книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

x(k+l)=0(k

+ l,

k)x(k)+T(k+l,

k)w(k);

(5-14)

z(k+\)=H{k+\)x{k+\)+v{k+\),

(5-15)

где

x—п-вектор

состояния;

w—р-вектор

возмущения;

z—m-вектор измерения

(выхода

системы);

ѵ—m-вектор

ошибки измерения; /г = 0, 1 .. . — дискретное

время; Ф—•

переходная матрица состояния размера пХЩ

Г — пере­

ходная матрица

возмущения

размера пХр; H—

матрица

измерения размера

тХп-

Процесс {w(k),

k = 0, 1 . . . } является р-мерной гаус­

совской белой последовательностью, для которой

E[w(k)]

= 0

(5-16)

при любом & = 0, 1 .. . и

E[w{i)w'(k)]

= Q{k)bik

(5-17)

при

любых

/,

& = 0, 1

...,

где

Q(k)—неотрицательно

определенная

матрица

размера

рХр . Процесс

[v(k+l),

k = 0, 1 . . . } представляет собой

m-мерную

гауссовскую

белую последовательность, для которой

E[v(k+l)]

= 0

(5-18)

при любом k = 0, 1 . . . и

E{u(j+l)v'{k+[)]

= R(k+\)àjh

(5-19)

при

любых у, k = 0,

1 ..., где R (k+1) — неотрицательно

определенная

матрица

размера

mXm.

Здесь

рассматри­

вается случай, когда эти два случайных

процесса взаим­

но независимы, так что

E[v(j)w'(k)]=0

(5-20)

при любых / = 1, 2

. . . и / г = 0, 1

Начальное состояние х(0)

есть гауссовский

случай­

ный л-вектор с математическим ожиданием

Е[х(0)]

= 0

(5-21)

цей

Е[х(0)х'(0)]

= Р(0)

(5-22)

размера пХп.

Предполагается,

что х(0)

не

зависит

от

\w(k),

k = 0, 1

. . . } и {v(k+l),

k = 0, 1 . . . } ,

так

что

и

E[x(0)w'(k)]

= 0

(5-23)

E[x(0)v'(k+l)]

= 0

(5-24)

для любого k = 0, 1 .. .

Модель (5-14), (5-15)

имеет

следующие

свойства:

1.

Случайные процессы {x(k),

& = 0, 1, . . . } и {z(i),

і =

= 1, ..., /} — гауссовские

с тождественно

равными нулю

математическими ожиданиями.

2.

E'[x(j)w'{k)]

= 0 для любых

kp>j, / = 0,

1 .. .

(5-25)

3.

E[z(j)w'(k)]

= 0 для любых

/ = 1 , 2 . . .

(5-26)

4.

E[x(j)v'(k)]

= 0

для любых / и k,

(5-27)

где / =

0, 1 ...,

a k = 1, 2 .. .

5.

£[z(/)j/(fc)] = 0 для любых А>/,

(5-28)

где /, Ä= 1, 2 —

Первое свойство следует из § 4-2 и уравнений

(5-16),

(5-18)

и (5-21).

стве упражнения.

Из уравнения (4-31)

следует, что

X (j) = Ф (/, 0) X ( 0 )

+ J Ф (/, 0 Г (i, i - 1 ) w(i-1 ) (5-29)

f - i

для

/ = 1 , 2 . . .

Тогда

Е [x (/) w' (k)} = Ф (/, 0) Е [x (0) w' (k)} +

+

S

Ф 0 " . 0 Г ( і , і -

l)E[w(i-

l)w'(k)}.

В силу уравнения (5-23) первое

слагаемое

в

правой

части

этого

выражения

равно

нулю

для любого

k = 0,

1 ... Так как процесс {w(k),

& = 0,

1, ... } является

белой

последовательностью, то E[w(i—l)w'(k)]

= 0

для

всех

кфі—1,

а

поскольку

і = 1 , 2,

...,

/,

то

последнее

слагае­

мое, очевидно, также равно нулю для

всех £ > / — 1

или

для k~p*l. Второе свойство доказано.

Чтобы

доказать

третье

свойство,

заметим,

что из

уравнения

(5-15) следует

соотношение

z(j)=H(j)x(j)+v(j)

для

/ = 1 , 2 , . . . , откуда

E[z(i)w'(k)]

= H(j)E[x(i)w'(k)]

+

E[v(j)w'(k)}.

В

силу свойства

(5-25)

Пересе

слагаемое

в

правой

части

полученного уравнения

равно

нулю для всех

k^j,

/ = 0,

1, . . . Так как процессы

{w(k),

& = 0, 1 . . . } и {v(k +

+ 1),

k = 0, 1 . . . } независимы, второе

слагаемое

также

равно нулю

для

всех

/ = 1 , 2

... и & = 0, 1 ...,

чем

дока­

зывается

третье

свойство.

Оптимальное

предсказание

Здесь

будет

получен

алгоритм

оптимального

пред­

сказания

x(k\j),

k^>/,

/ =

0,1 ...

и

установлены

некото­

рые

ва кные

свойства

соответствую цей ошибки

пред­

сказания

x(k\j)

= x(k) — x(k\i).

В

частности,

здесь

рассматривается

характер

случайного

процесса

{x(k\j)\

& =

/ - j -

1, / -j-2 ...}

и

поведение

его корреляционной мат­

рицы

Е[ЩJ/)x'(k

I/)] =

P(k\j).

Предположим, что оптимальная текущая оценка (оцен-

ка

фильтрации)

x{fr\j)

и

корреляционная

матрица

E[x(j\j)x'(j\j)]

= P(/[/)

размера

п

\ п

соответствующей

ошибки

фильтрации

х (/ \і) = х (/) — х (/1 /) известны для

некоторого

/ =

0,1...

Процедура

вычисления

л:(/|/)

и

Р(І\І)

для

любого

/ будет

рассмотрена в

следующем

параграфе.

{x(k),

k =

Из

первого

свойства случайных

процессов

= 0, 1

. . . } и

{z(i),

i = l , ...,

/ } , приведенного

выше, и

из следствия 5-1

получаем,

что оптимальная

текущая

оценка

состояния

x(j)

для / = 1 , 2

... имеет

вид:

x(j\j)

=

E[x(j)\z(\),...,z(j)}.

(5-30)

х{0\0) = Е[х(О)] = 0.

' (5-31)

x{0\Q)==x(ö)

—

x(0)==x{0),

так что

Р(0\0)=Е[х(0\0)х'(0\0)]

= Е[х{0)х'(0)]

или

Р ( 0 | 0 ) = Р ( 0 ) ,

(5-32)

где последняя матрица

предполагается

заданной при

описании системы.

ного предсказания.

Теорема 5-4. Если

оптимальная

текущая

сценка

X (/1 У) и корреляционная

матрица Р (У | У) соответствую-

13—85

193

щей

ошибки

фильтрации

x (/ \j) = x (j) — x (/ \ j)

извест­

ны

для

/ = 0,

І

...,

то для

всех

k>j:

1) оптимальное

предсказание

x(k\j),

k^>j для

лю­

бой

допустимой

функции

потерь описывается

так:

х(к\і) = Ф(к,і)х(і\і);

(5-33)

2)

случайный

процесс

{x (k] j), k =

j +

1 . / +

2,

... },

где

x(k\j) — x(k)

— x(k\j)

— ошибка предсказания,

яв­

ляется

гауссовской

марковской

случайной

последователь­

ностью

с нулевым

средним

и корреляционной

матрицей,

удовлетворяющей

соотношению

P{k\j)

= <b{k,j)P<j\j)<è'{k,j)

+

k

- f

£ Ф ( М П и — l ) Q ( i — 1 ) Г ' ( / , / - 1 ) Ф ' ( М ) .

(5-34)

і=і+і

x(k\j)=[E[x(k)\z{l)

г(/)].

(5-35)

С другой стороны, согласно

уравнению

(4-30)

fe

х(/г)=:Ф(к,І)х(і)-{-

S Ф{к,і)Г(і,і-1)т(і-1)

(5-36)

і=/+і

для

k^j+l.

Подставляя

(5-36) в (5-35)

и используя

основные

свойства условного математического ожида­

ния,

получаем:

x{k\j)

= E

k

®(k,i)x(j)+

S

Ф ( М ) П м - 1 ) Х

Xw(i-l)\z(l),...,z(i)

:E№(k,j)xU)\z{l),...,z(j)}-r-

2

Ф(£,

І)Г(І,

i-l)w(i-l)\z{l),...,z(j)

' І+1=Ф(к,

j)E[x(i)\2(\):...,z(j)\

+

+

^Ф(к,

і)Г{і,

i-l)E[w(i-l)\z(l),...,zQ)}.

(5-37)

і=І+1

Заметим, что согласно

уравнению (5-26)

два

множе­

ства случайных

векторов

{w(i—1),

i = j+l,

j + 2,

..., k)

и {z(l), ...,

z(j)}

некоррелированы для всех k^j+l.

Так

как каждый

из этих векторов — гауссовский,

то эти два

E[w(i-l)\z(l),

z(j)]

= E[w(i-\)]

= 0

(5-38)

для

всех

і = / + 1 ,

j + 2,

..., k,

поскольку

процесс

{w(k),

k = 0,

1 . . . } имеет

нулевое

среднее значение.

Из уравнений (5-30)

и (5-38) ясно,

что уравнение

(5-37) сводится к соотношению

х(к\і)

=

Ф{к,

j)x{j\j)

для всех £ > / .

и произвольного k>j

2.

Для

известного

/

в

силу

определения ошибки предсказания, уравнений

(5-33) и

х(к\І)

=

х(к)~х(к\і)

= Ф(к,

j)x(j)

+

+

S

Ф(к,

І)Ѵ(І,

г — î) оу(г_ 1 ) _ Ф ( A ,

j)x{j\i)

=

i=l+l

k

= Ф ( * .

i)x(j\î)+

S ф ( ^ .

0 Г ( » . і - І ) ш ( і - І ) .

(5 39)

(=/ + і

Ясно,

что

{х(&|/), & = / + 1, ; + 2,

. . . } —гауссовский

процесс

с дискретным временем и нулевым

математиче­

ским

ожиданием.

Теперь докажем

марковость процесса. Пусть / — мно­

жество

индексов

времени вида { / + 1 , j+2,

. . . } ,

a

ti<

<h< ...

<tm—m

моментов

времени

из /,

где m — про­

извольное целое

число. Тогда из уравнения (5-39)

на

m

х(т\}) = Ф{т, j)x(j\i)-{-

£ Ф(т, і)Г(і,

i-\)w(i-l)=

13*

195

m-i

+

£ Ф ( / г е , і)Г(і, i—l)w(i—l)

=

t=i+\

— Ф{т,

т—\)Ф(т—\,

j)x(j

\ j) -4-Г (m,

m — \)w(m—\)

-f-

m—l)

m—l

i)T(i,

i — l)w(ß—l)

=

+ Ф ( т ,

£

Ф(от — 1,

І=І+\

=

Ф (m,

m — 1) [Ф {m — 1, j)x

(j \ j)

+

tn—l

+

2

Ф ( о т - 1 ,

О Г(/.

i - l ) t w ( t - l ) ] +

* = / + 1

m — \)w(m — 1).

-f- Г (от,

Замечая,

что

в

силу уравнения

(5-39)

выражение

в квадратных скобках равно х(т—1|/),

имеем:

х(т\})

=Ф(т, m—\)x(m-~\\j)+Y(m,

m—\)w(m—\),

но, {x(k\j),

k = j+l,

j + 2, . . . } представляет

собой

гаус­

совский марковский

процесс.

Вновь

обратимся

к уравнению (5-39),

чтобы

найти

P(k\j)=E[x(k\j)x'(k\j)].

Согласно определению ошибки

фильтрации

E [x (j \ j) W

{І-\)]

=

Е {[x (j) - x

(/ j /)] w' (i - 1)}

=

=

E[x

(j) W (i -

1)] - E Çx (j I /) W (i -

1)],

где i = j+ï,

j + 2,

k.

Из уравнения (5-25)

следует,

что

E[2(j\j)w'(i-l)]

= 0

для всех i = j+l, j + 2, ..., k.

Это означает, что все сме­

Р {k j j) = Ф (k,

j) Е [x{j

j j) x' (j

I /)] Ф' {k,

j)

+

k

- f

£ Ф(£, i)V(i,

i— l)E\w{i

— 1)ш'(t — 1)]X

Х П ' .

i - ! ) ф ' (k,

i),

где использовано равенство

E[w(j)w'(k)]

= 0,

справедливое

для \фк.

Вычисляя

математические ожи­

дания,

получаем:

P(k\j)=q>{k,

i)PU\i)®'(k,

i)

+

+

t

Ф(к,

i)V(i,

i-l)Q(i-l)T'(i,

і-1)Ф'(к,

i)

i=l+\

для k>j. Теорема доказана.

Приведем,

кроме

уравнения (5-34), другое

выраже­

ние для корреляционной

матрицы

ошибки

предсказания

.P(k\j)=<b(k,

k—l)P(k—l\j)0'(k,

k—\)

+

+ T(k, k—\)Q(k—\)T'(k,

k—1)

(5-40)

при

k—j+\,

j + 2 ...

Доказательство этого

результата

оставлено читателю в качестве упражнения.

Заметим,

что теорема 5-4

пока

имеет

ограниченную

стны x(j\j)

и P(j\j),

является / = 0.

Точнее

согласно

уравнениям

(5-31)

и

(5-32) * ( 0 | 0 ) = 0

и Я (0|0 )

=Р(0),

так что

х{Іі\0)

=

Ф{!г, 0)х{0\0) =

0;

k

Р(к}0) = Ф(к, 0)Р(0)Ф'(6,

0) +

і—1)Ф'{к,

і).

+ Ц Ф ( 6 .

г — l ) Q ( t - 1 ) Г ' ( / ,

Частным

случаем

предсказания,

заслуживающим

особого внимания, является

одношаговое

оптимальное

предсказание,

в котором рассматривается оптимальная

оценка вида

x(k+\\k),

k = 0,

1 .. . Как будет видно из

Следствие

5-2. Если

оптимальная

текущая

оценка

x(k\k)

и корреляционная

матрица

P(k\k)

соответствую­

щей

ошибки

фильтрации

x(k\k)=x(k)—x(k\k)

известны

для

некоторого

k = 0,

1, ...,

то:

1)

одношаговое

оптимальное

предсказание

для

лю­

бой

допустимой

функции

потерь

описывается

соотноше­

нием

£ ( А + 1 | А ) =

Ф ( £ + 1 ,

k)x{k\k);

(5 - 41)

2)

случайный

процесс

{x(k-\-\\k),

k — 0,

1

. . . } ,

где

x (k +

11 k) — x (k - f - 1 ) — x (k -f- 1, k) — ошибка

одношаго-

вого

предсказания,

является

гауссовской

марковской

по­

следовательностью

с

нулевым

математическим

ожида­

нием

и корреляционной

матрицей

вида

Я ( & + 1 | £ ) = Ф ( £ + 1,

k)P{k\k)0'(k+\,

k)

+

+

T(k + l, k)Q(k)r(k+l,

k).

(5 - 42)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Доказательство

сразу

следует

из теоремы 5-4, если

заменить

в ее утверждении

индекс

k на k+1, а индекс / на k.

Как и теорему 5-4, следствие

из нее едва

ли

можно

непосредственно

использовать

для

предсказания,

по­

скольку пока

известны только % ( 0 | 0 )

и Р (010).

Поэтому

видно из уравнений (5-33) и

( 5 - 4 1 ) .

Теорема 5-4 и следствие

5-2 принадлежат Калману

[ Л . 5-6, 5-7].