книги из ГПНТБ / Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление

показано, что эти операции вновь приводят к

гауссов-

ским

случайным векторам.

Предположим,

что х — гауссовский

случайный п-век-

тор с математическим ожиданием х

и

корреляционной

матрицей

Рхх,

а А — матрица размера

тХп.

Тогда

слу­

чайный m-вектор

у=Ах

является гауссовским

вектором

с математическим

ожиданием у=Ах

и корреляционной

матрицей РѴУ=АРХХА'.

Доказательство

этого утвержде­

ния

легко получить

с

помощью

характеристических

функций.

Согласно уравнению

(3-32)

характеристиче­

ская

функция

X имеет вид:

ІР, (s) =?Е (e'x's)

=

ехр ( jx's

-

s'Ps^.

(3-44)

Характеристическая

функция

у по определению

где г — m-вектор.

Ь(г)

=

Е(е'у'г),

(3-45)

Так как у —Ах,

то

(г) =

Е [ехр / {Ах)'

г) =

Е [ехр jx'

{А'г)} =

<?х

(А'г)

=

=

ехр

jx'A'r

•

г'АРА'г

=

ехр

j (Ах)'

г

\г-г' (АРА') г

и исходное утверждение доказано.

Теперь допустим, что х и у—гауссовские

случайные

n-вектор и m-вектор соответственно

с совместной харак­

теристической функцией (3-34). Пусть

А и В — действи­

тельные матрицы

размера

рХп

и рХт.

Покажем,

что

случайный

р-вектор

z=Ax+By

является

гауссовским

вектором с математическим ожиданием z=Ax

+ By и

корреляционной матрицей

Рzz=АРХХА

-\-АРХѴВ'-\-ВРѴХА

-\-ВРл1уВ'.

Пусть, кроме того, q означает

(п + т)-мерный

вектор,

а С

обозначает матрицу \\АВ\\

размера

рХ(п+т).

Тогда

z = C\.

матрица А = Рм, т. е. такая матрица, что А2

= Р (см.

[Л. 3-6]).

Теперь рассмотрим случайный я-вектор

у = Р-Ч2(х-х),

(3-48)

Е (У) =

0; Руу = Е (уу') = P-Wppr-W

=

; .

Следовательно,

?ѵ (s) =

exp ( Y s's\ = exp I - - i

-

s2 J.

4

1=1

'

00

00

— 0 0 — 0 0

X

Так как

»=1

j "

exp {—'msi

Ys2j

dsi

=

—00

00

exp ( — d s *

=

J exp (r-iyiSi)

=

—00

00

-

-yiß

I

cos (t/t-s,-) exp ( —

Y

d s

=

V2ve

i = V%

то отсюда

следует, что

1

exp

î(y)

= Ѵ{2к)п

--ТУ'У)-

Из уравнения (3-48)

у'у = (je

-

je)' р-'12р-1'2

(Х-х)

=

(х-

х)' Р'1 (х— X)

8—85

113

Свойства

гауссовского условного

математического

ожидания

В заключение параграфа получим некоторые свой­

ства условного

математического ожидания

гауссовских

случайных векторов. Эти свойства имеют

фундаменталь­

ное значение для задач оценки.

1. Е(х\у)—случайный

вектор, компоненты

которого

являются линейной комбинацией компонент у.

Это

свойство следует

непосредственно

из

уравнения

(3-41)

и п. 2 теоремы 3-2.

2. Разность

x—Е(х\у)

не зависит от случайного век­

разования

вектора

у.

что х — п-вектор,

Чтобы

показать

это, предположим,

у — г-вектор,

а

А — произвольная

матрица

размера

mXr.

Случайные

векторы £ = х—Е(х\у)

и t, = Ay

явля­

ются

гауссовскими. Очевидно,

1 = Е®

= х-Е[Ех(х\у)]

=

0;

Z=

E®

=

Ay.

Отсюда

ясно, что

Р К = Я [ ( 5 - Г ) ( С - Q ' ] =

— Е{[х — Е (х\у)} (у -

у)' А'} =

Е {[(x - х)

-

-

Р*уР^

ІУ -

П

(У-Т>'}А'

= (р*у -

Л , ) Л ' = О,

и искомый

результат

сразу

следует

из п. 1

теоремы

3-2.

у

и z

где z — m-мерный,

ay —

3.

Если

независимы,

r-мерный случайные

векторы, то

Е(х\у,

z)=E(x\y)+E(x\z)—x.

(3-49)

У —7

II PxyPxz ||>

Z 2

Рѵѵ

0

- 1

р - 1

0

^ УУ

0

р

0

р - і

' ZZ

«/ — У

О

Р.,—1

г —

г

= * + л * * 3 " 1

(у - у ) + ( z - s ) =

= £ С ф ) + £ ( . * | г ) - * .

4. Если

г/ и z не обязательно

независимы, то

£(х|г/,

z ) = £ ( * | & z);

(3-50)

Е(х\у,

z)=E(x\y)

+E(x\z)—x,

(3-51)

где

z=z—E(z\y).

Уравнение (3-51) сразу следует из свойств

2 и 3, до­

казанных

выше.

Чтобы

доказать (3-50), убедимся, что в силу уравне­

ния

(3-41)

Е(х\у.

г) =

х\+\\РіуРх

РУУ

РѴг -1

У — У

Ргу

Р гг

Z — 2

Из уравнений

(3-36) — (3-38)

получим:

Руу

Руг

Ргу

Ргг

РУУ + РУУ

РугСРгУРш

-Р^\Р«гС

,—1

~СРгуР\*УГуу

где

С

(PzZ

Pzy^uu Pyz)

* '

Е {х\у,

z)

=

X + {РхуР-1

+

Piyp->PyzCPzyP^

-

-

P*zCPZyP-1)

(у

-

у)

! +

(Р«С -

P*yP-'PyzC)

(z

-

г) =

=

* + I V " 1

+

iP^Pyz

-

P*z)

CPzyP^\

X

Х(У-У)

+

(P*z -

P^Pyz)C(z—z).

(3-52)

С

другой

стороны,

E(x\y,

г) =

Е(х\у)

+ Е(у\г')-х

=

=

* +

P*»P~l

(У-У)

+

Р „PZl

[г -

E{z)\.

Ho

£(z) =

£ [ z - £ ( z | t , ) ] =

0;

P

„ =

E{(x~x)[z-E{z)}>}

=

xz

=

E{(x-x)[z-z-PzyP~l

(y -

y)]'}

=

—

P*z

PxyPyy

Pyz-

Кроме

того,

PzyP~x

P^

z z

=

E{[(z-

z) -

{y -

y)} [(z

-

z

)

-

-

PryP'l

{У -

У)}'}

=

Pzz

-

PzyP^Pyz-

Следовательно,

E

(x\y.

z) =

X +

P^P-1

(y -

jr) +

+

(/>«

-

P*yP~lpyz)

(Pzz

-

V "

'

Py r ) " 1

[Z —

Я

( ф ) ]

=

=

* +

(У -

+

(P«

- P*yP~lPyz)

X

X C [ ( z - 2 ) - P n , P - , 0 / - ^ ) ] =

=

* +

l * V £

+ ( Л ^ Ч *

-

P*z) CPzyP-1]

(У-У)

+

v

+ ( ^ z - - P x y P - 1 P y 2 ) C ( z - 2 ) .

(3-53)

З А Д А Ч И

К ГЛ. 3

3-1. Вывести уравнение (3-3).

3-2.

Как

выглядит функция

f(x\y)

в

примере

3-2

для

случаев

ï = + l и у

=—П

3-3.

Изобразить функцию f(xi,

xz)

из примера 3-3

для Хі = х2 и

отметить на рисунке х.

3-4. Доказать четыре основных свойства условного математиче­

ского ожидания,

приведенные на стр. 98.

3-5.

Вывести

уравнения

(3-36) — (3-38).

3-6.

Пусть

x — гауссовский

случайный п-вектор с

математиче­

ским ожиданием х и корреляционной матрицей

Рхх.

Показать, что

вектор у=Ах+Ь,

где А—матрица

размера тХп,

а Ь — постоянный

гсг-вектор, является гауссовский

случайным

вектором

и определить

его математическое ожидание и корреляционную

матрицу.

3-7..

С помощью гауссовской плотности распределения

(3-33),

используя

определение Е(х)

и Е[(х—х)(х—г)1],

показать, что Е(х) =

= х и Е[(х—х)

(х—х)'] =

Р.

3-8.

Пусть

x — гауссовская

случайная

величина

с нулевым мате­

матическим

ожиданием и

дисперсией

Р =

о"2 >0.

Показать,

что А-й

момент

x,

определяемый

соотношением

р-ь = £ ( * * ) ,

где k—\, 2,

имеет вид

1 X 3 X

•• • X

{k — 1) о* для четных k;

для

нечетных

k.

Указание.

Использовать

характеристическую

функцию случайной

величины и вывести соотношение

при k=\,

2, ..., h—i также является гауссовским случайным

векто­

ром?

3-10. Показать с

помощью

функции

плотности

распределения

(3-35), что два некоррелированных

гауссоЕСких

случайных

вектора

независимы в предположении, что матрицы РХх

и Руѵ

положительно

определены.

Остальные задачи имеют своей целью

иллюстриро­

вать

возможность

применения

некоторых

результатов

главы для получения оптимальных оценок

случайного

вектора.

3-11.

Пусть X и у—

случайные векторы с нулевыми математиче­

скими ожиданиями п- и m-мерные соответственно.

Предположим,

что

вектор у

известен,

и

обозначим через jT=

= h (у)

оценку х,

где

h — определенная

л-мерная

вектор-функция

вектора у; т. е. значение

Л(-) известно при любом заданном

значе­

нии у.

Поскольку ошибка

оценки,

определяемая

здесь

как х

=х—х,

и

положить

£* [g (*)] =

£« {£*[g

(*)ЫЬ

g(x)

~?'&

=

(х—х)'

{х — х).

Этот результат показывает, что для квадратичного критерия ка­

чества наилучшей или оптимальной

оценкой

является

условное мате­

матическое

ожидание.

3-12. Как выглядит выражение для оптимальной оценки в задаче

3-11, если X и у

независимы?

3-13. Пусть

X — «-мерный,

а

у — /«-мерный

случайные

векторы

с

нулевыми

математическими

ожиданиями

и известной

совместной

плотностью

распределения f(x,

у).

Предположим,

что

значение у

известно и нужно определить

оценку х

вида

х=А°у,

где

А0—матрица

размера пхпг. Предположим

также, что А0

требуется

отыскать среди

множества всевозможных матриц А размера пХпг

таким

образом,

чтобы минимизировать

критерий качества

L =

E[(x-Ay)'(x-Ay)).