книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

x(k\j)

ТОЛЬКО ДЛЯ / = ife+l.

3.

С постоянным запаздыванием,

равным

единице,

т. е. уравнение

описывает

все оценки

вида x(k\k + N)

при N = \, ft = 0,

I ...

Для дальнейшей работы уравнения (6-11) и (6-12)

необходимо представить в

другом виде. Чтобы

сделать

Н'{к + \){Н{к+\)Р{к

+ \\к)Н'{к

+ \)+Р{к

+

\)]-^

= P-i(k + l\k)K(k

+ \ ) .

(6-13)

Тогда уравнение (6-11) можно представить в виде

M(k\k+l)=A(k)K{k+\),

(6-14)

где

Л(А) = Я ( А | А ) Ф ' ( А + 1 , k)P~l{k

+

\\k).

Подставляя уравнение (6-14)

в уравнение (6-12), по­

лучаем:

x (k I ft + 1) = л (ft

I ft) + A (ft) К (ft +

1) [г (ft+1)

-

— Я (ft - f j ) Ф (ft - f 1, ft) x{k

I

ft)].

(6-15)

Так как вектор

К(к+1)г(к+і\к)

> А (к)

=ф®

у>х(к\н+ц

От оптимального

фильтра.

к=0,!,..

K(k-\-l)[z{k+

l ) - H { k +

1)Ф(* +

1, k)x(k

I k)]

=

=

X(k+l

\k-\-\)

- Ф ( 6 + 1 ,

k)x{k

I

k)=

=

x{k+l

\ k+l)-x{k+l

\ k),

(6-16)

так что уравнение

(6-15) можно переписать

ъ

виде

x{k

I k-\-

l) =

x{k

I Ä)

+

+ Л ( £ ) [ * ( £ + 1

I Л + 1) — je(Jfe +

1 I *)]

(6-17)

для & = 0, 1, ..., где

A(k)=P(k\k)0/(k+\,

k)P-i(k+l\k).

(6-18)

Ясно,

что для

вычислительных целей

формулировка

в виде

(6-11), (6-12)

предпочтительнее,

чем

(6-17),

(6-18), так как в первом случае отсутствует

вычисление

матрицы

P~l(k

+ \\k).

Тем не менее в дальнейшем

пос­

ледняя формулировка

будет

использоваться

чаще, по­

скольку она более удобна для анализа.

Двухшаговое

оптимальное

сглаживание

x(k\k + 2)=E\x{k)\z{\),

. . . . z(k + l), z(k + 2\k + \)].

x(k\k+2)=E[x(k)\z(l),

....

z(k

+ l)] +

+E[x(k)\z(k

+ 2\k + l)].

Это соотношение можно представить в виде

x(k I k + 2) = x(k I k+l)

+ P „PZlJ{k

+ 2 I 6 + 1 ) ,

X г

г г

16—85

241

х~г

P~7=E

[z(k + 2 \ k+\)z'(k-r-2

I

же является

x

г

Из

уравнения

сравнительно

несложным.

(6-4) получаем:

z(k+2\k+\)=H{k

+ 2) г ( А + 2 | Л - И )

+ v(k + 2),

так что

P„ =

E[x{k)x''{k

+

2\k+\))

Я'(*

+ 2 )

+

P^=E[x{k)

X' {k +

2 I k +

1)] Я' (£+ 2).

(6-21)

Увеличивая значения индексов времени в (6-6) на

единицу,

получаем:

x{k

+ 2

I А + 1 ) « = Ф ( £ +

2 , £ +

1)*0Ч - 1

I £ + к 1 )

+

+

Г(й + 2,

l ) t » ( Ä + 1).

(6-22)

Теперь из уравнений (6-21)

и (6-22),

а также из

справедливого для всех k соотношения

E[x(k)w'(k+\)]

= 0

[см. уравнение (5-25)], следует равенство

Р~ =

E [x (k) x' (k -f- 1J k +1) ] Ф ' [k + 2, k - f 1 ) Я' (Ä - f 2)

для ß = 0,

1 . . .

(6-23)

Но согласно уравнению (5-61)

- г

x{k + \\k + \)^[I—K(k+\)H{k

+ \)]x{k+l\k)

—

—K(k

+ l)v(k +

l).

Подставляя

этот

результат

в уравнение

(6-23)

и за­

мечая, что в силу уравнения

(5-27)

E[x(k)v'(k+l)]=Q

для

всех k,

получаем:

Р~ =

Е \x{k)x'

1 I k)] \I -

К (k - f 1)

x

Х # ( А

+ 1 ) ] ' Ф ' ( А + 2 ,

k+ \)H'{k-\-2).

(6-24)

Подставляя

выражение

для

E[x(k)x'(k

+11 k)]

m

(6-9) в уравнение (6-24), имеем:

Р~=Р~&

I k)V(k+\\,k)[i-K{k

+

\)H{k

+

\)\'x

Х Ф ' ( Н 2 ,

6 +

l)H'{k-\-2).

(6-25)

Теперь в силу определения матрицы M из уравнений

(6-20) и (6-25) следует:

M(k

\ k-\-2)

=

P~PZl

=

=

P(k I & ) > ' ( £ + 1 , 6 ) [ / _ / С ( £ + 1 ) / / ( і Ц - 1 ) ] ' Ф ' ( £

+

2,

6 + 1 ) Я ' ( 6 +

2)[Я(6 +

2)/3 (6 + 2 I 6 + 1)Я'(6 +

2)

+

+ /?(6 +

2 ) ] - ' .

(6-26)

Полагая, что матрица

Р _ 1 ( £ + 1|6)

существует,

с уче­

[i—K(k+i)H(k+i)]=P{k+i\k+i)x

ХР~1(к+1\к)

и

[i—K(k+i)H(k+i)Y=p-4k+\\k)x

XP(k + \\k+\),

(6-27)

Увеличивая в уравнении

(6-13) значения

индексов

времени на единицу,

получаем:

H'(k + 2)[H{k

+ 2)P{k

+ 2\k+l)H'(k+2)

+

+ R(k + 2)]ri = P-i{fi

+ 2\k+l)K(k

+ 2)

(6-28)

16»

243

в предположении,

что

матрица P(k + 2\k+l)

несингу­

лярна.

Подставляя уравнения (6-27)

и

(6-28) в

уравнение

(6-26), получаем:

M(k\k

+ 2)=P(k\k)U>'(k+\,

k)X

XP-l{k+\\k)P{k+\\k+\W(k

+ 2,

k+l)X

XP-4k

+ 2\k+\)K(k

+

2).

M{k\k + 2) =A{k)A{k+\)K{k

+ 2).

(6-29)

x(k

I k-\-2) =

x{k I k+ \) +

M{k

I £ + 2)[z(6 +

2 ) -

- H {k +

2) Ф {k - f 2,

k - f l)x{k+

1 I k + 'l)].

(6-30)

Как

и следовало

ожидать,

оценка

x(k

| fe + 2) получает­

ся в

результате

прибавления

корректирующего члена к

одношаговой

задачи, заметим, что

К {k - f 2)[ г (6 - f 2) -

Я (6 +

2) Ф ( £ + 2, k +

1) X

Х ^

Н 1

I £ + 1 ) ]

+ 2

| Л

+ 2) — Je(fe +

2 I Ä - i - 1).

Следовательно,

уравнение

(6-30)

можно

представить

в виде

x(k I k + 2) =

x{k

I £ +

1) +

+

Л ( £

) Л ( * +

1)[JC(Ä +

2 I £ +

2) +Jc(/fe +

2 |

£ + 1 ) 1 .

(6-31)

Подставляя

x ( £ | 6 + 1 )

из уравнения (6-17) в уравне­

ние

(6-31)

и

замечая, что если в уравнении

(6-17)

индекс k заменить на & + 1 , то оно примет вид:

A{k+\)\x{k

+ 2 I k +

2 ) - х ( 6

+ 2 I Ä + l ) ]

=

= = л ( / г + 1 I £ + 2 ) - J è ( £ + L | £ + 1 ) ,

получаем:

x(k I £ + 2)=x ( f e

I k) +

A(k)

[jc(fe +

l 1

1) —

— x (£ - j - 1 I

+

|

+

_ x ( 6 , +

l I

k+l)],

jc(k I k+2)=x(k

| k)

+

+

A{k)[x{k+\

I k - f 2) - £(A + 1 I

A)] (6-32)

для /г = 0,

1 . . . Здесь

матрицу

A (k)

можно

определить

с помощью

уравнения (6-18).

Выше было показано, как можно использовать одно-

шаговое сглаживание для трех

задач

сглаживания дан­

нения двухшагового

'сглаживания.

1. Полагая

в уравнении

(6-32) k — N—2,

получаем

оценку

вида

x(N

-~2 I ІѴ) =

je (Л/ — 2 I / Ѵ - 2 ) +

+

A(N — 2)[x{N

-

1 I

N)-x{N—

I | N -

2)],

которая в сочетании с x{N

— 1 | N) представляет собой

оптимальное

сглаживание

на закрепленном

интервале

x {k I N)

для k = N — 1 и N — 2.

Поскольку Jc(iV— 1 | ІѴ)

следует

вычислить раньше,

чем x

(N — 2 ] ЛГ),

отметим

оценки вида x(k | j)

для \ = k-\-\

и

А + 2,

причем вы­

числения проводятся

рекуррентно

в

прямом

времени.

стоянным

запаздыванием

на

единицу x(k+\\k

+ 2),

было вычислено ранее для

k = 0,

1 . . . Вычисления

здесь

также являются рекуррентными в прямом времени.

Прежде

чем перейти к

получению общих результа­

ритмов, с помощью

векторно-матричных преобразований

и соответствующей

интерпретации полученных соотно­

ваются три частные

задачи

ъ рамках

общей

задачи

оптимального

сглаживания.

6-3. ОПТИМАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ НА ЗАКРЕПЛЕННОМ

ИНТЕРВАЛЕ

Оптимальный

сглаживающий

фильтр

С помощью уравнения (6-32) получим следующее

соотношение для любого целого N—l^k

+ 2:

x(k

j

N ~

l) =

x{k

I k)

+

+

A{k[x(k

+

\

\ N — \) — x(k'-\-1

I k)],

(6-33)

где

матрицу

A (k)

можно

определить

из

уравнения

(6-18). Требуется получить выражение

для

x(k\N).

Выберем

множество

измерений

вида

( z ( l ) , •..

z(N—1),

z(N\N—

1)} и применим

к

нему

следствие

5-1. Замечая, что z(N\N—1)

не зависит

от

всех осталь­

ных измерений,

имеем:

x(k

I N) =

E[x(k)

I z(l),

.... z{N-

1),

z(N

I J V - 1 ) ] =

= E[x{k)

I z(l),

...,z{N-\))

+ E[x{k)\z(N

I N-\)]

=

^ x { k

I N-l)

+

PxJ>-l„z{N

\N-1),

(6-34)

где

P~

=

E[x{k)z'{N\N-\)\;

P^

=

E\z{N

\ N -~\)z'{N

) N -

1)].

Заменяя

в уравнении ( 6 - 1 Ö )

индекс k на /V—-І, сраЗу

получаем:

Р„~

= H{N)P(N

\ N ~

1) Я ' (N) + R (N).

(6-35)

Соотношение

для матрицы Р ^ = Е [x (k) z' (N \ N— 1)]

можно получить,

последовательно повторяя этапы

выво­

да соотношения

для матрицы

Р

=Е[х

(k) г' (А+ 2 \ k - f 1)],

z{N\N—\)

^H(N)x(N\N—l)

+v(N),

а так ікак

согласно

уравнению

(5-27)

случайные

век­

торы x (k)

и v(N)

некоррелированы для всех

k

и N, то

отсюда следует что

Р-

[x (ft)

(N \N

-\)}Н'

(N).

(6-36)

X\Z

Далее,

заменяя в уравнении (6-6) индекс

k на

N—1

и замечая,

что в силу

уравнения

(5-25)

x(k)

и

w(N—1)

некоррелированы для всех N—l^k,

получаем:

Р ^ — Е [x(k) x' (N — I

I N-

1)]Ф'(Н,

Ni-\l)H'{M).

I

(6-37)

$(N—1 \N—\)

=

[I—K(N—l)H(N—l)]X

Xx{N—\\N—2)—K(N—l)v{N—\).

(6-38)

Однако x(k)

и v(N—1)

некоррелированы

для всех

k и N—1 в силу уравнения

(5-27). Следовательно, под­

становка уравнения

(6-38)

в уравнение

(6-37)

приводит

к результату

P„

=

E[x.{k)2(N-l

I

N-2))X

x

г

X[I-K(N-l)H{N

- 1)]',Ф' (N,

N -

l) H' (M). (6-39)

X P - i (TV—2 ) /V—3)

P

(TV—21 N—2)

ф '

( І Ѵ — 1,

JV — 2) .

Подстановка

этого

результата

в

уравнение

(6-43)

дает:

M(k\N)

^=E{x(k)x'(N—2\N-3)}X

ХР-1(Ы~2\Ы—

3)P(N—2j/V—2)<b'(N—l,

N—2)

X

X p - i ( N ~ l

I

N—2)

A ( T V — l)K(N)

=

=

£ ] [ * ( £ ) Г

(TV—2 | Л / — 3 ) ] Х

X Р ^ (TV—2 ( УѴ~3) Л (TV—2) Л (/V — 1 ) К

(N).

Продолжая преобразования таким же образом, полу­

чаем:

M(k\N)=B[x{k)x'{k+\\k)]X

ХР^(,к+\\к)А{к

+ \) ...

A{N~2)A(N~\)K(N).

Подставляя

в это

выражение

уравнение

(6-9) и

используя'еще раз уравнение (6-18), имеем:

M{k\N)=P{k\k)0'(k

+ \,

k)X

XP-Hk+])k)A(k

+ l) ... A(N—\)K(N)

=

=A{k)A{k

+ \) ...

A(N—l)K(N).

(6-44)

Возвращаясь

к уравнению

сглаживающего

фильтра

(6-34) и подставляя

в

него уравнения

(6-33)

-и

(6-44),

ления M(k\N)

равна

матрице передачи

P ~PZL,

полу­

чаем:

X {k I N) =

X (k I k) + A {k) [л (k + 1 I N -

I)

-

-x(k+

\

! k)] +

A{k)A{k+\)...A(N-\)K{N)X

Xz{N

\N-i)=x(k

I k)-A(k)x(k

+ l

I k)

+

+ A(k)\x(k+l

\N-\)+A{k+l)...A(N-\)X

X

К (N)z{N

1 JV — 1)].

(6-45)

Заметим, что выражение в квадратных скобках в пра­

вой части

уравнения

(6-45)

равно x(k-\-l

| N).

Чтобы по-