книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

Две матрицы А и В называют равными тогда и толь­

ко тогда, когда они обе имеют

размер

тХп

и

aij = bi}

для всех і и /.

тХп,

Любая матрица

размера

все элементы

которой

равны

нулю,

называется

нулевой

матрицей

и

обозна­

чается

0.

Если все элементы квадратной матрицы, кроме рас­

положенных

на главной

диагонали,

равны нулю, т. е.

ап

0. .

.

0

0 <7 •

.

.

0

22

0

0 . .

а

то

матрица

называется

диагональной.

Если

при этом

ац

= \

для і=\,...,п,

то

матрица

называется

единичной

де /=||оі,-||, где èij — символ

Кронекера,

0

при

іф/;

1

при

/ =

/.

Строчные латинские и

греческие

буквы х, у ,

z, Ç,

ç

и т. д. будут использоваться для

обозначения

матриц

размера

m X l

(матриц

с

одним

столбцом),

содер­

жащих элементы

х,, Уі и т. д. Такие матрицы называют

векторами.

Если

требуется

указать

число

элементов

в

векторе, используются термины

пг-вектор,

р-вектор

и т. д.

Для строчной матрицы,

т. е. для

матрицы

размера

\Хт, будет использоваться

термин

вектор-строка.

Под

n-мерным вектором-строкой

х подразумевается

матрица

вида

вектора

(строки или столбца)

определяют точку

х%

я-мерного

евклидова пространства

и, следовательно,

от-

терпретация приводит к названиям координат

(компо­

нент) для элементов вектора-столбца

(строки).

Заметим, что два n-мерных вектора-столбца

(строки)

X и у равны тогда и только тогда, когда

Хі = уі

для всех

/ = 1 , . . . , п.

Если некоторые или все элементы матрицы или век­

тора являются функциями времени, это можно

записать

с помощью обозначений A(t), В(х), x(t),

у(х)я

т. д., где

ного

множества дискретных моментов времени

вида

to<ti<

• • • <.<tN, где обычно подразумевается, что

момен­

используется

целочисленное

множество

индексов

вида

і = 0, 1.....ЛЛ

Если все элементы матрицы или вектора — непрерыв­

ные функции

(непрерывного)

времени,

то говорят,

что

матрица или вектор являются непрерывными.

Символы

d/dt и • (точка)

будут использоваться

для

yi = fi(Xi,...,xn;

Ui,...,ur;

t);

tjrn — fm{Xi, • . ., Xn\

Ui, . . ., UT', t)

можно записать более компактно в виде

y = f(x,

и,

t),

где у— m-вектор; х— «-вектор;

и-—г-вектор; t — скаляр

(время); f — /n-мерная

вектор-функция n + r-j-l перемен­

ных Хі, ..., хп; ui,..., « г

и t. Простота такого обозначения

очевидна.

где X, и и t определены также, как и выше, a g—

п-ме\р-

ная вектор-функция

всех

этих

переменных,

описывает

систему

ii=gi(xu

.. .,*„; щ,...,иг;

t);

Xn —

gn(xu...,Xn\Ui,...,uI;t).

Транспонирование

и

симметрические

матрицы

Операция перемены ролями строк и столбцов мат­

рицы называется

транспонированием.

Если

Л = ||а^|| —

матрица размера

mXn, а х — «-мерный

вектор-столбец,

то

.4' = И М

пХт,

— транспонированная

матрица

размера

где / =

= 1,..., « и і= 1,..., m, а

Х'=\\Хі

. . . Хп\\

Квадратная

Матрица

А,

для которой

Л' = Л, назы­

вается симметрической

и обладает

свойством ац = а^,

где i, j =1,...,п.

Диагональная

матрица,

очевидно, сим­

метрическая.

Операции

дифференцирования и

транспонирования

коммутативны, т. е.

Г dx

\ '

d

Л'.

dt

•

t

Т

j

A(t)dt\

=^A'{t)dt.

С =

АВ =

\\ aih

II l! bhi I) =

II І aihbkj

|| = || ci}

||,

г д е і = 1, ... ,т

и / = 1 , . . . , г .

Произведение,

разумеется,

определено тогда

и только

тогда, когда

в

матрице А

столько же столбцов, сколько в матрице В строк.

Часто

используют термины

умножение

слева

и умно­

жение справа.

В произведении

AB говорят,

что матрица

А умножена слева

на В или что матрица

В умножена

справа на А.

А и В имеют

Если

обе матрицы

размер

«X« , то

в общем

случае АВфВА.

Таким образом,

операция ум­

Если А — матрица

размера

пХп, I — единичная мат­

рица, а 0 — нулевая

матрица

того же размера, то ясно,

что

Л/ = / А = А и А0 = 0А = 0.

Особую важность в матричном анализе имеет произ­

ведение вида Ах, где А — матрица размера тХп, ах —

п

Zj : •

UijXj.

где /'= 1,..., т.

7=1

Соответствующее

сокращенное

обозначение имеет

вид:

z=Ax.

Это произведение

имеет две интерпретации, рассмат­

риваемые в дальнейшем. Пока достаточно

сказать, что

А является линейным преобразованием х.

Из определений

суммы

и произведения

непосредст­

венно следует, что

С'=А'±В'\

z' =

x'±y';

( а Л ) ' = аЛ' = Л'а;

iï(t)x(t)Y

=

Ç>(t)x'(t)§x'(t)$(L);

^{АВУ

= В'А'\

{Ах)'

= х'А'.

~[A{t)B(t)]

=

A(t)B(f)+À{t)B(t)-

[A (t) X (t)} = A(t)x (0 + À(f)x

(t);

jL{[A(t)B(t)Y}=jL\B>

(t)A< (0]

=

=

B' (t) À' (t) +

B' (t) A' (t) =

[A (t) В (t)]

y .

Заметим, что операции транспонирования и диффе­

ренцирования

коммутативны.

Внутреннее

произведение

двух n-векторов,

также

на­

зываемое

скалярным

произведением, определяется

вы­

ражением

Если х'у = 0, то эти

два

вектора

называют

ортого­

нальными.

Если х = у , то

п

x'x

=

Yix\ •

i=l

Ясно, что х'х^>0.

Кроме

того, если х ставится в соот­

ветствие вектор «-мерного

евклидова пространства, то

х'х

будет квадратом

длины

этого вектора. Квадратный

корень из него, {х'х)ІІг,

равен длине

вектора. Последняя

величина часто обозначается \х\ и называется

евклидо­

вой

нормой.

Внешнее

произведение

m-вектора х и п-вектора у

определяется

как

матрица

размера

тХп:

ХіУі

Х\Уг

•

•

ХхУп

ху'

—

х2у,

Х2У2

•

•

%іУп

I

%тУі

%тУ2

•

•

%тУп I

Очевидно,

матрица

хх'

симметрическая.

Определитель

и обратная

матрица

п

/=і

для любого і=\,...,п.

Здесь

Уа={—\)і+5\ии

где Hij — определитель

матрицы

размера

(п—1)Х

X (л—1), полученной при вычеркивании из матрицы А

строки

и

столбца,

в которых

расположен элемент

ац.

Скаляры

yij и u,j

называются

соответственно

алгебраи­

ческим

дополнением

и

минором

ац.

Матрица

\\уц\\

раз­

Напомним также следующие свойства \А\,

известные

из элементарной алгебры:

1. Если все элементы в какой-либо строке

(столбце)

матрицы А равны нулю, то \А \ — 0.

менты

любой другой строки

(столбца), то

значение

оп­

ределителя матрицы не изменится.

5.

Для двух матриц А

и В размера

пХп \АВ\

=

-\А\\В\.

Вновь рассмотрим

выражение для

| Л | .

Если

заме­

нить в нем элементы

ац на элементы

а^,

іфк,

то ре­

равными. Следовательно, согласно свойству

3,

п

для любых і и к,

іфк.

Теперь

можно объединить

оба

выражения

и записать

п

Отсюда

и из определения

ad] А сразу следует, что

A adj Л =

IЛI

•/.

Разделив обе

части равенства

на \А\, получим:

рицу

А справа,

то

в

результате

получится

единичная

матрица. Эту матрицу

называют

обратной

матрице

А и

обозначают Л - 1 . Тогда

Л Л _ 1 = /. Аналогично имеем,

что

А~ІА=І.

С помощью обратной матрицы можно ввести естест­

венное определение нулевой степени

матрицы: Л _ 1 Л = Л ° ,

т. е. Л° = /

при |Л

I

ФО.

Если

| Л | = 0 ,

то

определение

обратной

матрицы

те­

ряет

свой

смысл

и

говорят, что матрица А

сингулярна.

Если

Л-—несингулярная

матрица,

то можно

показать,

что обратная матрица Л - 1 является единственной.

Доказательство

того,

что

для

несингулярной

матри­

цы А

справедливо

равенство

( Л ' ) _ 1 = ( Л - 1 ) ' ,

т.

е.,

что

Теперь допустим, что Л и В — несингулярные

матри­

цы размера пХп. Предположим, что матрица AB

несин­

гулярна, и обозначим:

С=АВ.

Тогда

ясно,

что

А~1С*=В

и, следовательно,

что

Тогда

В-ІА~І

= С-І

и

справедливо

соотношение

(АВ)-і = С-\

Квадратная

матрица А,

для

которой

А~Л = А',

назы­

вается

ортогональной

матрицей.

Для

такой

матрицы,

очевидно, А'А = І.

Теперь приведем две возможные интерпретации ли­

нейного

преобразования.

При известных

я-векторе х_и

- L

X,

Рис. 2-1. Представление

одно-

то вектора в двух разных си­

стемах

координат.

Рис.

2-2.

Представле­

матрице

А

размера

тХп

ние

линейного

пре­

образования как

по­

рассмотрим

соотношение

z =

ворот

и

масштабиро­

= Ах.

Предположим,

что

т =

вание

вектора.

= п.

Тогда

одна

из

возмож­

ных интерпретаций

линейного

преобразования

заклю­

чается в том, что z

и X есть

один

и тот же вектор, но си­

стемы

координат, в которых они записаны, различны. Это

координат,

желательно иметь

возможность

переходить

от одной системы к другой. Для перехода в

одну

сто­

рону

можно

использовать формулу

z = Ax.

Чтобы

вер­

нуться, требуется применить формулу

х = А~*г,

а это

оз­

начает, что матрица А в этой интерпретации

должна

быть

несингулярной.

Во

второй интерпретации

предполагается,

что

оба

стема

координат, матрица

А не

обязательно

должна

быть

несингулярной.

В

случае,

когда тфп,

говорят, что преобразова­

ние является

проекцией. Например,

если Л = ||0

1||, а х—

двумерный вектор, то

: Л Х = | | 0

1

Тогда

A-i{t)A{t)

=1.

dA

dt

= 0,

так

что

JL

(À-1)

=

-A-1ÀA~l.

dt

Линейная

независимость

и ранг

матрицы

Набор из k я-векторов х1 , ..., xh

называется

линей­

но

зависимым,

если

существует такой

набор

k постоян­

ных си, •.., ah,

из которых

по

меньшей

мере

одна

отлич­

на от нуля, что