книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

v{k+l)

=v(k)

для k=Q, 1 ...,

где

ѵ — скаляр. Если рассмотреть

множество таких датчиков, то можно

ввести вероятностное описание

величины и(0)

и

предположить,

что она является гауссовской слу­

чайной

.величиной

с

нулевым

средним и известной дисперсией о2 .

Процесс {v(k+l),

k=0,

1, ... } при этом, очевидно, является гауссов­

ской

марковской последовательностью с нулевым средним и диспер­

сией

P(k+l) = а 2 ; k=0, 1 . . .

сией

(k). Процесс {v(k+l)}

k = 0, 1 . . .

} , очевидно, является гаус­

-3

-2

- I

w(k+\)=a>(k+l,

k)w(k)+r)(k),

(5-80)

E[w(k+l)w(k)]=0>(k+l,

k)E[w*(k)]

+

+Е[ц(£)ш(й)]

= ф ( й + 1,

k)E{w2(k)].

Согласно условиям

задачи

E[w(k+l)w(k)]

= P(k+l,

ft)=ae-';

Следовательно,

E[w2(k)]=P{k,

k)=a.

а е - '

= Ф(/г+1,

k)a

или

•

Ф(£+1, ft)=e-»

и уравнение процесса принимает вид

w{k+{)=e-lw(k)+T\(k).

(5-81)

Соответствующее уравнение для дисперсии

P(k+\)=e-*P(k)+Q(k),

где

Q{k)—дисперсия

случайного

процесса {r\(k),

k=0, 1, . . . } .

Однако

P(k+\)=P(k+l,

k+l)=a; P{k)=P(k,

Ä)=a .

Следовательно,

а это означает, что

{г| (А) ; k=0,

1 ...}—скалярная

гауссовская по­

следовательность с нулевым средним и дисперсией

Q(k)=a(l—е~г)

для

всех k.

Очевидно, Р(0,

0}—а. Следовательно, w(0)—гауссовская случай­

Для проверки модели покажем, что гауссовская марковская по­

следовательность {w{k)\

k—0, 1 ... } имеет заданную корреляцион­

ную

функцию. Так как процесс должен быть стационарным в широ­

ком

смысле, достаточно

вычислить E[w(j)w(Q)]=P(j,

0) для /=1, 2 ...

В силу уравнения

(4-31)

имеем:

Ч

го(/)

= е - ' к і ( ° ) + Е <?-('-*Ь)(< — 1).

Поэтому

Е [w (j) w (0)]

с - 'E [w (0)

w (0)]

-f-

i

+ Ц е-0-')Е[уі(і—

1) w (0)]

= o e - J .

Последняя

сумма

в правой

части

обращается

в нуль,

так

как

по предположению

г)(і—1),

і = І , 2 . . . не зависит

от ш(0).

Коэффициент

корреляции

между

w(k+\)

и

=

P(k+Uk)

=

0 . 3 _ 6 8 а _ _ о

Р

+ 1, 6 + 1) і Л ° ( & , A)

Va Va

' 3

Заметим,

что

процесс

имеет

постоянную

дисперсию P(k)

=

-P(k,

k)=a

для

всех

k = 0

1

. . .,

т. е.

является установившимся.

г/(/г + 1 ) = Ф і ( А + 1 ,

k)y(k)+l\(k

+ l,

k)wi(k);

(5-82)

Ш І ( А + 1 ) = Ф 2

( А + 1,

k)wi(k)+l\(k

+ l,

k)m(k);

(5-83)

z(k+l)=Hl(k+l)y(k+l)

+v(k+l);

(5-84)

v(k+l)=<ba(k+l,

k)v(k)+Ts(k+\,

к)цф)

(5-85)

для k = 0, 1 .. ., где у—n-вектор;

wi—р-вектор;

rji—q-

вектор; z и ѵ—га-векторы;

т)2 —r-вектор. Матрица

Ф4 име­

ет размер пХп,

Гі—пХр,

Фі—рХр,

W—pXq,

#i — mXn,

Фз—mXtn, а Гз—mXr.

Предположим,

что {щ{к)\

k =

= 0,1 .. .} и {т)г(А); k = 0,

1 . ..} — гауссовские

белые

по­

Далее предполагается, что у(0),

Wi(0)

и ѵ(0)

—гаус-

совские

случайные векторы

с нулевыми

математически­

ми ожиданиями и корреляционными матрицами

Рѵѵ(0),

Pww(O)

и

Рѵѵ(0).

Допускается,

что

эти

три

вектора

мо­

гут

быть

коррелированы со

взаимными

корреляционны­

ми

матрицами:

£{у(0)ш'і (0)1 =

^ ^ ( 0 ) ;

ЩУ(0)Ѵ(0)]

=

РѴѴ(0);

£ И

(0)^(0)1 =

^ ( 0 ) .

Обе

гауссовские

марковские

последовательности

{Wi(k+\)

\ k = 0,

1, . . . } и {v(k+l);

k = 0,

1,

. . . }

«присут­

ствуют»

в измерении

z(k+l):

первая косвенно,

как

воз­

мущающий член в уравнении для

у (k + l),

а вторая

не­

посредственно, что видно из

уравнения

(5-84). Следова­

стояния. Определим

x(k+l)

как

(п + р + т)-мерный

век­

тор

вида

y(k+\)~

J C ( Ä + 1 ) =

» . ( * + ! )

v(k+ 1)

Тогда уравнения (5-82), (5-83) и (5-85) можно объ­

единить

в

виде

|Ф,(*+

1, k) Tt(k

+

k)

о

x(k

+

l)

=

о

ф2 (k + i

k)

о

x(k)

+

о

0

Фз

(k + 1,

*)

+ г2

о

0

ъ

(*)

(5-86)

(k +

k)

0

k)

V)2

(k)

о

r 3

(k +

Далее

пусть

Ф ( £ +

IФ, (k +

1,

k)

Г,

(k +

1,

k)

0

1, £) =

0

Ф2

[k +

1,

k)

0

0

0

Ф3

(k +

1, k) I

обозначает

матрицу

размера

(n - j - р-\-

от)Х(га

+

Р + м), а

0

0

Г2

(Ä +

1,

А)

0

0

Г3 (/г + 1,

*)

— матрицу

размера

(n -f- р +

m) X (<7 +

О-

трицы передачи (5-90), имеет размер mXtn,

как и в пер­

воначальном варианте, где процессы {w(k),

k = 0, 1 ... }

и {v(k + \ ) , k = 0, 1 . . . } , являлись белыми.

Однако здесь

ном варианте. При обращении

матрицы

H(k+l)P(k

+

+ 1 \k)H'(k+l)

+R(k

+ \)

учитывалось

предположение,

что матрица

R(k+\)

положительно определена для всех

k. Поэтому

обратная матрица

всегда существовала. Но

в уравнении

(5-90) нет аддитивной матрицы R(k+\)

и

обращаемая матрица может оказаться сингулярной.

Ясно, что эта трудность не имеет места, если уравне­

ние измерения можно записать в виде

z(k+\)=Hi{k+\)y{k+\)+v{k

+

\)+r\i(k+\),

где v(k + l)—гауссовская

марковская

последователь­

ность, описываемая

уравнением

(5-85), a {x]3(k+l);

k —

левым средним и положительно

определенной для всех

k корреляционной матрицей

R(k+l).

ѵ ^ '

| ю ( * + 1 ) | Г

З А Д А Ч И К ГЛ. 5

5-1. Описать три допустимые

функции потерь для задачи оцен­

е х р Х І "

2 а > ' 2 ( 1 - Р г )

J *

где

[(х, — г,)2 ] > 0;

s ^ f i ^ O ; г2 = £ ( х 2 ) ; ^

= £

а| =

Е l(xs — * 2 ) г ] >

0; р =

£ [(x, — «0 (х г

— г 2 ) ] / о , о а .

Здесь р — коэффициент корреляции

— l ^ p ^ l .

а) Если

Хг измеряется

без ошибки,

то какая

оценка xt будет

оценки хі = Хі—Хі?

б) Какова

плотность распределения ошибки оценки?

5-5. Вывести уравнение (5-40).

5-6. Известно, что скалярный случайный процесс с дискретным

временем {x(k),

k=0, 1 ... } имеет нулевое математическое ожидание

и дисперсию 02

= const для всех k. Этот процесс непосредственно на­

z{k + \)=x(k+\)+v{k+\)\

k=Q, 1 . . .

Ошибки измерения предполагаются

независимыми друг от друга

и от x (k) для всех к и имеют

нулевое

математическое

ожидание и

дисперсию

= const.

Известны

только

первые и вторые

моменты

случайных

процессов

{x(k),

k — Q, 1 ... }

и {u(k+l),

k=0,

1

. . . } .

а)

Описать гауссовскую

марковскую

модель вида (5-14), (5-15)

из § 5-2 для этих процессов.

б)

Вывести уравнения фильтра Калмана для модели из п. «а».

5-7. Рассмотреть

систему

x(k+\)=x(k);

z{k+\)=x{k+\)+v(k+\);

k=0,

1 ... , где x — «-вектор; {о (А+.1) ; k = 0, 1 ...} —

n-мерная гаус-

но определенной корреляционной матрицей R(k+l),

конечной для

всех k. Предположим, что х(0)— гауссовский

случайный

я-вектор

с нулевым средним, независимый от [v(k+\);

k=0,

1 . . . } , причем

значение х(0) настолько неопределенно, что корреляционную

матрицу

Р(0) = £{х(0)х'(0)] можно рассматривать как диагональную

матрицу

с произвольно большими

элементами,

т. е. а% (0) =

£ [x? (0)] -> со для t = l , 2

п.

15*

227

предположить

. ..

х(к+\)=Ф(к+\,

k)x(k)

+

+ Г ( * + 1 ,

k)w(k)+4\k+\,

k)u(k),

где

и — г-вектор,

а Ч г — переходная

матрица

управления

размера

пХг.

За исключением введенного сигнала управления модель

системы

совпадает

с моделью, описанной

в § 5-2, причем система измерения

может быть описана уравнением

z(k+\)=H(k+l)x(k+[)+v(k+l).

а) Показать,

что оптимальное предсказание

для любой

допусти­

мой функции потерь имеет вид:

k

х(к\і)

= Ф(к,

j)x(j\j)+

S

Ф(к,

і)Ч!(і,

j _ i ) H ( j _ i )

>'=/+1

при любом &>/', в предположении, что x(j\j)

и и(і—1) известны для

ветствующей ошибки

предсказания x(k\j)

=x(k)—x{k\j)

описывается

уравнением (5-34) теоремы 5-4.

б) Показать, что оптимальный фильтр

для любой

допустимой

функции потерь описывается

соотношениями

+ l|fe+ 1) = х (k+\\k)

+

K(k+

\)[z(k+

I) —

~H(k+\)x(k+\\k)];

l|fe)

= Ф ( А + 1 , k)x(k\k)

+

4?(k+l,

k)a(k)

для £ —0,

1

где

x(0|0)=0,

а

матрица

передачи

^(fe+1),

корреляционная матрица ошибки предсказания P{k+l\k)

и корреля­

ционная

матрица

ошибки

фильтрации

P(k+11k+1)

определяются

с помощью

уравнений

(5-49) — (5-51)

теоремы

5-5

при Р ( 0 | 0 ) = Р ( 0 ) .

в) Составить

структурную схему

фильтра из п. «б».

5-9.

Показать, как следует изменить

следствие

5-2 и теорему 5-5,

иием

является z(0), а не z(l) .

5-11. Пусть для модели системы (5-14)

соответствующая

модель

измерения имеет вид z(ft) =H(k)x(k)

+v(k),

где ft=0, 1 . . .

Пусть

{w(k),

ft=0,

1 ... } и {v{k),

k=Q,

1 ... } —гауссовские

белые

после­

довательности, независимые or х(0), с нулевыми

математическими

ожиданиями

и корреляционными матрицами

Q(ft)

и R(k).

Допустим,

что эти два случайных процесса взаимно коррелированы

и их взаим­

ная корреляционная функция имеет вид E[w(j) v'(k)]—S(k)6jh-

Пока­

зать, что один из возможных в этом случае

алгоритмов

оценки мож­

но описать следующим образом:

х (ft +

1 I Ä) = ф (А +

l,ft)x

(ft

I k—l)

+ K(k)[z

(k) —

+

г (ft + i ,ft) s

(ft)] [H (ft) я

(ft i ft- 1 )

я ' (ft) + /г (ft)] - « X

X

[ Я (ft) P

(ft I ft — 1) +

S' (ft) Г" (ft+

1 . О Д Ф ' (ft+

l.ft)

+

+

r ( f t +

l,ft)Q(ft)T'(ft+l.ft) .

цля

ft=0,

1 ....

г д е х ( 0 [ — 1)=0,

a P ( 0 | — 1 ) = £ [x (0) x' (0)],

[Л.5-6].

5-12.

Рассмотреть нелинейную систему

x(k + l)=f[x(k),

k]+G{x(k),

k]w(k);

z(k+l)=h{x(k+l),

ft+l]

+

t(ft+l)

для

ft=0, 1 ..., где x — п-вектор; w — р-вектор; z и v—

от-векторы.

Пусть } — «-мерная вектор-функция х(к)

и ft; h — m-мерная век­

тор-функция x(ft) и

A; G — матричная функция х{к)

и ft

размера

пХр.

Предположить,

что {w(k),

k = Q, 1 ... ) и {v(k + \),

ft=0,

1 . . . ) —