книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

причем

каждая

составляющая

процесса

действует

на

одну и

только

одну

частицу. Полагая,

что

каждая

ча-

Г ~ і

° — . • •

Г ~ |

а

,/

!

j

,f

• •

j

!

L

_

к

[2

\3

1

j

N

,

to

j

1

1

j

1

1 — J

} — 1

1

1

t,

t

-ЧЛі

И

i

î

c—1

Рис. 4-9. Компонента выборочной функции

кусочно-постоянной

гауссовской белой по­

следовательности.

стица

имеет

нулевую

начальную

скорость

и возмож­

ность

только

прямолинейного

движения,

имеем:

ѵ = да(Д°

(О

отношения

следует,

что вектор

ѵ(4)

также гауссовский.

Ясно, что

£{ѵ(*і)] =

0,

поскольку

по предположению E[w{N)

(t0 -\- iAt)} = 0

для

всех і = 0,

1 , N

— 1,

ft,

t,

Е

[V

(>,)

V '

(*,)] =

ЕН да(Л/)

(і) dz

('\w(N) ( т ) ] ' dz I

=

=

£

I

^

С. +

'ДО

S'

H w

(f. + іЩ'

а Д

=

1=0

/ = о

і

=

S Q ( 4

+ '«)Af ! ,

(4-48)

і'=0

процесс

{wlN)

(t), £ 0 < ^ < / , } чисто

случайный.

Если

матрица

Q

постоянна

на

каждом

интервале

разбиения,

то

из

последнего

уравнения

следует,

что

в пределе при

п—-м»,

—>-0

и NAt = ti—/o = const

£[v(/i)v, (^i)] = A/QA/2 = (ti—to) QAt—vO.

Вместе с равенством E[v(td)]

= 0

это

означает,

что

конечная

скорость

ѵ(0) является

в

пределе

детермини­

лишен физического смысла.

Если

же

в

уравнении (4-48) Q(t0 + iAt)

заменить на

Q(to + iàt)/At,

то

корреляционная

матрица

\(ti)

будет

отлична от нуля, что согласуется с интуицией.

{w(t),

Теперь

определим

гауссовский

белый

шум

to^'t^ti)

как

предел

гауссовской

белой

последователь­

ности:

М О ,

t0<t<t1}

=

\[m{ww(t),

Здесь предельный переход понимается в том смысле,

как

это

описано

выше,

причем корреляционная матрица

Q(t0

+ i&t) =Q(i)

в пределе

заменяется

на

Q(t)/At,

где

t соответствует і-му моменту времени, a

Q(t)=Q(i).

Выборочную

функцию

гауссовского

белого

шума

i l - 8 5

161

желательные эффекты

в системах.

Q(t)

В заключение обоснуем использо­

л-t

вание дельта-функции

Дирака в выра­

x=F{t)x+G(t)w(t)

(4-49)

для t^U,

где X — n-вектор состояния;

w — /з-вектор воз­

мущения;

F(t)

и

G(t) —непрерывные

матрицы разме­

рами пХп

и

пХр.

Начальное условие пока является

произвольным, так же как и возмущение

w(t).

Для

двух

моментов времени

t и t+At, при

t^zt0

и А / > 0

из уравнения

(2-32) получим:

t +

At

*(* + Д0 = Ф(* + Д*,

0 * ( 0 +

{

Ф(Н-Д^. t ) G ( x ) X

і

t)w(t)

Х а > ( т ) Л =

Ф(/-г-Д/, 9*(*)

+

Г(*.+ Д*,

(4-50)

для всех

t^to.

{x(t),

t^t0}.

Исследуем

характер

процесса

Этот про­

цесс,

очевидно,

является

марковским,

поскольку

реше­

ние уравнения

(4-52)

можно записать в виде

/

m

x{tm)

=

<b{tm,

tm_i)x{tm_i)+

f

<b[tm,

x)G{z)wiz)dz,

ГДе tm>tm-l^t0.

t^t 0

Пусть для любого

х1,,){і)

=

Ф(і,

І0)Х(І0)+^Ф(І,

x ) G ( x ) » W ( x ) r f x -

=

Ф0,

Qx(t0)+

S

Ф(і,

t0

+

iM)G{t0

+

1=0

- f

Ш) wiN)

(t0

+ iàt) At,

(4-53)

где {ш( / Ѵ )

(x),

t0<:x<t}

определяется

так же,

как

и ра­

нее,

а интервал

[to, t] разделяется

на N

интервалов

дли­

ны Д/ =

(t—t0)/N.

известно

соотношение

Для \x(t),

t^to)

t

Х(І) = Ф(І, І0)Х(І0)

+ ^Ф(І,

x)G(z)w(i)dt.

Так как

ïim{w(N}(z),

t0<i<t}

=

{w(z),

t0<x<t],

JV-voo

то отсюда

следует, что

lira

{x{N)

(t),

t>0}

=

{x{t),

t>ta}.

iV->00

Ясно, что в уравнении

(4-53) слагаемое Ф(і,

t0)x(t0)

является

гауссовский

случайным

«-вектором

для всех

t^t0,

поскольку x(to)

—гауссовский случайный п-вектор.

Более того, для всех N = 1,2... выражение

Ф {t, t0

+ Ш) G (/0

+

(ДО w(N)

(tu + iàt) M

1=0

тор,

поскольку он

язляэтся

суммой

N линейных

преоб­

разований N независимых гауссовских случайных «-век­

торов w{N)(t0-{-iAt);

і = 0,

1,...,

N—l.

Отсюда

сразу

следует,

что

для

любого N =

1, 2...

... х

т (t) будет гауссовским случайным «-вектором при лю­

бом

t^to.

Следовательно, {x(t),

t^t0}

является гауссов­

уравнения

(4-52), т. е.:

x-=F(t)x+*G(t)w(t)

(4-54)

для t~^iü

при начальном условии x(to).

Можно получить

это же выражение, усредняя обе части

уравнения (4-51),

Завершая

определение

процесса

{x(t),

t^ft0},

полу­

чаем соотношение для его корреляционной

матрицы

P(t)=E {[x(t)

-X

(t)][x (t) ~x (t)}'}.

Вначале

рассмотрим

предельное

поведение

уравне­

ния (4-37)

Р ( £ + 1 ) = Ф ( / г + 1 ,

k)P(k)0'(k

+ l,

k) +

+ T(k+l,

k)Q(k)T'(k+l,

k).

мущении системы вида

{w{N)

(t),

t^t0}.

Пусть

t соответствует

моменту

k,

a

i+At—моменту

k+l,

где

At>0.

Тогда,

используя

тот

факт,

что

Q(k)

заменяется в пределе на Q(t)/At„

имеем:

Р (t +

At) =

Ф (t - f At, t) Р (О Ф' (/ -f- At, t) -f-

+

Г(і + Ы,і)Ш-Р

{t +

At,f).

Подставляя

сюда

выражения для

0(t

+ At,

t)

и

T(t+At,

t)

и раскрывая

скобки, получаем:

P(t

+ &f) =

[r +

F(f)At

+ 0(U*)]P(f)[r

+ F(f)At

+

+

О (Af)}'

+

[G (t) At +

O (Af)}

Ш_

[ G

(/) At -\-0

(At2)]'

=

=

P(f)+F

(t) P (t) At-\-P

(t) F' {t) At -f-

+

G(0Q(0 G' {t)At

+

0{At2).

Перенося P(it) в

левую часть,

деля обе части

на Ai

и переходя к пределу при M—>-0, получаем

матричное

дифференциальное уравнение

P=F(t)P

+ PF'(t)+G(t)Q(t)G'(t)

(4-55)

при t~^tu. Начальное

условие здесь,

очевидно,

P(t0).

Уравнение (4-55)

по аналогии

с

уравнением

(4-37)

деленности в динамике

системы.

Поскольку

матрица

Р имеет

размер

пХп,

она вклю­

чает п2 элементов. Однако

Р является

корреляционной

и

поэтому

симметрической

матрицей. Это означает, что

в

системе

уравнений

(4-55)

только п(п+\)/2

независи­

мых уравнений.

Уравнение

(4-55)

линейно.

Следовательно, его ре­

определенность

системы

P{t),

связанный

с

неопределен­

ностью информации

о векторе x(U) и о процессе w(t).

После того

как

уравнения (4-54) и

(4-55)

решены

и получены

функции

x(t)

и P(t)

для t^t0,

гауссовский

марковский

процесс

{x(t),

t^to}

можно

описать

его ха­

рактеристической

функцией

фж (s,

i) = exp \\х' (t) s— -^- s'P

(t) s],

где s — действительный п-вектор.

Уравнение

(4-55)

можно

получить и

другим

спосо­

x (0 =

Ф (*, t0) x (О +

jt

Ф (t, x) G (x) w (х) с?х;

'о

ж (0 =

Ф {t, Q * {Q +

С Ф (г, x) G (x) w (x) dx

Тогда

по

определению

Р®

= Е^Ф

(t, Q [x ( g

- * (Q) +

( Ф {t, x) G (x)

X

X

[a» (x) -

w (x)] dz J |

Ф (/, g

[x ( g

-

* (О] +

+

f Ф (t, a) G ( 3 ) [M) (3 ) -

w (,)} <fcJ j=

Ф (f, / 0 )

X

X £{[* ( g

- ж ( у ] [x ( g - * (g]'} Ф'

g

+

t

x ( g ]

w (,)]'}

+

Ф (/, о

f £

{[x ( g -

со -

x

г

X G'(3 ) ф

/

С о) rfj +

[ Ф ( ^ ) С ( т ) £ { [ д а ( х ) -

(x)] [x ( g

-

* ( g ] ' } йхФ' (f, g

+

J f ф

(t, x) G (x)

x

ta

X £ { [ t » (x) — Й? (x)] [w (a) — й> (a)]'} G' (з) Ф' (t,

a) dxifc.

Поскольку x(t0)

не зависит от {w(t),

t^to},

два

сред­

них

слагаемых

в

правой

части

обращаются

в

нуль.

+ Ç Ф (г, x) G (x) Q (x) G' (х) Ф' (f, х) dz.

(4-56)

P (0 =

Ф {t, t0) Р {Q Ф' (t, Q +

Ф ( U 0 ) P (Q Ф' (f, f0 )

+

-Ь Ф (t, t) G (t) Q (t) G' (t) Ф' (t, t) +

J Ф (/, x) G (x) Q (x)

X

to

t

XG' (x) Ф' (/,

x) rfx+

J

Ф (f, т) G (X) Q (x) G' (x) Ф' (/,

x) dz

=

=

Ф

g

P ( g

Ф' (r, g

V ' (0 + f

(о Ф {t, Q P (t0) Ф'

, g

+

+

G (r) Q (0

G' (t) +

J" Ф (f, x) G (x) Q (x) G' (x) Ф' {t, x) d x F

(f) - f

to

t

+

P (0 Ç Ф (f, x) G (x) Q (x) G' (x) Ф' (t, x) dx

=

P (0

Ф (/, tt)

P (Q Ф' (/, /„) +

I' Ф {t, x) G (x) Q (x) G'

X

Х ( * ) ф ' М < ь

ф('. O ^ C . ) Ф'('Л)

+

+

j Ф (/, x) G (x) Q (x) G' (x) ф' (/, x) dz

F'(()

+

+ G(/)Q(/)G '(0,

(4

57)

где

использованы

равенства

Ф(/, т) = Р ( / ) Ф ( ^ ,

т) и

Ф(/,

t)=I,

справедливые для всех t, x~^U.

Наконец,

подставляя

уравнение

(4-56)

в

два первых

слагаемых

в

правой

части уравнения (4-57), получаем

уравнение

P = F(t)P

+

PF'(t)+G(t)Q(t)G'(t),

аналогичное уравнению (4-55).

Выражение (4-56) является, очевидно,

решением

уравнения

(4-55). Однако в общем случае при

вычисле­

нии матрицы P(t)

вряд ли имеет смысл

применять

это

делять Р{і) численным интегрированием

уравнения

(4-55).

Как и в случае дискретного времени, модель легко \

обобщить, включая в нее управляющий вход

x = F(t)x + G(t)w(t) +C{t)u{t),

(4-58)

где

и — /'-вектор,

C(t)—непрерывная

матрица размера

пХг.

Если

u(t),

t^t0

является известной управляющей

функцией,

то, очевидно, {x(t), і^к)

— гауссовский мар­

z(t)=H(t)x(-t)+v(t)

(4-59)

при

t^tß. В

уравнении

(4-59)

z — m-вектор

измерения;

H(t)—непрерывная

матрица

размера тХп;

ѵ — m-век­

тор

ошибки

измерения.

Процесс

ошибок

измерения

{v(ï),

t^t0}

считается

m-мерным

гауссовским

белым

шумом с известным

математическим

ожиданием

E[v(t)]

=

v(t)

и матричной корреляционной

функцией

Е {[V (0 —v{t)]

[V ( т ) - V (т)]'} = R (Oô

(t-x)

для

всех /, x^t0.

Предполагается

также,

что матрица

R(t)

размера тХт

непрерывна

и

положительно

опре­

делена для

всех t~^t0

в

отличие

от матрицы

R(k+l),

деленность

при k = 0,

1 .. .

Причина

такого

различия

станет ясной при изучении задачи оценки.

Далее предполагается, что процесс {v(t),

t^t0} не

зависит

от

x(to),

но

может

быть

коррелированным

с {w(t),

tz^to). Следовательно,

EHx(t0)-x(to)][v(t)-v(t)Y}

= 0

для всех t^to

и

Е {[w (t)-w

(t)][v

(x)-V

(x) }'} = S(t)b {t-x)