/2 Т2

1/267™2

1):

» ( * )

67-

a(Ä).

011

Соответствующее

уравнение

модели* измерения

Z(k +

x(k+l)+v(k+l).

1):

Непрерывная

модель

как предельный

случай

дискретной

модели

При получении некоторых результатов теории оцен ки и управления в непрерывных линейных системах ока зывается удобным дискретизовать уравнения системы,

получить алгоритмы оценки и управления для дискрет ных систем и затем рассматривать предельное поведе ние этих алгоритмов при стремлении к нулю интервала между дискретными моментами времени.

Методика получения дискретной модели из непрерыв ной приведена выше. Теперь составим методику обрат ного перехода. Для этого обозначим дискретные момен

ты времени k и k+l

через t

и t+At

соответственно,

где

Д / > 0 .

Затем,

разлагая

Ф(г + Д£,

ряд

Тейлора

по

степе

ням At, получаем:

ФЦ+М,

t) =<b(t,

t) + Ô(t,

t)At

0(At2),

где О (At2)

—матрица

размера

пХп,

все

элементы кото

рой имеют порядок

(At2)

и выше.

Поскольку Ф(і,

і ) = /

и <b(t, t)=F(t)<D(t,

t),

имеем:

<î>(t+At, t)=I

+ F(t)At

+ 0(M2).

(2-34)

Из четвертого равенства в (2-33) ясно, что

t+At

Г(* + Д*. t)=

Ф(* +

Д/, z)G(T)dz

G(t)At

0(Af).

(2-35)

Аналогично

t+м

W(t-\-At,

f)=

J Ф(* +

ДЛ х)С(т)Л =

С(0Д< +

О(ДО-

(2-36)

Заменяя в уравнении (2-30) k

и k + \ на

t и t+At

со

ответственно, имеем:

*(/+Д/)=Ф(*+1Д*,

t)x(t)

+ T(t+At,

t)w(t)+W(t

+ At,

t)u(t).

Подставляя

в это

соотношение

уравнения

(2-34) —

(2-36) и группируя члены, получаем:

x(t+At)

={I+T(t)At

+ 0(At2)]x(t)

+{G

(t) At + O (At2)]w

(t) +[C(t)At

+0(At2)]u(t)=x(t)+F(t)x(t)At+

+ G(t)w(t)At

+ C(t)u(t)At

+ 0

(At2).

Перенося x(t) в левую часть уравнения, Деля обе ча

сти на M и переходя к пределу		при At—>-0, для t^to по
лучаем уравнение
x =	F(t)x+G(t)w{t)+C(t)u(t),
совпадающее с уравнением (2-1). Уравнение
z(t + At) = H(t + At)x(t-{-At)			+v{t+At)
при At—>-0 принимает	вид:
z(t)	=H(t)x(t)	+v(t).
2-4. Н А Б Л Ю Д А Е М О С Т Ь И УПРАВЛЯЕМОСТЬ
Теперь перейдем	к рассмотрению		двух фундамен

тальных понятий теории линейных систем, тесно связан ных с основными идеями оценки и управления. Эти по

нятия,	называемые	наблюдаемостью		и	управляемостью,
введены Калманом ,[Л. 2-7, 2-8], работы					которого яви
лись	основой для	других	исследований		(см. также
[Л. 2-9—2-15]).
Формулировка и изучение			понятий	наблюдаемости и

управляемости основаны, соответственно, на двух сле дующих вопросах, возникающих из очевидных физиче ских соображений:

1. При каких условиях можно восстановить поведе ние вектора состояния х динамической системы на ко нечном интервале времени, зная поведение вектора изме рения z на том же интервале?

2. При каких условиях можно перевести динамиче скую систему из заданного начального в требуемое ко нечное состояние за ограниченное время с использова нием кусочно-непрерывного управления и?

Перед тем как перейти к подробному обсуждению поставленных вопросов для двух классов линейных си стем, введенных в § 2-2 и 2-3, с помощью нескольких простых схем качественно проиллюстрируем понятия на блюдаемости и управляемости на системе общего вида.

Рассмотрим динамическую систему S с вектором со стояния X, вектором управления и и вектором измере ния z. Предположим, что возмущения и ошибки измере ния отсутствуют и система может быть как дискретной, так и непрерывной.

Вначале допустим, что структурная схема системы имеет вид рис. 2-9, где у — вектор, компонентами кото-

рого являются первые k компонент вектора х (хі,.. ,,Хь) или их часть. Из структуры системы ясно, что значения Xh+t, ..., xk нельзя определить, исследуя z, поскольку эти переменные не влияют на хи .. ., Хь. и не включены в z. Следовательно, система является ненаблюдаемой. В то

Рис. 2-9. Схема ненаблюдаемой	Рис. 2-10. Схема наблюдаемой
управляемой системы.	неуправляемой системы.
же время, если и воздействует	на	все элементы	х, систе
ма является управляемой.
Аналогичным образом система		на рис. 2-10	будет на

блюдаемой, но неуправляемой, поскольку и воздействует только на переменные хи ..., xk.

Ясно, что системы можно разделить на четыре сле дующие категории: наблюдаемые управляемые, наблю даемые неуправляемые, ненаблюдаемые управляемые и ненаблюдаемые неуправляемые.

2-5. Н А Б Л Ю Д А Е М О С Т Ь В НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Исследуем более подробно понятие наблюдаемости для двух классов линейных систем, введенных выше (см. [Л. 2-7—2-15]). Рассмотрим этот вопрос в предположении, что возмущения системы и ошибки измерения равны нулю, т. е. при идеальных условиях (в этом же предпо ложении в § 2-6 будет рассматриваться понятие управ ляемости) .

Непрерывные линейные системы

Вначале рассмотрим непрерывную линейную си

стему
£ = F(t)x+C(t)u(t);	(2-37)
z(t)=H(t)x(t)	(2-38)

для i^U, где все члены определены в § 2-2. Предполо жим, что «(/) является известной функцией времени для

всех t^t 0 ,	но x(to) неизвестно.
Пусть	требуется определить x(t), исследуя z(t) на

некотором конечном интервале времени \t0, t^\. Очевидно,

если

матрица

H (t)

имеет

размер

пХп

несингулярна

для всех t^to,

то

x(t)=H-4t)z(t),

и вопрос о наблюдаемости решается

тривиально.

Этот вопрос

также

легко

решается,

если матрица

H(t)

имеет

размер

пХп

несингулярна

только

для

одного значения

t^40,

скажем, для іл.

Чтобы убедиться

в этом, вначале

заметим, что

x(ta)

H-^ta)z(ta).

Согласно уравнению

(2-19)

X (0 =

Ф [t,

ta) X (t0)

+ J Ф (t,

x) С (т) и (х) dz.

(2-39)

Для

t =

'о

('.)«('„)

<">('„. Qx{t0)+

\Ф{іа,

x)C(x)a(x)rfx,

откуда

следует,

что

= Ф & . ОН-Чіа)гѴа)-					\| Ф ( / 0 ,		-г)С(т)и (x)Л. (2-40)
					и
Подстановка		значения		x(t0)		из		уравнения (2-40)
в уравнение (2-39) позволяет					определить x(t)					для	всех
t^t 0 ,	поскольку	и (г) известно			при		x^U.		сингулярна
Однако если		матрица H(t)			размера			пХп
для	всех t^tQ	ИЛИ если		H (4)		имеет		размер		тХп	при
тф'п,	то не совсем		ясно, как можно				определить х(4) из
z(x),	U^Lx^ti	при	некотором		конечном				Это и		есть
вопрос, который		требуется		здесь		исследовать.
											$7

Заметим,

что в силу

уравнения

(2-39)

состояние

x(t)

известно для всех

t^t 0 ,

если

начальное

условие

x(t0)

можно определить из измерений. Имея

это в виду,

вве

дем

определение

наблюдаемости

следующим

образом.

Непрерывная

линейная

система

(2-37), (2-38)

назы

вается

наблюдаемой,

если x(to)

можно

определить,

зная

z(t),

h^.t^ti,

для

некоторого

конечного

ti. Если

это

справедливо

для

любого

to, то система

называется

пол

ностью

наблюдаемой.

Необходимое

и достаточное

условие

полной наблю

даемости системы дает следующая теорема.

Теорема 2-1. Непрерывная

линейная

система

(2-37),

(2-38) является полностью наблюдаемой

тогда

только

тогда,

когда

симметрическая

матрица

размера

пХп

Мс

О =

(V (t. Q H' (t) H (t) Ф {t, g dt

(2-41)

положительно

определена

для

некоторого

конечного

ti>t0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как предполагается, что u(t) известно для всех t^t 0 , легко определить воздей ствие управления u{t) на состояние x(t):

| Ф ( / , т)С(т)и(і)Л .

Следовательно, достаточно рассмотреть систему вида

x=F{t)x;	(2-42)
z(t)=H(t)x(t),	(2-43)

где t^t0.

Вначале докажем	достаточность. Подставляя реше
ние уравнения (2-42)
х(і)=Ф(і,		t0)x(t0)
в уравнение (2-43), получаем:
z(t)=H(t)0(t,to)x(to).			(2-44)

Умножая это уравнение слева			на Ф'(^, U)H'(t)		и ин
тегрируя в пределах от t0		до tu получаем:
(ф'{і, і0)Н'(і)Н(()Ф(і,			t0)dt
io
=	fa(t,	t0)H'{t)z(t)dt.			(2-45)
Если обозначить
Me(t0,		(0)Н'{І)Н(І)Ф{І,		ta)dt,
то из (2-45) следует, что
x ( g = A T '	(f0, g	JФ' р,	g я ' (t) z (t) dt,		(2-46)
		'о

и система, очевидно, будет полностью наблюдаемой, ес

ли матрица Mc(to,				ti) положительно			определена для не
которого	конечного				4>^о.
Чтобы		доказать			необходимость,		предположим,	что
система	полностью			наблюдаема, но матрица Mc(to, ti)				не
является	положительно определенной, т. е. для некоторо
го x(t0) фО
			x'{U)Mc{t0,			U)x{U)=ü*.
В силу		(2-45) это означает, что
		'('.)('(*.			QH'(t)z{t)dt		= 0.
Подставляя			в это выражение уравнение (2-44), полу
чаем:					U
					U
					f z' {t)z(t)dt	= 0,
					h
откуда z(t)=0			для		U^t^ti.
* Случай x'(t0)Mc(to,					ti)x(to)<0	исключается в силу определе
ния матрицы		Mc(t0, ti).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ