Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 455 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

или в векторной	форме
	0	1	0		0
х	= 0	0	1	Х	+ 0
	0	b	а		с
где					8
			X ,		8
	х	=		А	Ѳ
			хг		Ѳ

Здесь место тока якоря в списке переменных состоя ния занимает угловое ускорение Ѳ. В любом случае про цедура приведения системы к так называемой форме переменных состояния заключается вначале в приведе нии каждого уравнения системы к каноническому виду с производной высшего порядка в левой части.

В результате изменения списка переменных состоя ния первоначальная схема измерения больше не имеет смысла. В этом случае можно, например, предположить,

что измеряется только угловое положение		выходного
вала. Тогда уравнение измерения принимает вид:
2(^=111 0	Q\\x(t)+v(t).
Иными словами, z{t)=Q(t)	плюс ошибка	измерения

Понятие состояния

Здесь имеет смысл кратко остановиться на понятии состояния, использованном ранее.

Рассмотрим динамическую систему, поведение кото рой описывается системой обыкновенных дифференци альных уравнений

	* =	I, t),		(2-8)
где X—^-вектор;	£—^-вектор; f—^-мерная			вектор-функ
ция указанных	переменных.	Очевидно,		уравнение (2-1)
является частным случаем уравнения			(2-8).
Говорят, что	X является	вектором	состояния рассма

триваемой динамической системы тогда и только тогда,

когда x(ti) можно однозначно определить, зная	x(t0),
* і > * о и £ ( / ) , f o < / < f t .

Это означает, что k должно быть по меньшей мере равно порядку рассматриваемой динамической системы. Поэтому если в примере 2-2 выбрать

то этот вектор не будет вектором состояния, так как рас сматриваемая система имеет третий порядок. Иными словами, знания Ѳ(0) и é(0) вместе с ея(і), O^t^U не достаточно для того, чтобы определить Ѳ(^) и Ѳ(^). Это ясно из уравнения (2-7).

С другой стороны, ничто не препятствует выбрать

вкачестве вектора состояния вектор

IIѳ и

Однако дополнительное уравнение является излиш ним. Оно только усложняет описание задачи. Поэтому в общем случае выбирают вектор состояния, имеющий число компонент, равное порядку системы дифференци альных уравнений, которая описывает динамику рассма триваемого явления.

Не все переменные состояния при таком описании представляют интерес. В примере 2-2 единственной пе ременной, представляющей интерес с точки зрения си стемы управления, является Q{t). Однако поскольку описание должно отражать динамику системы, для ре шения задачи требуются также Ѳ(^) и B(t) [или in(t)].

Переходная матрица состояния

Для многих аналитических выводов и некоторых вычислительных задач желательно иметь явное решение уравнения (2-1). Такое решение легко получить с помо

щью так называемой переходной		матрицы	состояния.
Предположим, что	x(tQ),	и	"(О известны,

причем последние две функции непрерывны и ограниче

ны для	всех	t^t0.	уравнений	(2-1) линейная и неодно
Так	как	система	уравнений	(2-1) линейная и неодно
родная, то		ее общее	решение	представляет собой сумму

общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднародной системы. Первое ре

шение иногда называют также свободным,								а второе		вы
нужденным.
Вначале получим общее решение соответствующей
однородной системы			уравнений
			x =	F(t)x					(2-9)
для t^zto и произвольного				x(to).		в виде x(t)			=X(t)x(t0),
Подставляя в (2-9) решение
где X(t)—неизвестная			матрица			размера		пХп,	убедим
ся, что равенство
		lX-F(t)X\x(to)=0
должно	выполняться		для	всех		t^?t0.	Так как x(t0)			—
произвольный		вектор, то это равенство					выполняется			тог
да и только тогда, когда X(t)					yдoвлeтвqpяeт матрично
му дифференциальному уравнению
			X = F(t)X						(2-10)
для всех t^t0.		При этом для t=io должно						выполняться
условие	x(ta) =Х(t0)x(t0)		или,		что	то же	самое,
		[I-X(t0)]x(t0)=0,
откуда	следует, что равенство
			X(t0)=I						(2-11)

является начальным условием уравнения (2-10).

Тогда общее решение уравнения (2-9) можно запи

сать в виде
x(t)=X(t)x(to),-	(2-12)

где X(t) удовлетворяет уравнениям (2-10) и (2-11). - Теперь получим частное решение уравнения (2-1),

используя метод вариации постоянных. Предположим, что искомое (решение имеет вид:

x(t)=X(t)y(t),

(2-13)

где X(t) определяется так же, как и раньше, a y{t) — неизвестный n-вектор. Подставляя этот результат в урав нение (2-1), получаем:

X\t)y{t)+X{t)y{t)=F{t)X(t)y(t)+		, ,
+ G(t)w{t)+C(t)u{t).	.	уі

Поскольку X(t)=F(t)X(t),		то это выражение			сводит
ся к выражению
X(t)y(t)=G(t)w(t)+C(t)u(t),
или
у (t)	=X-i(t)[G (t) w (t)+C(t)u(t)l				(2-14)
в предположении, что X(t)—несингулярная					матрица
для t^'to (последнее утверждение			доказывается		ниже).
Интегрируя	уравнение	(2-14),	получаем	равенство
	t
у (0 =	Г Х -1 (х) [G (х) w (х) +		С (х) и (х)]	dz,

'о

которое означает, что частное решение уравнения (2-1) имеет вид:

	t
х(і) = Х (О J X-l (x)lG(x)ay(x) + C(x)« (x)]dx.									(2-15)
	'о
Объединяя уравнения (2-12) и (2-15), получим общее
решение
X (t) = X (t) X (f0) + X (О Ç Х - 1					(х) [G (т) И» (х) + С (х) « (х)] dz.
									(2-16)
Теперь	покажем, что матрица					X(t) несингулярна для
всех t^t0.	Согласно уравнению (2-10)
		*}	=	tft*(1)xhi					(2-17)
				4=1
для і, у = 1 , . . . , п, где X(t)=\\Xij(t)\\.							Тогда
	« *							Х>\\Х>і2 •
	Х и Х 1 2 . .							Х>\\Х>і2 •	•%1п
	Х и Х 1 2 . .		+	t	»				•%1п
				t	»	-^гп
		• X 2 n		Х2 і Х22 • •		-^гп
								» «		€
									• •	хпп
Подставляя		уравнение (2-17)				в первый		определитель
в правой	части	полученного			выражения, получаем:
						k=l
		Х21	X22		•	•	xln
					•	•	xnn

*	43

Значение этого определителя не изменится, если из

первой

строки

вычесть

вторую

строку,

умноженную

на

f 12,

третью

строку,

умноженную

на

fi3,

..., п-ю строку,

умноженную на fin.

Это

позволяет

переписать

определи

тель в в и д е

%21

#22

•

%2п

^ n l

X-nt

•

%пп

Его

значение, очевидно,

равно

fu(t)\X(t)].

Повторяя эту процедуру для остальных определите

лей, получаем:

I X (О I -

fп (О I X (01

f„ (0 ! m

I + . . . !

... +

fm(f)\X(f)\

SpF(t)\X(f)\.

Так

как

\X(to)

| = J / |

= 1, то

решение

этого

скалярно

го

дифференциального уравнения имеет вид:

X(0

= e x p | _ Ç S p / ? ( T ) r f T | .

Если

матрица

F (г)

непрерывна

для

всех

x^t0,

то

ясно, что \Х(і)\Ф0

для всех t~^U и поэтому матрица

X(t)

несингулярна.

Матрица

X(t)

называется

фундаментальной

матри

цей системы (2-1). Заметим, что она зависит только от

матрицы системы		F(t).
Возвращаясь к уравнению (2-16), обозначим:
		0(t,x)=X(t)X-Hr)			(2-18)
и назовем матрицу Ф(/, т) размера пХп				переходной		ма
трицей	состояния	системы (2-1). Заметим,			что Ф(^,	U) —
~X(t)X-4t0)=X(t),		так	как Х~Ці0) =/-»	=	/.
Перепишем уравнение			(2-16) в виде
		t
X (0 =	Ф (Л *„) X (Q +\Ф(І,		X) [G (т) W (х)'+		С (т) и	dz,

(2-19)

где t^to. Впоследствии это выражение используется во

многих рассуждениях,

Дифференцируя уравнение (2-18) по / и используя уравнение (2-10), получаем:

д Ф

£ тГ ='Х

(0 X

1 (х) = 7 X 0

1 (т)"=

Ф (Л т).

Это выражение можно переписать в виде

ф ( / ,

Т ) = ^ ( 0 Ф ( Л

т).

(2-20)

Из уравнения

(2-18) следует, что

(2-21)

для

всех t^t0.

Ясно,

что

матрица

0(t,

т)

определяется

уравнениями

(2-20) и (2-21).

Для того чтобы получить Ф(£, т), достаточно решить

дифференциальное уравнение Ф(/, t0)=F(t)<b(t,

t0) при

начальном

условии Ф(/о, to)=I

и заменить

решении

на т.

Пример

2-3. Для матрицы системы

(4+

О'

имеем:

ГО

fil

?и

Til

f12

¥21

TS2

?ïl

<fîî

П РИ

fii

Со. 'oWlPssCo. I|) =

l »

<Ріг'Со.

M =

¥21 Co.

'о)

—0.

Эта

система уравненийГ может

быть представлена

виде

Уп С

*о) =

(t+

1)г

¥ г і

< 0 ^:

?lt С

'о) =

1)2

?22 С.

'о);

? 2 і С ^ о )

<р« С

Из двух последних уравнений и

соответствующих

начальных

условий сразу

получим:

Отсюда следует, что <рн(/, М=0, так что фи(<, /о) = 1. Второе

уравнение системы теперь примет вид

а его решение
где а — постоянная	интегрирования,			которую	следует выбрать так,
чтобы выполнялось	начальное		условие фі2(*о,		<о)=0 . Ясно, что а =
= 1/(^>+1). Следовательно,
	ЧігѴ, to)			t — ta
	ЧігѴ, to)		С +	1 ) ( < + 0
			С +	1 ) ( < + 0
или				t—z
				t—z
Тогда				г-
				г-
Ф (t, т) =		1	+
		О		1

Переходная матрица состояния обладает двумя сле дующими важными свойствами:


Ф('г, ti) = Ф ( / 2 ,	т)Ф(т, h) для всех h, t2, x^tQ.		(2-22)
Это свойство сразу следует из уравнения			(2-18)
Ф(*2 , т)Ф(т,	=lX(t2)X-i(x)UX(x)X-i(ti)]=:
=Х(Ь)Х-*(Ь)=Ф(Ь,		U).

Заметим, что порядок аргументов ti, t2 и t не играет роли, если все они не меньше t0.

Ф(*2, *і)=Ф _ 1 (*і . h) для всех U, h^U- (2-23) Действительно

Ф-Ч'і> fe) ={Х(^1 )Х-Ч^2)]-1 =

Системы с постоянными коэффициентами

Если	матрицы	F(t), G(t),	C(t) и H(t)	в уравне
ниях (2-1) и (2-2) постоянны, как в примерах				2-1 и 2-2,
то систему	называют	системой	с постоянными	коэффи-

Цибнтами или	стационарной	системой. Уравнения такой
системы имеют вид
	x=tFx+Gw{i)+Cu{t);		(2-24)
	z(t)=Hx(t)+v(t),		(2-25)
для удобства	начальное время Л> обычно		полагают р а в
ным нулю.
Для системы вида (2-24)		переходная	матрица состоя

ния принимает сравнительно простой вид. Чтобы убе

диться в этом,	введем		понятие			матричной				экспоненты:
e « = = / + « + . . . + T + - = S / ?								f	c	- ? -	<2 -2 6 >
Из определения	следует,			что
/СО		N / 0 O				ч	со		оо
^ft=0		/	\t=~Q			I	Ö	f	c ü
Полагая n =	k-\~l	или		l =	n — k,		имеем:
со	со				со п
eF'eFx	П п	І Н П ' к			ѴЧіЛпч,				№ - *
2 j	Ц	k\ (n—k)\			— Ц	Zà		fâ(n		—	k)\~
-•On=k					n=0k=0
	со		я
~" Z J		"!	Z J ' (Л —)»						—
	п=0	ft=0
	л = 0
Заменяя т на —t, получаем:
Следовательно,	eFt	(e~Ft)^eFU				=	L
Следовательно,

(eFt)-^e-Ft,

причем последняя матрица всегда существует. Из уравнения (2-26) следует:

fe=0

/ = 0

Теперь очевидно, что матрица

...

X(t)=eFt

является решением дифференциального уравнения

X = FX

при начальном условии Х(0) = / . Так как

то из уравнения (2-18) следует, что матрица

' " ф ( * . z) = e F l t - * ) '

является переходной матрицей состояния системы (2-24). Поэтому решение уравнения (2-24) имеет вид:

			t
X ff) = eFtx		(0) - f j " eF ( ' _ x )			[Gw (x) + Си (x)] dz.
Соотношение		вход	— выход		t
Полагая,	что объединенная					система		(2-1), (2-2)
имеет входы w(t)		и u{t) и выход z(t),					запишем:
2 ( 0 = Я ( о { ф ( Л Q x { t 0 ) + U ( t ,						т ) [ 0 ( т ) і ю ( г ) +
+ С (г) и	да j + ö{t) = Я,(0 Ф (*,						g JC (tB) +
+ j Я (t) Ф {t, x) G (т)'_ш (x) dx +				f Я(0Ф		(f,	x) С (X)U(T) dt-}-D(/).
Вводя матрицы
	A(t,r)=H(t)0(t,x)G(x);							(2-27)
получаем:	Bit,	т ) = Я ( / ) Ф ( / ,			т ) С ( т ) ,			(2-28)

г{і) = Щ()Ф(і,			Qx(t0)	+ ^A{t,			х ) ш ( х ) ^ +
	+	f Я (<,	т) « (x)rfx- j - о (t).					(2-29)

	Ё уравнении (2-29) матрицы		A(t, х) и B(t, т) разме
ра	соответственно	тХр и тХг	называются весовыми
или	импульсными	переходными	матрицами системы. По

следнее название отражает то обстоятельство, что каж

дый	элемент		ац(і,		т)	или
bij(t,	т)	является			откликом
і-й компоненты вектора						z(t)	u(t):	B(t,f)	•z(t)
на единичный			импульс,			по
данный		на вход		по /-й		ком	Рис. 2-6. Структурная схема
поненте вектора w или и во
							для соотношения вход—выход
время т.							системы.
Импульсные				переходные
матрицы		удобно			использо
вать,	если рассматриваются						только	соотношения	между
входом и выходом					системы и не рассматриваются				ее пе

ременные состояния. В качестве простого примера пред положим, что x(to), w(t) и v(t) равны нулю, т. е. в на чальный момент система находится в состоянии покоя, возмущения системы и ошибки измерения равны нулю. Тогда из уравнения (2-29)

z ( / ) = jß (f, z)u(%)d*.

Структурная схема системы представлена на рис. 2-6. Если система стационарная, уравнения (2-27) и

(2-28) можно переписать в виде

A(t, x)=A(t—x)=H<$(t—x)G

B(t, x)=B(t—т)=ЯФ(/—x)C,

где

2-3. ДИСКРЕТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Уравнения системы

Теперь обратимся к рассмотрению физических си стем, поведение которых можно описать системой линей ных разностных уравнений первого порядка:

* ( £ + 1 ) = Ф ( £ + 1, k)x(k)+T(k+l,	k)w(k) +>
+ 4?(k+l, k)u(k)	(2-30)
4—85	49

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 455 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ