книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

х(х) позволяет точно определить х(1)

для всех

t^x^O.

Так

как x(t)—гауссовская

'Случайная величина,

ее можно пол­

ностью

характеризовать

математическим

сжиданием

и дисперсией.

В частности,

*(/) = £

J =

0.

Р (t) = Ё {[x (t) -

x (t)]2}

= Е у

Г х2(0)

И

2

{t_^

()2

=

откуда

следует, что

• , m

x, (fa ) — x.

(^)

,

X! (0) =

г — t

откуда следует, что

X, (М =

x, (fs ) +

г т г г І Х і С") ~

Х і

Величина Хі(^з)

определена, если

известны

xi(h) и хі(^і).

В общем случае

({хт\хт-^

^ ) = f ( x « l x « l - i ,

x m

= 2 )

Тот факт,

что процесс {лч(/),

1^0} не просто марковский, сле­

дует из того,

что он определяется

соотношением .ïi = 0, т. е. диффе­

для того чтобы определить будущие значения

величины x(t), требует­

ся знать ее значения в два предшествующих

момента

времени.

Рассмотрим теперь случайный

процесс {x(t), t^O},

где

X,

(t)

х,

(t)

x(t)-

(0

— М О

X ,

x(t)

= Xi (0

I X , (0) + X , (0) t\

Так как x(t),

*2

(t)

\

X , ( 0 )

I

очевидно, гауссовский

двумерный

вектор, то рас­

сматриваемый процесс — гауссовский.

Кроме того,

для

І2>іі^0

X (f,)

=

X ,

(0) +

X ,

(0)

t t

— хх

Vi)

X ,

(0)

*2

('s )

X(t,)

X,

(0) : +

X ,

(0) /,

(0)

M ' i )

X ,

Следовательно,

при известном

x(ti)

отсюда

можно

получить:

X

(/,)

=

х 2

(<і)

*(/ +

2) = Ф(/ + 2,

/ +

1)[Ф(/ + 1,

j)x(j)

+

+ Г(/+1,

/)ш(/)] +

Г(/ +

2,

/ +

1)ш(/+1)=*

*=Ф(/4-2,

/)х(/) +

Ф(/ +

2,

/+1)Г(/ + 1,

j)w(j)

+

+ Г(/ +

2, /+1)о,(/+1) =

Ф(/ +

2, j)x{j)

+

І + 2

Ф(/ + 2, О Г (/,

1),

+

S

t -

і = / + і

где

2, / ) Д Ф ( / +

2, /+1)Ф(/ + 1,

/).

Ф(/ +

Продолжая

преобразования

аналогичным

образом,

получаем общее соотношение

хЦ

+ п) =

Ф(] + п, /)•*(/)

+

j + n

+

S

Ф 0 4 - ». Ог

0>

і -

1 ) о» (і -

I ),

(4-29)

где п = 1, 2,

. . . , причем

j + n— 1)І....Ф(/+1, t)

Ф(} + п,

i)=<b(j

+ n,

для і = /, / +

. . . , / + «.

Для j + n=,k очевидно, что

я ( £ ) = Ф ( £ ,

+

+

2

Ф(£, 0 ГО', «— 1)а»(*-—

(4-30)

/ = /

+ і

Вспоминая,

что k соответствует tm,

а / — tm-i,

из

уравнения (4-30) получаем, что условная функция рас­

пределения вероятностей x(tm)

при условии

известного

набора значений x(tm-i),

x{tm-2),

x(t2),

x(ti)

зави­

сит только от x(tm-i).

Поскольку

это справедливо для

любых от моментов

времени

ti<t2< ...

<tm,

где m —

произвольное целое число, процесс {x(k),

kel],

очевид­

но, марковский.

Нетрудно

показать, что этот процесс

является также

гауссовским. Полагая

в уравнении

(4-30) / = 0, получаем:

x(k) = <$>{k,

k

i-\)w{i-\).

0) * (0) +

£

Ф (fc, і) Г (/,

(4-31)

реляционной

матрицы.

Полагая

E[x(k)]

= x(k),

из уравнения

(4-28)

имеем:

x{k+l)=0(k+l,

k)x(k)+T(k+l,

k)w{k)

(4-34)

для

всех

Так как х(0)

и w{k),

даны,

уравне­

ние (4-34) является

рекуррентным

соотношением для

математического

ожидания

случайной

последователь­

ности.

P(k)=E{[x(k)—x(k)][x(k)—x(k)]'},

Далее,

полагая

из уравнений (4-28),

(4-34)

и (4-26)

получаем, что

P ( * + l ) = £ { [ * ( * + l ) - * ( f e + l ) ] [ * ( * + l ) -

-

x (k +

I)]'} =

Е ({Ф (k + 1,

k) [x(k)

-

x (k)]

+

+

Г ( £ + 1 ,

k)[w(k)-w(k)]}{4>(k

+

l,

k)[x(k)-

-

x (k)} +

V(k

- f 1,

k) [w (k) -

w (k)}}')

=

=

Ф(£ +

1,

ЩР(к)Ф'{к+\,

k)

+

+

Ф(£ +

1,

k)E{[x(k)-x(k)]\w(k)-

-w(k)]'}T'(k

+

l,

k) +

F(k+l,

k)E{[w(k)-

-ѵ(к)}[х(к)-х(к)У}Ф'(к+1,

k)-\-

+

Г(£ +

1, k)Q(k)T'(k

+

l,

k),

(4-35)

где

два средних

слагаемых

еще

требуется

определить.

Вычитая

почленно уравнение

(4-34)

из уравнения

(4-28), получаем:

,

x{k+l)^x(k

+ l)=(b(k+l,

k)[x(k)—x(k)]+

+ Г ( А + 1 ,

k)[w{k)—w{k)l

'

Вводя

обозначения

x(k)=x(k)—x(k)

и w(k) —

= w(k)—w(k),

это выражение можно записать в .виде

x(k+l)=0(k+l,

k)x(k)+T(k

+ l,

k)w(k)

для k=0, I ...

х > ) =

Ф(£,

0)х(0) +

k

і) Г (г,

с — 1) Si (і - 1).

+ Ц

Ф

(4-36)

і=і

.Умножая уравнение (4-36)

почленно

справа на

w'(k)

и усредняя полученное выражение, получаем--

E[x(k)w'

{Щ=Ф{к,

0) Е [ х(0)

w' (k)] -f-

k

+ £ Ф(6, г) Г (г,

і—

всех і—ï^=k

E[w(i—l)w'(k)]

= 0

для

и

£[Ж(0)Й7'(А)] = 0

для всех k = 0, 1 ... Следовательно,

E{x{k)w'{k)]

= E{[x{k)~

x{k)][w{k)—

W(k)]'}

= 0

для

всех & = 0,

1 ... Это означает, что

второе

и третье

слагаемые в уравнении (4-35) равны нулю и

уравнение

принимает вид:

P(k+\)

= 0(k+l,

k)P(k)Q>'{k+l,

k)

+

+ Г (k + 1, k) Q (k) Г' (k + 1, k)

(4-37)

для

& = 0, 1 ... Так как матрицы

Я(0)

и Q(k)

известны,

причем последняя для всех k = 0, 1,

уравнение (4-37)

реляционной

матрицы -последовательности.

Для каждого значения k характеристическую функ­

цию последовательности можно представить в виде

?x(s,

k) — ехр

jx'(k)s

~s'P(k)s~\,

где s — tt-вектор.

Использование здесь P{k)

может показаться

чрез­

мерным упрощением,

поскольку процесс {x(k),

&е/}

10*

147

что

знания матрицы P{k)

достаточно для

определения

По аналогии с уравнением (4-30) имеем:

k

x{k) =

<è{k, / ) * ( / ) +

Ц

Ф(*. /)Г(г,

i—\)w{i~\)

для

k >• /.

Отсюда ясно,

что

+

S Ф(*. і)Г(і,

t - l ) £ t œ ( i - l ) 3 c ' ( j ) l .

/ = / + і

Е [w іі -1)х'

(/)] = Е [w іі

-1)х'

(0)] Ф' (/, 0)

+

+

£

E[wii-

\)w'il~

\)}Y'il,

/ _ 1 ) Ф ' ( / ,

/).

Как и ранее, E[wii—1)Ж'(0)]

= 0

для

всех і = 1 , 2, ...

Кроме

того,

индекс і здесь

принимает

значения

1 + 2, ...,

k.

Следовательно,

E\0ii—\)w'il—1)]

= 0

Короче

говоря, гауссовость случайной

последователь-

ности

(x(k),

kŒl}

требует для ее описания знания пары

[xik),

Pik,

f); k,

J Œ I } . Марковость позволяет свести это

требование к определению {x(k)t Pik),

ksi}.

стояния системы

x(k) от его математического ожидания.

В силу этой

интерпретации уравнения (4-37), второе

довательности

будет

играть

преобладающую

роль во

всей дальнейшей работе.

Модель легко обобщить, включив в нее управляющее

воздействие:

x(k

+ l)=<D(k+l,

k)x{k)+V{k+\,

k)w(k)

+

+ W(k+l,

k)u(k),

где слагаемое

^(k+l,

k)u(k)

описано ранее.

В

пред­

положении, что

управляющая

последовательность

{u(k);

k = 0, 1 . . . } известна

или может быть сформирована по

желанию,

случайный

процесс

{x(k)\

& = 0, 1,

. . . } вновь

является

гауссовской

марковской

последовательностью.

следовательно, воздействует

только на

математическое

ожидание процесса

{x(k),

/> = 0, 1,

. . . } .

Тогда

x(k+l)

= 0(k

+ \,

k)x{k)+T(k

+ \,

k)w(à)

+

+ W(k+l,

k)u(k)

для k = 0, 1

... Поэтому

x(k+\)—x(k+l)=0(k+l,

k)[x(k)—x(k)]

+

+ Г ( Л + 1 ,

k){w{k)—w{k)l

E[x(k+\)\x{k),

и( £ )]= . ф(А+1,

k)x(k) +

+ V(k + \,

k)ïo(k)+4f{k+\t

k)u(k),