книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

потерь носит название уравнения

материального

баланса.

Оно

имеет следующий вид:

Gi = G2 +

G3 +

G4 - f G„,

где Gi — исходные материалы;

G2 — готовый продукт; G3

— по­

бочные продукты; G4 — отбросы; Gn—сумма

материальных потерь.

Пользуясь уравнением материального

баланса,

можно

опре­

са,

как величину

выхода

і\ =

100% и технологические тра­

ты

е =

|а - 100%.

Пример 3. Найти выход и технологическую трату, если для

получения цинковой

мази

введено в производство 10 кг окиси

цинка

в мельчайшем

порошке

и 90 кг вазелина. При этом ГО­

ТОВОГО

продукта — цинковой мази — получено 99 кг.

Р е ш е н и е , d

=

Ю +

90 =

100 кг, G2 = 90 кг,

1 = щ -

100 = 99%,

s = - 4 - 1 0 0 = 1 % .

Пример

4. Дигидрат

хлорида бария имеет

молекулярный

вес 244,31

и по формуле

ВаС12 • 2 Н 2 0 содержит

36,032 воды.

Р е ш е н и е .

36,03 -100

=

. .

С П .

—

14,75%.

В химии

и фармации,

биологии, медицине проценты

нахо­

дят широкое

применение

для

выражения концентрации

рас­

творов.

водноспиртовой смеси 40 мл чистого

спирта и 60 мл воды);

в) в весообъемных процентах, показывающих

весовое коли­

чество растворенного вещества (в г) в

100 мл раствора

(напри­

мер, 50%-ный раствор глюкозы содержит

50 г глюкозы и 68,8 г

дистиллированной воды. При этом

получается

118,8 г

раство­

ра, объем которого будет равен 100 мл;

так как удельный вес

50%-го раствора глюкозы Нравен 1Л88г/мл,

118 8

100 мл).

т о 1 / = ] - щ =

При изготовлении жидких лекарств в аптеках обычно поль­

зуются заранее приготовленными

концентрированными

раство­

рами медикаментов, так называемыми

«концентратами»,

и дру­

Пример 5.

Приготовить

200

мл 10%-го раствора хлорида

кальция (СаС12), если имеется 50%-ный

концентрат

СаС12 .

в

Р е ш е н и е .

50%-ный концентрат СаС12 содержит 50 г

СаС12

100

мл

раствора.

содержит 10 г СаС12 в

100 мл

10%-ный раствор СаС12

рас­

твора.

20 г СаС12

200 мл

10%-ный раствор СаС12 содержит

в

раствора.

50 г

СаС12

— 100 мл раствора 50%-го концентрата

СаС12 .

20

г

СаС12

— х

мл

раствора

50%-го концентрата СаС12.

х =

2 0

5 0

1 0 °

= 40

мл

раствора

50%-го концентрата СаС12 .

Для

200

мл

раствора 10%-го

раствора СаС12 нужно 40 мл

50%-го концентрата СаС12 и 160 мл воды.

Пример

6.

Сколько

нужно взять

20%-го раствора

бромида

натрия

(NaBr),

чтобы получить 4 г NaBr?

г

Р е ш е н и е .

20%-ный

раствор

NaBr содержит

20

NaBr

в

100

мл

раство ра и 4 г NaBr

в х

мл

раствора.

4 • 100

о л

мл.

20

= 20

§ 38. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Числовые значения величин, с которыми приходится иметь

дело при обработке

результатов физико-химических

и биологи­

ческих

измерений,

являются

большей

частью

приближенными.

Такими же величинами являются многие

константы,

приводи­

мые в справочниках. Например,

для ускорения

силы

тяжести

в справочниках

дается

значение

g = 9,81 м/сек2,

для

отноше­

ния длины

окружности

к

диаметру

я = 3,14, для универсаль­

ной

газовой

постоянной

R = 8,31 • 103 дж/кмоль • град,

скорос­

ти

света

в вакууме

с = 3 • 108

м/сек.

При более

точном

изме­

рении

эти величины оказываются

равными: g = 9,80665

м/сек2,

я=3,14159, R = 8,316-103 дж/кмоль-град,

с = 2,99792-108

м/сек.

Но

и эти значения

в свою

очередь

являются

приближенными,

так

как

при

измерениях

нельзя

получить

истинное

значение

физической

величины.

При вычислениях часто

стремятся

получить такую

степень

точности

результатов,

которая

не оправдывается

точностью ис­

пользованных

данных.

Это

приводит

к

бесполезной

затрате

труда

и времени. Поясним

это на примере.

Р =

Пусть

требуется

определить

массу

тела,

вес

которого

= 2,4 н. Без критического подхода к вычислениям

можно

полу­

чить такой

результат:

m

= - £ _ = _ i d .

=0,244648... кг.

Числа

2,4 и 9,81 приближенные,

а это означает,

что

послед­

няя

цифра

у них сомнительная. Эти числа

могли быть приня­

ты

такими: первое

2,5 или 2,3; второе

9,8 или 9,82. Таким об­

разом, масса тела могла оказаться, если ее вычислять

с

такой

же

точностью,

как это сделано

выше, или

т

=

- | | =

0,255102... кг,

или

т

=

- | І 2 - = 0,234215...

кг.

Сравнение

трех

результатов

показывает,

что они

отличают­

ся

уже

вторыми

десятичными

знаками

и

что

достоверным

является

лишь

первый

знак,

а

второй

сомнительным. Осталь­

ные цифры

являются совершенно случайными.

Следовательно, работа

по вычислению

большего

числа

зна­

ков, чем первый

после запятой,

оказалась бесполезной,

поэтому

приближенные вычисления следует вести с соблюдением

сле­

дующих

правил.

1. Результат

надо

писать

с таким

числом

значащих

цифр,

чтобы

только

последняя

цифра

была

сомнительной,

а

предпо­

следняя

— достоверной.

ностью до одной десятитысячной грамма,

а второе — что

т у ж е

навеску брали на технических весах

с точностью

около

одной сотой грамма.

ра равна или больше 5.

2. Все цифры,

кроме

нуля,

всегда

значащие.

Нуль

являет­

ся значащей цифрой,

если

он стоит между

другими

значащими

цифрами.

Например, в числе

0,0107

первые

два нуля

слева

не

значащие,

а нуль

между

1 и 7-—значащий.

Нули, написанные

в правом

конце

числа

(целого или дробного),

также нужно

рассматривать как

значащие,

если

только

они

не

стоят

на

только сотни и десятки, но и

единицы. Если же мы учиты­

ваем

только сотни,

тогда

то же число должно

быть

изображе­

но в

виде

4 • 103.

Приближенное

число,

содержащее

незначащие

цифры, при­

нято

записывать как произведение двух множителей,

первый из

которых представляет собой число, состоящее только

из знача­

щих

цифр, а второй

десять

в соответствующей

степени.

Например:

8520000 =

8,52-10е (три значащих

цифры),

852000Q = 8,5-106

(две значащих

цифры).

3. Никакие

арифметические

действия

над

результатами

наблюдений

не

могут

увеличить

точность

этих

наблюдений и

точность

конечного

результата.

Поэтому

если

в цепи

вычисле­

ний (или измерений) имеется какое-нибудь

сомнительное число,

то точность конечного результата не может быть

большей, чем

точность наименее надежного звена в цепи

вычислений или

измерений.

4.

При

сложении

и вычитании

приближенных

чисел следует

сохранять

в окончательном

результате

(и

слагаемых)

не боль­

ше знаков

после

запятой,

чем их

имеется

в

наименее

достовер­

ном

числе.

Пример 7. При сложении

чисел

4,462 +

2,38 +

1,17273 + 1,0262 =

9,04093

следует слагаемые

и сумму округлить до сотых долей, т. е.

4,46 +

2,38 +

1,17+

1,03 =

9,04.

5.

При умножении

и делении

приближенных

чисел

резуль­

тат

следует

округлять

до такого

числа

значащих

цифр,

сколь­

ко их имеет

приближенное

число

с

наименьшим

числом

знача­

щих

цифр.

Если некоторые данные имеют больше

значащих

цифр,

чем другие, то

их предварительно

следует

округлить,

сохраняя лишь одну лишнюю

цифру

по

сравнению

с наименее

достоверным

числом.

Например, / 1 , 1 7

• 1 0 - 8 ^

1,08 • 10"4 .

8. При

вычислении

сложных

выражений

следует

применять

указанные

правила

в соответствии с видом

производимых

дей­

ствий.

Пример,» . Вычислить < " * + ' ™ ? f f *

•

Р е ш е н и е . Сомножитель

5,1 имеет наименьшее

число

зна­

чащих цифр—две.

Поэтому

результаты

всех промежуточных

вычислений

должны

округляться

до трех

значащих

цифр:

Г л а в а VII . ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ

ЗАВИСИМОСТЬ

МЕЖДУ ВЕЛИЧИНАМИ

§ 39. ПОНЯТИЕ

ФУНКЦИИ

Все процессы в окружающей нас жизни и в природе опи­

сываются взаимно связанными между собой

переменными

вели­

чинами. Изменение

одной

из них

вызывает

изменение

другой

величины,

с ней связанной;

например, при

возрастании

объема

газа уменьшается его давление при постоянных массе и

темпе­

ратуре; если увеличивается ток, проходящий

через нить

нака­

ливания,

возрастает

температура

нити;

с

увеличением

ат­

или

менее

произвольно,

тогда

как

значения остальных

величин

(зависимых

переменных

у) определяются

значениями

первых.

В примерах,

указанных

выше,

объем,

величину

тока, дав­

ление можно принять за независимые переменные. Тогда

дав­

ление

газа, температура

нити

накаливания,

температура

кипе­

ния воды будут зависимыми переменными.

Независимая

переменная

х

определяется

заданием множе­

ства X

своих

значений.

Определение

1.

Переменная

у

называется

функцией

незави­

симой

переменной

х

с

областью определения

X,

если

каждому

значению

х,

принадлежащему

Х(х^Х),

соответствует

одно

или

несколько

определенных

знатний

у.

у

О б о з н а ч е н и я .

То, что

величина

является

функцией

от

х,

записывается

в

виде у =

f(x)

(читается:

«игрек

равно

эф

от

икс»),

где

х — аргумент;

/—начальная

буква

латин­

ского слова functio, она выражает

совокупность

действий,

которые нужно выполнить над х,

чтобы

получить

значение у.

Частные значения

функции

у

можно

получить,

если

аргу-

менту х

придавать частные (конкретные) значения. Например,

у = f (а)

при х = а.

Для функции у = хг +

1 при

х = 2 ух=2

= Д2) = 22 +

1 = 5;

при

х =

1 # х = 1

= /(1) = I 2

+ 1 =

2 и т. д.

дру­

При

наличии нескольких функций, кроме /, применяют

гие

буквы: ф,

'Ь, F,

Ф или индексы

(значки) Д,

/2 , /3 , ... . На­

пример,

у =

х3 , у =

/ (х);

г =

ы5, z = ф (ы);

или

о = t*, v =

ф (/)

y =

h(x),

z = f2(u),

v =

f3{t).

Разделение

переменных

на зависимые

и независимые

являет­

ся

условным.

Так, в законе Бойля — Мариотта

pV = const

при

m = const, Т =

const за независимую переменную можно

при­

нять как V, так и р.

Существуют функциональные

зависимости

от одного

и бо­

лее аргументов. Сначала изучим функции одного аргумента.

Если

какая-то

величина

у рассматривается

как функция ар­

гумента

х, то для

этого

вовсе

не

обязательно,

чтобы

между

ясняется не просто течением времени, а рядом более

глубоких

причин.

§ 40. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ

Напомним

простейшие особенности функции,

рассмотренные

в средней школе.

Определение

2.

Если каждому

значению

аргумента

отвечает

одно

значение

функции, то функция называется однозначной;

если

два

или

больше,—то

многозначней

(двузначной,

трех­

значной и т. д.).

Например, функция у = kx однозначна,

функция у = ±У х

для х > 0 двузначна.

Если

особо не оговорено,

что

функция многозначна,

подразу­

мевается,

что она

однозначна.

Определение

3.

Функция

у =

/ (х) называется

четной,

если

при

изменении

знака у любого значения аргумента

значение

функции

не

изменяется:

f(-x)

=

f(x).

Функция

y = f{x) называется

нечетной,

если

при

изменении

знака у любого

аргумента

изменяется

только знак

функции, а

ее абсолютная

величина

остается

без

изменения:

/ ( - * )

=

- / ( * ) •

Примерами

четных

функций

могут

служить: у =

х2, у —

= cosx; примерами нечетных функций:

у =

х3,

у =

sin

х.

Определение

4. Функция

y — f(x) называется

периодической,

если существует

такое

положительное

число

а,

что

для

любого

л справедливо

равенство

f(x

+

a) =

f(x).

f(x

+

2a) = f(x),

fix —2а)

=

fix),...,

f(x

+ ka)^f

(х),

где k — произвольное

целое

положительное

или

отрицательное

число.

число а,

Наименьшее

при

котором

соблюдается

условие

f (х 4- а) =

f (х), называется

периодом

функции.

Примером

периодической функции

служит функция у = sin X

с периодом

2п.

Очень

важной

особенностью

функции

является ее

возраста­

ние и убывание.

Определение

5.

Функция

называется

монотонно

возрастаю­

щей в интервале,

если большим

значениям

аргумента

соответ­

ствуют

большие

значения

функции:

XJ) из

/(*г) >

/Ч*і)

для

любых хх

и

х2

(*2 >

интервала

(а,

Ь).

Функция называется монотонно убывающей, если большим

значениям

аргумента

соответствуют

меньшие

значения

функ­

ции: f (хг)

<

/ (xj

для

любых

хх

и

х2

(х2 >

хх)

из

интервала

(а, Ь).

§ 41. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ

Зависимость функции от аргумента может быть установлена

различными

способами.

I. Аналитический способ

Этот способ задания функции состоит в

том,

что

связь

между

переменными

хну

записывают

в

виде

математической

формулы

или

описывают

словесно.

Например,

аналитическое

определяться несколькими

формулами.

Например, функция

|

х2 для х

>

0;

^ ~~ і

— х2

для

х <

0

или

tgx, если хФл/2

+

Ігя,

где

k = 0; + 1 ; +2,...

£(0,1) = 0, Е(3,

7) =

3, Е(—я)

= - 4.

Аналитический

способ задания функции компактен (занимает

мало места),

легко

воспр оизводим

(формулу

легко

переписать)

и, самое главное,

наиболее

приспособлен

к

выполнению мате­

матических

действий — а лгебраических

(сложение,

умножение

тегрирование и т. д.) и др. Но он не всегда нагляден,

и для

определения значений функции иной раз необходимо

произ­

вести ряд сложных вычислений.