книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

В силу свойств 3 и 4 определителей ясно, что ранг матрицы равен числу линейно независимых строк или столбцов в зависимости от того, какое из этих чисел меньше.

Эти два понятия матричного анализа играют очень важную роль в изучении многих физических задач. В анализе линейных систем, например, собственные зна­ чения определяют собственные частоты рассматриваемой динамической системы, а собственные векторы позволя­ ют привести уравнения системы к так называемой ка­

нимы, конечно, только к динамическим системам, описы­ ваемым конечным числом обыкновенных линейных диф­ ференциальных уравнений с постоянными коэффициен­ тами.

Поскольку в дальнейшем главным образом рассмат­ риваются системы с переменными коэффициентами, соб­ ственные значения и собственные векторы играют в на­ стоящей книге второстепенную роль. Тем не менее ради полноты изложения рассмотрим вкратце основные идеи их теории.

Пусть требуется определить значения скаляра X, для которых однородная система уравнений

Необходимое и достаточное условие того, что задача отыскания собственных значений имеет нетривиальное решение, выражается уравнением

30

Можно показать, что

[A\=f]b{A)

рицы А, является суммой элементов, расположенных вдоль главной диагонали матрицы А (знаком Л обозна­ чается равенство по определению). Легко доказываются два свойства следа матрицы:

зать, что ее собственные значения действительны, а соб­ ственные векторы являются (или могут быть выбраны) ортогональными.

где собственные векторы матрицы А в матрице M упо­ рядочены так же, как соответствующие им собственные значения %и . . . , %п. Если матрица А, кроме того, симме­ трическая, то M является ортогональной матрицей и

легко показать, что

пп

х'Ах — S S OijXiXj.

1=1 /=1

Это произведение, являющееся скаляром, называется

квадратичной формой.

31

В квадратичной форме без ограничения общности можно считать матрицу А симметрической. В этом лег­ ко убедиться, замечая, что для іф\ члены в разложении формы имеют вид Если матрица А несим­ метрическая, ее можно заменить матрицей Ä, диаго­ нальные элементы которой совпадают с диагональными элементами А, а остальные имеют вид

При этом значение квадратичной формы не изменит­ ся, т. е. х' Ах = х'Ах.

Например, если

А : - I о И

— 2 3

ТО

хАх, —• х^ 2x1^Cg " I - '^-^'2

Сдругой стороны, для

условием положительной определенности матрицы А является условие, чтобы все главные миноры матрицы

были положительны. Отсюда видно, что если матрица А положительно определена, то И | > 0 и матрица А не­ сингулярна.

32

метрической положительно определенной матрицей. Тог­ да существует ортогональная матрица М, для которой матрица

матрица В такая, что В2=А, т. е., В = МВ*М'. В даль­

нейшем автор сам пользуется именно таким определе­ нием (Прим. ред.).

Наконец, так как матрица В несингулярна,.

Л- і = 5 - і ( 5 ' ) - * ,

аэто означает, что если матрица А положительно опре­ делена, то матрица, обратная ей, также положительно

определена. • Заметим, что когда в дальнейшем будут упоминаться

положительно, неотрицательно или отрицательно опре­

3 - 85

Ѵх(х'Ах)=2х'А.

Этими формулами завершается обзор матричного анализа. Теперь можно перейти к построению моделей систем, рассматриваемых на протяжении всей книги. Дополнительные понятия из теории матриц и из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, которые могут потребоваться, будут вводиться по мере надобно­ сти.

2-2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Уравнения системы

Вначале рассмотрим физические системы, динами­ ка которых может описываться системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений

14

Предполагается, что эти три матрицы, обычно называе­

Пока w(t) и u(t) считаются произвольными функ­ циями, интегрируемыми по Риману для всех i^U.

Предположим, что выходные сигналы датчиков, пред­ назначенных для наблюдения за поведением системы (2-1), можно описать с помощью соотношения

рывностью здесь понимается непрерывность времени t. Структурная схема такой системы показана на рис. 2-3, где используются двойные линии, чтобы подчеркнуть векторный характер сигналов.

При исследовании таких систем будет предполагать­ ся, что известны только векторы измерения z(t) и управ­ ления u(t). При обработке первого вектора требуется определить, как действует система. Изменения второго вектора имеют своей целью заставить систему действо­ вать некоторым желаемым образом. Поэтому w{t) и

Полученное дифференциальное уравнение имеет второй порядок. Поэтому кроме знания функций u(t) и w(t) для нахождения его ре­ шения при t^tt, требуется задать два начальных условия: Ѳ(/о) — начальную ошибку по углу рыскания и 0 (fo) —начальную ошибку по скорости изменения угла рыскания.

где

— вектор состояния, состоящий из двух физических величин: ошибки по углу рыскания и ошибки по скорости изменения угла рыскания.

Сравнивая полученный результат с уравнением (2-1), можно ви­ деть, что в рассматриваемом случае

нения можно измерять на борту самолета с помощью инерциальной системы, уравнение измерения можно записать в виде

2«) =

где

I) 2і (О z ( 0 = I (О

• вектор измерения;

— вектор ошибки измерения, т. е. »Vi (t) — ошибка измерения угла рыскания, a ѵг(і)—ошибка измерения скорости изменения угла рыскания. Сравнивая этот результат с уравнением (2-2), получим:

О

о

Пример 2-2. Рассмотрим линеаризованную модель двигателя по­ стоянного тока с постоянным током возбуждения и нагрузкой в виде сил инерции и вязкого трения. Задача заключается в регулировании углового положения Ѳ и угловой скорости 0 выходного вала с по-

37

Мощью изменения напряжения якоря ея . Схема модели показана на

ря; ія —• ток якоря; е я — напряжение якоря; е п — противо-э. д. с. якоря; і„ = const — ток возбуждения.

Рис. 2-5. Схема электродвигателя постоянного тока с управлением по цепи якоря.

Предположим, что выходной момент, создаваемый двигателем, пропорционален току якоря с коэффициентом пропорциональности Км,

Для цепи якоря из закона Кирхгофа следует:

Так как первое уравнение второго порядка, а второе уравнение первого порядка, то в качестве переменных состояния выберем вели­ чины Ѳ, Ѳ и ія.

Действуя дальше так же, как и в примере 2-1, запишем:

38

примере, второй в примере 2-1). Однако выбор перемен­ ных состояния не однозначен.

Проиллюстрируем это утверждение на примере 2-2.

39