Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

298

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 369 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

"І

	QS	ST	TP
		or
		Р	и с. 67
Многие приборы, применяемые в технике и медицине,					запи
сывают	непосредственно на бумаге или на			экране электронно
лучевой	трубки результат исследования в			виде графика.	Так,
кривая,	записанная на	ленте	барографа,	определяет давление

как функцию времени. С помощью электрокардиографа на плен ке фиксируется величина биопотенциалов U, возникающих при сокращении сердечной мышцы, как функция времени t (рис. 67). Энцефалографы, гастрографы регистрируют в виде графика зависимость биопотенциалов от времени. В настоящее время созданы многоканальные векторкардиографы, дающие возмож ность графически наблюдать одновременно несколько функцио нальных зависимостей.

Функциональную зависимость, заданную аналитическим спо собом, всегда можно представить в виде графика; обратная задача решается не всегда. Преимуществом графического спо соба задания функции является его наглядность.

III. Табличный способ

При исследовании явлений природы иногда приходится встречаться с такими переменными величинами, факт функцио нальной зависимости между которыми устанавливается на опы

те или наблюдением,	но	точная	связь	между	величинами	еще
не открыта, т. е. не	выражена		математической		формулой.
В таких случаях	по	результатам		наблюдений составляются

таблицы, в которых содержатся значения рассматриваемой функ ции, соответствующие различным частным значениям аргумента. Этот способ задания функциональной зависимости носит на звание табличного. Хорошо известны таблицы логарифмов, три гонометрических функций, квадратных корней и т. п. — это примеры табличного способа задания функции.

Большим удобством табличного способа является то, что значения функции уже вычислены, так что ими можно немед-

ленно воспользоваться. Но таблицы часто занимают большой объем, составляются с затратой большого труда. В последнее время с развитием вычислительной техники составление таблиц стало менее трудоемким и роль их значительно возросла.

Все способы задания функции как бы дополняют друг дру га, и очень часто возникает необходимость перехода от одного способа к другому.

§ 42. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (СУЩЕСТВОВАНИЯ) ФУНКЦИИ

Областью определения функции, заданной формулой,				назы
вается	множество	всех действительных числовых	значений	аргу
мента,	каждому	из которых соответствует	действительное
числовое значение		функции.
Множество значений функции называется областью ее				изме
нения.

Для области определения функции различают интервал и

отрезок.

Интервалом

называется

совокупность

всех

значений

аргу

мента

от

х =

до х — Ь,

не

включая

и Ь, для

которых

функция

имеет

действительное

значение,

т.

е. а <

х < Ь.

Ин

тервал

обозначается

как (а,

Ь). Не

принадлежащие

интервалу

(а, Ь) числа а и Ъ называются

его концами: а — левым,

Ъ — пра

вым;

разность

Ъ — а

называется

длиной

интервала.

Интервал

(а, Ь) называют

также

открытым

интервалом.

Например,

для

функции

у — —

областью

определения

являются

два

интер

вала: ( —сю,

0) и

(0,

+ о о ) .

Значение х =

0 в область

существо

вания

функции

не

входит,

так

как

при

х =

0 функция

не

существует.

Отрезком

называется совокупность

всех

значений

аргумента

от х = а до х = Ь, включая

и Ь, для которых функция

имеет

действительное значение, т. е. a^Cx^Cb.

Отрезок обозначается

как [а, Ь]. Отрезок

[а, Ь] называется также

замкнутым

интер

валом.. Например, для функции у = У

1—хг

областью опреде

ления является отрезок [— 1, 1]. Функция

у будет

иметь

дей

ствительные

значения,

если

1 — х2

0, x 2 < J ,

| х | < ; 1 ,

—1 •<

< х < 1 .

полуинтер

Иногда областью определения функции является

вал [а, Ь) или (а,

Ь],

т. е.

множество

чисел х,

определяемых

условиями: а <

х < b

или а <

х <; Ь.

В некоторых случаях область определения функции выяс няется из физического или геометрического смысла этой функ

ции. Например, если		рассматривать		площадь круга S как функ
цию его	радиуса г:	S	= nrz, то	областью	определения	этой
функции	будет интервал		(0, +со), т. е. 0 < г <		+ 0 0 . т а к к а к	по

геометрическому смыслу радиус г может принимать только по ложительные значения, хотя сама функция существует и для отрицательных значений г.

§ 43. СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ

«Функция от функции» носит название сложной

функции.

Пусть переменная у зависит от переменной и, которая

свою

очередь

зависит

от переменной

х, т. е. y — f(u),

и =

ц>(х). Сле

довательно,

при

изменении

будет

меняться

и,

поэтому

будет меняться

и у.

Значит у

является

сложной функцией ОТ X,

т. е. у = f[(p(x)].

Переменная и в данном случае является

про

межуточным

аргументом.

Пример 1. у

= (х2

+ Зх)2

есть сложная

функция

от

х,

так

как она

состоит

из

цепочки

элементарных

функций

и = х2

+ Зх и

у =

и2.

Пример 2.

у = sin4 л: также

сложная функция

от

х,

так

как

ее можно представить в виде цепочки

функций и = sin х,

у =

и*.

Аналогичным образом устанавливается зависимость между

двумя переменными

через несколько

промежуточных аргумен

тов. Многие

физические,

химические,

биологические

процессы

выражаются

сложными

функциями.

Так,

скорость v свободно

падающего с

высоты h

тела:

v =

V~2^h,

где g — ускорение свободного падения, является

сложной функ

цией высоты

так

как

ее

можно представить

виде

цепочки

функций и = 2gh, v = V и.

Давление, возникающее в тканях при прохождении звуковой волны (при отсутствии кавитаций), является сложной функцией

от	интенсивности			звука:
					р=	Vtpvi,
где	р — плотность			ткани;	v — скорость			распространения	звуко
вой	волны;	/ — интенсивность					звука.	Действительно,	если
и =	2 р v 1,	р —	\|'	и.
	Средняя	квадратичная			скорость молекул данного газа
						•лГжГ
где	R — универсальная газовая						постоянная; Т — температура
газа; (х — молекулярный					вес,	является		сложной функцией Т,
так	как можно		обозначить 3			R T	= и и получить vKB = У		и.

			§ 44. НЕЯВНАЯ ФУНКЦИЯ
	Функция называется явной, если она задана формулой, пра
вая	часть которой		не	содержит зависимой переменной. Напри
мер, функция у =			х%	явная.
	Функция у аргумента х называется неявной,						если она зада
на	уравнением,	не разрешенным				относительно	зависимой пе
ременной:
				F(x,	у) =	0.
	В уравнении	х2	4- у 2 = 1 функция у является				неявной.
	Чтобы выразить функцию в явном виде, достаточно урав
нение F (х, у) =		0	разрешить		относительно у .

Но когда разрешить уравнение относительно функции не возможно или нецелесообразно, то его оставляют неразрешенным.

Например,		уравнение		Кеплера	у — є sin у =	х (0 <	в <	1)	эле
ментарными		средствами		не может быть разрешено			относитель
но у . В данном случае				функцию у приходится изучать, поль
зуясь	непосредственно			уравнением Кеплера.
Из	уравнения		F (х,	у) = О по	значениям	независимой			пере
менной х можно			найти	частные	значения	зависимой		перемен
ной у .	При	этом	возможны два		случая:

1) каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. В этом случае неявная функция однозначна, например,

х — у= 1, у = х—\\

2) одному значению аргумента соответствует несколько значений функции. В этом случае неявная функция много значна. Например, х — у г = 0, у = ± V х, при любом значе нии х > 0 функция у принимает два значения:

у = V х и у = — У~х-

Ряд законов физики и других наук выражаются неявными функциями, например, зависимость между давлением р и ско ростью v движения идеальной жидкости выражается уравне нием Бернулли:

р 4- ?2 = c o n s t >

где р — плотность жидкости.

§ 45. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

При изучении функциональной зависимости между перемен ными выбор аргумента и функции определяется характером задачи. Так, например, в формуле s = vt равномерного движе ния за аргумент можно принять время t, а за функцию —

скорость v, тогда v = -у-, т. е. скорость будет функцией вре мени t v — f(t). Но можно за аргумент принять скорость v, а за функцию — время t, тогда t = -^-, т. е. t — %(v). В этой кон кретной физической задаче мы меняли ролями аргумент и его функцию. Причем в обоих случаях каждому значению аргумен

та соответствует единственное значение функции.

Вообще, когда мы имеем уравнение с

двумя

переменными

хну

вида

y=f(x),

то,

решая

его

относительно

х,

мы

опре

деляем

х как

функцию

у: х

— ср (у).

Такие две

функции

у =

= f(x)

х = ц>(у)

называются

взаимно

обратными,

одну

из

них называют

прямой

функцией,

а другую

обратной.

Пример

Для

функции

у =

ах -\-Ъ

обратной

является

функция

Пример

Для

функции

у = хг

обратной

является

(дву

значная) функция

х ~

± V У-

Обратная функция, как правило, многозначна.

Исключение

составляют

монотонные

функции

(§ 40). Монотонные

функции,

удовлетворяют

условию

взаимной

однозначности.

Например,

показательная

функция

у — ах

монотонна на всей числовой оси.

Обратная

ей

функция

у =

loge

также

монотонна

одно

значна (рис. 71, 72).

От

многозначности

обратной

функции

можно

освободиться,

если сузить область

изменения

аргумента

для

исходной

функ

ции. Так, в примере 4 можно устранить отрицательные зна чения аргумента х и тогда обратная функция х = + У~У будет однозначной.

Если сохранить прежние обозначения переменных, то график

функции

у — f(x)

служит

одновременно

графиком

обратной

функции

= Ф (у).

Но обычно

обозначения

переменных меняют

ролями

аргумент

обратной

функции

обозначают буквой х,

как

и аргумент прямой

функции,

т. е:

для прямой

функции

y =

f(x)

обратную

функцию

записывают

виде у = <$(х). Гра

фик

обратной функции

у =

ц> (х)

будет

симметричен

графику

функции у =

f(x)

относительно

биссектрисы

первого и

третьего

координатных

углов.


Например, для		функции
у = х2	обратная	двузначная
функция	X — ± V У		или
ц = ± V х. Графики		этих фун
кций приведены на рис. 68.			Для

функции у = х2 обратной (одно
значной)	функцией	является
у = -г V~x-	График	обратной
функции у = + V х		симмет

ричен с графиком данной функ

ции у = х2	относительно бис
сектрисы	первого и третьего

координатных углов.

Р и с . 68

§ 46. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

При изучении множества различных функций берут за ос нову группу так называемых основных элементарных функций.

Рассмотрим кратко

эти

функции.

/. Степенная

функция

у — хп,

где п — любое

вещественное

число.

Область определения степенной функции зависит от пока

зателя степени

п.

Для

п > 0

областью

определения

является

интервал

(— со,

+ оо), т. е. вся числовая ось.

Для п <

об

ластью

определения являются

два

интервала

(

оо,

(0,

со), т. е. вся

числовая

ось,

за исключением

точки

х =

Если

п >-0

(п = 0,

2, ...), то графики степенной—

функции

представляют собой параболы 0-го,

1-го, 2-го и т. д. порядков.

На

рис.

69 приведены

графики

степенной

функции

для

п =

у = 1; п = 1, у = х; п = 2, у = х2

и п = 3, у = хъ.

Если

п < 0

(п = — 1,

—2,...),

то графики

степенной

функ

ции

представляют

собой

гиперболы

различных

порядков,

асим

птотами которых служат оси координат. На рис. 70 приведены

графики степенной функции для				п = — 1, у =		и	п — — 2,
	1
У =*	It'
ll.	Показательная	функция	у = ах, где		а — постоянное по
ложительное число,		отличное	от	единицы	(а > 0,	аф	1).

Областью определения данной функции является интервал (—оо, + со). При а > 1 функция имеет положительные значе ния и монотонно возрастает от 0 до + оо, при 0 < а < 1 функ-

Р и с. 69

Р и с. 70

ция монотонно убывает от — со до 0. График показательной функции приведен на рис. 71.

///. Логарифмическая функция у — hgax, где с > 0, а ф 1.

Графики логарифмической функции приведены на рис. 72. Логарифмическая функция у — loga х является обратной для

.показательной функции у = ах (§ 45). Свойства логарифмической функции.

1.	Логарифмическая				функция возрастает					для всех значений х
при а > 1 и убывает					при	0 < а <	1.
2.	При	х =	0	логарифмическая			функция		не существует, т. е.
стремится		к	+	со, либо		к —• со.
3.	Для	любых		положительных			чисел	хг	и	х2
				loga	(ххх2)	= \oga	хх +	loga	х2 .

Для

любых

положительных

чисел

х1

х2

loga - g - = loga

хх

— loga

Хг.

Логарифмическая

функция

для положительного

числа

степени

(п — любое

число)

равна

произведению

степени

на

ло

гарифмическую

функцию числа

х:

logax"

n\ogax.

Логарифмическая функция, основанием которой является

число

10, образует

десятичные

логарифмы

обозначается как

y=\gx.

Логарифмическая функция используется в различных при

кладных

науках. Так,

например,

концентрацию

ионов

водорода

в растворе принято выражать в логарифмической форме.

Водородным показателем рН называется отрицательный ло

гарифм концентрации

[Н+] ионов водорода в растворе:

рН=

— lg[H+] =

I g ^ p y

или

[ Н + ] =

ЮР".

Следовательно,

раствор,

котором

[Н+] =

1, имеет

р Я = 0 ;

раствор,

котором [Н+] =

10~5

имеет

рН=Ъ,

так

как

рН —

= — l g l 0 - 5 =

рН

Для

перевода

значений

концентрацию

наоборот

применяют правила логарифмирования. Например, при концент рации

[Н+] = 3,6-	Ю - 4 ; р Я = — l g ( 3 , 6 -		10-4 ) = - ( l g 3 , 6 - 4 1 g l 0 )		=
	=	—(0,56 —4) =		3,44.
Наоборот,	раствор	с рН = 9,7	имеет концентрацию [Н+]		=
= Ю - 9 - 7 ,	так как	9,7 = — lg[H+],		lg 109 '7 = — lg[H+] =
		l

[ H + ]

low = _ L _ [h+] = ю-9 -7 .

[ H + ]

IV. Тригонометрические функции

Тригонометрическими функциями острого угла называются отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника.

Тригонометрические функции любых углов по величине и знаку рассматривают в круге, принимая за единицу измерения угла радиан.

	ctgoc			В круге единичного						ради
			уса тригонометрические							фун
			кции		равны			длинам		линий
			синуса,			косинуса,			тангенса,
			котангенса				(рис. 73). Изменяя
			величину			угла а от			— со до
			+ со и обозначив а через х,
			можно			построить			графики
		a	всех тригонометрических фун
			кций в прямоугольной систе

			ме	координат.
				1. Функция				у — sin х.		Об
			ластью		определения				данной
			функции			является			интервал
	Р и с . 73		(— со,		+	со). Функция				у =
			=	sin	х		—	ограниченная
(\| sin х \| < ; 1), периодическая, с периодом					2л;		графиком ее			явля
ется	синусоида (рис. 74).	Функция		t/ =	sinx			нечетная.		Это
хорошо видно на графике: он симметричен							относительно на
чала	координат.

2. Функция y = cosx. Эту функцию можно получить из функции у = sin (х + л/2), используя формулы приведения. Таким образом, график функции у = cos х есть синусоида, сдви нутая по оси Ох влево на л/2 (рис. 75), и называется косину соидой. Областью определения данной функции является ин тервал (— оо, + со). Функция у = cos х ограниченная (| cos х | -< 1), периодическая, с периодом 2л. Функция y = cosx четная, ее график симметричен относительно оси ординат.

	3. Функция y = tgx.			Областью		определения		функции		у =
= tgx является интервал (—оо, +						со), за исключением			точек
х=	±{2k+	1)я/2,	где	k = 0,	1, 2,	3, ...
	Прямые, параллельные оси				Оу	и	проходящие через		точки
х =	± (2&+1) л/2, являются асимптотами функции у — igx								(§ 20).
Функция		у — tg х	нечетная.		График		функции	приведен		на

-/ 2

Р и с . 74

Р и с .

рис. 76.

Кривая

функции

t/ — tgx носит

название

тангенсоиды

и симметрична

относительно

начала

координат.

4. Функция

у = ctg х. Областью

определения

функции

у —

— ctgx

является

интервал

(

о о , +

оо), за исключением

точек

х =

kn,

где

k =

0, 1, 2,

3,...

—

Прямые, параллельные

оси Оу

и цроходящие

через

точки

х =

кя,

являются

асимптотами функции

у — ctgx. Функция

у = ctgx нечетная. График функции приведен на рис. 77. Кри вая функции носит название котангенсоиды и симметрична от носительно' начала координат.

Обратные тригонометрические функции

Функции

у =

Arcsin х, у =

Arccos х,

у =

Arctg х,

у =

Arcctg х

являются

обратными для

функций

j/ =

sinx,

y = c o s x ,

y =

tgx,

у = ctg х

соответственно.

Графиком функции у =

Arcsin х

(см.

определение

обратной

функции (§ 45) является синусоида

х =

sin у

(рис. 78). Функция

у = Arcsin х

определена

на

отрезке

[ — 1 ,

и является

бес-

конечнозначной, т. е. любая прямая в отрезке

[ — 1 , 1], парал

лельная

оси Оу,

пересекает

линию

у =

Arcsin х в

бесконечном

множестве

точек.

Для того чтобы каждому значению х

на

отрезке

[— 1,

соответствовало

единственное значение

функции

у = Arcsin х,

введем следующее дополнительное условие: потребуем,

чтобы

величина

находилась в отрезке [—я/2,

л/2], т.

е.

— я / 2 <

< . у ^ я / 2 .

Тогда каждому

значению

из

отрезка

[ — 1 ,

будет соответствовать единственное значение у, лежащее в от резке [—я/2, я/2]. Полученную однозначную функцию обозна чают у = arcsin х и называют главным значением или главной

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 369 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ