книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

Уравнение (4-28) представляет собой модель линей­ ной дискретной системы с возмущающей функцией в ви­ де гауссовской белой последовательности, независимой от начального состояния системы. Эти допущения заслу­ живают некоторого комментария.

Во-первых, предполагается, что модель линейна. Это оправдывается тем, что использование линейных моде­ лей в инженерных исследованиях оказалось достаточно плодотворным и методы анализа линейных систем хо­ рошо изучены, в то время как для нелинейных систем таких методов в общем случае нет.

Во-вторых, возмущающая функция, а точнее, случай­ ный векторный возмущающий процесс предполагается независимым от начального состояния. Это допущение является разумным для многих систем, если из физи­ ческих соображений понятно, что механизмы, форми­

и высоты), подаваемых на вход навигационной системы непосредственно перед взлетом. Однако на практике встречаются ситуации, в которых это предположение не­ допустимо.

В качестве примера рассмотрим связь между случайными порывами ветра, воздействующими на кос­ мический корабль во время запуска и подъема в атмо­ сфере, и начальными условиями, т. е. координатами пусковой установки. Очевидно, роза ветров зависит от расположения пусковой установки. Тем не менее здесь

основанона центральной предельной теореме (теоре­ ма 3-1). Здесь неявно допускается, что макроскопический случайный процесс возмущения системы является сум­ мой большого числа, независимо действующих микроско­ пических случайных процессов. Это же справедливо и для модели начального состояния х(0). Можно также обосновать такое допущение тем, что, оно оказалось

150

полезной идеализацией при Моделировании многих фи­ зических явлений.

Наконец, четвертое предположение заключается в том, что случайный векторный возмущающий процесс счита­ ется белым, т. е. чисто случайным. Это допущение обыч­ но используется на практике при отсутствии каких-либо аналитических или экспериментальных данных, которые бы ему противоречили. Случай, когда процесс возмуще­ ния является коррелированным, будет рассмотрен в гл.5 после того, как задача фильтрации будет решена в пред­ положении чистой случайности возмущения. Задача построения модели системы при коррелированном про­ цессе возмущения будет рассмотрена ниже при обсу­ ждении гауссовской марковской последовательности вто­ рого порядка.

Измерение

Обратимся к построению модели измерения. Пред­ полагается, что она имеет вид

измерения; ѵ — m-вектор ошибки измерения. Предполагается, что случайный процесс ошибки из­

мерения является m-мерной гауссовской белой после­

151

случай. В любом случае модель измерений имеет струк­ турную схему, приведенную на рис. 4-6.

считается гауссовский и белым, ошибка измерения так­ же считается гауссовской белой последовательностью. В модели измерения предполагается, что ошибки изме рения, проделанного в какой-либо момент времени, не зависят от ошибок измерения, проделанного в любой другой момент времени. После решения в этом предпо­ ложении задачи фильтрации в гл. 5 будет показано, как изложенную теорию можно распространить на случай коррелированных ошибок измерения.

жений факторы, вызывающие ошибки измерения и колебания начального состояния, обычно считают не­ зависимыми. Вообще говоря, измерительная система яв­ ляется внешней для динамической системы, так что не­ точности оборудования, вызывающие ошибки измерения, функционально независимы от начального состояния.

Из общих соображений также естественно ожидать, что факторы, вызывающие возмущения системы, во

152

Вместо того чтобы исследовать гауссовскую марков­ скую последовательность второго порядка, удобнее пре­ образовать ее в гауссовскую марковскую последова-

г(к+г,к)

Рис. 4-7. Структурная схема модели системы с гауссов­ ский марковским процессом состояния второго порядка.

тельность, чтобы можно было использовать результаты, полученные ранее. Вначале введем новый п-вектор с по­ мощью соотношения

x{k+l)=y(k). (4-43)

Используя это обозначение, перепишем уравнение (4-42) в виде

155

Обозначая

очевидно, является гауссовским случайным 2/г-мерным

ность ценой введения нового вектора состояния, имеюще­ го в 2 раза больше компонент, чем исходный вектор состояния. Второй возможный подход заключается в использовании функций распределения второго поряд­ ка. Как уже указывалось, первый подход был избран для того, чтобы воспользоваться полученными ранее результатами.

Теперь рассмотрим несколько иную ситуацию, в ко­ торой также возникает гауссовская марковская после-

156

Довательность второго порядка. Предположим, ЧТО си­ стема описывается двумя разностными уравнениями первого порядка

является гауссовской белой последовательностью, неза­

совской марковской, а не гауссовской белой последова­ тельности. Иными словами, здесь рассматривается обоб­ щение модели (4-28) на случай, когда возмущение си­

157

представляет собой гауссовскую марковскую последо­ вательность.

Метод сведения марковских процессов высшего по­ рядка к простым марковским процессам, изложенный здесь, называется методом расширения вектора состоя­ ния ,[Л. 4-7].

4-3. МОДЕЛЬ С Г А У С С О В С К И М МАРКОВСКИМ П Р О Ц Е С С О М СОСТОЯНИЯ

В этом параграфе описана модель непрерывной линейной системы. Метод описания модели аналогичен методу предыдущего параграфа. Вначале формулирует­ ся понятие гауссовского белого шума, которое затем используется для построения модели системы. Как и в § 4-2, в заключение параграфа рассматривается дина­ мическая система с моделью состояния в виде марков­ ского процесса второго порядка.

158

Гауссовский белый шум

По аналогии с определением гауссовской белой последовательности назовем /7-мерный случайный про­ цесс {w(t), t^to} гауссовским белым шумом, если он является чисто случайным гауссовским процессом с из­ вестным математическим ожиданием

прерывная неотрицательно определенная матрица раз­ мера рХр; ô(t,—-г) —дельта-функция Дирака. Послед­ няя функция вводится по аналогии с символом Кронекера в выражении для матричной корреляционной функ­ ции гауссовской белой последовательности.

Приведем обоснование этой формулировки, принад­ лежащее Калману [Л. 4-7] и основанное на рассмотре­ нии предельного поведения кусочно-постоянной гауссов­ ской белой последовательности, в которой частота пере­

довательность с нулевым средним и матричной корре­

белую последовательность, одна из компонент которой изображена на рис. ,4-9. Заметим, что ее значение на каждом отрезке определяется на левой границе отрезка.

Отметим также, что математическое ожидание про­

ключения становится произвольно большой-

159