Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

243

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 367 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Р и с. 60

или

в точку А вектор ВА. Дополним треугольник ОАВ до параллело грамма ОВАС. Очевидно, АС = ОВ, следовательно, АС = ОВх . Вектор

OA является диагональю паралле лограмма, поэтому

ОС + ОВ = ОА

ОС OA 6в = ОА + ОВх.

Но вектор

			ОС = ВА = ОА —			бВ.
Таким образом,			чтобы из вектора			OA	вычесть		вектор		ОВ,
надо прибавить		к	OA вектор	ОВъ	противоположный				вектору		ОВ.
С другой стороны, чтобы из одного вектора вычесть										другой,
нужно	отнести	их	к общему	началу		и провести		вектор из			ко
нечной	точки вектора-вычитаемого				в	конечную		точку		вектора-
уменьшаемого.
С	вычитанием		векторов	мы,	например,		сталкиваемся				при

анализе криволинейного движения, определяя изменение скорос ти движения Av = v2 — v-i (рис. 60).

Пример 2. По данным векторам а и Ь построить каждый

из следующих			—>	—>	- >- —>
из следующих	векторов: 1) а +			Ь\ 2) а — Ъ.
Р е ш е н и е .	1) Найдем		а + Ь.		—>	—>
					—>	—>
I с п о с о б .	Помещаем		начало		векторов а и Ь в точку О
(рис. 61, а) и	строим	параллелограмм ОВСА.				Диагональ ОС
	—>•	- >-
представляет сумму а +		Ь.
				а	С

(f В

Р п с. 61

а-Ь

св

Ри с . 62

IIс п о с о б . Помещаем начало вектора а в точку О, начало

вектора Ь совмещаем с концом вектора а. Замыкающий вектор

—> —>

есть

a-j-b

(рис. 61, б). Его

начало — в

точке

О,

конец

сов

падает с концом вектора Ь.

Найдем а — Ъ.

I с п о с о б .

Начало

вектора а помещаем в

точку

О и стро

им вектор Ь', противоположный вектору b (рис. 62,

а).

Находим

сумму векторов а и Ь'

по

правилу

параллелограмма.

Вектор

ОС = ~а— бГ

векторов а и

с п о с о б .

Начала

помещаем

одну

точ

ку О.

Концы

векторов соединяем. Замыкающий вектор и

есть

а — В; его

начало — в

конце вектора

Ь,

конец •— в

конце

век

тора а (рис. 62, б).

Умножение вектора на число. Умножение вектора на число (на скаляр) является обобщением действия сложения векторов.

Например, вектор 3F есть сумма Fx + F2 + Fs.

Простым построением легко убедиться, что вектор nF, где п — целое положительное число, направлен так же, как F, а


его длина в п раз		больше длины вектора					F.
Умножение, вектора			на	отрицательное			число		проводится с
соблюдением	обычных правил				алгебры:
	3F +	(— \)~Р =			[3 +	(— 1)]~F =		2F.
Вектор	(— 1) F	должен		быть		направлен		противоположно
вектору F, а длины их должны быть							одинаковы.			Поэтому
,(—n)F = n(—\)F		есть	вектор, длина которого						в п	раз боль-

ше длины F, а направление противоположно направлению F.


Итак, если п > 0,		то вектор		nF	имеет	такое же		направление,
как F, а длина его получается умножением длины								вектора F
на п. Вектор	(—п)	F	имеет	напразлгние,			протизоположног
направлению	F, а длина		его равна		длинг	вектора		nF.

§ 32. ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСИ КООРДИНАТ

Для векторов на плоскости введем понятие проекции век тора на оси координат.

Пусть на плоскости хОу дан вектор АВ (рис. 63). Спроек тируем начало вектора (точку А) и конец вектора (точку В) на ось Ох.

Вектор ab, лежащий на оси Ох,	называется геометрической
- >	—>

проекцией вектора АВ на ось Ох. Вектор а'Ь', лежащий на оси Оу, называется геометрической проекцией вектора АВ на ось Оу.

Числа, равные величине вектороз ab и а!Ь', называются алгеб раическими проекциями вектора АВ соотзетстзгнно на оси Ох и Оу. Как видно из рис. 63, алгебраические проекции век тора АВ на оси Ох и Оу равны разности координат точек кон ца и начала вектора АВ:

АВХ = | ab | = хв —хА ,

АВу= \аЪ'\ = ув—у А .

В дальнейшем будем рассматривать только алгебраическую проекцию вектора на данную ось.

Алгебраическая проекция вектора на ось может быть поло жительной и отрицательной. Для вектора АВ (рис. 64) прозкция на ось Ох

АВХ — хв — ХА

отрицательна, а на ось Оу

АВу = ув — УА

положительна.

Для вектора, начало которого совпадает с нача лом системы координат, проекции вектора на оси координат равны коорди натам точки конца векто ра. Проекции вектора ОМ (рис. 65) равны:

			0~МХ = хм, ОМу		=	ум.
	§ 33. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОЕКЦИЙ ВЕКТОРОВ
1.	Проекция вектора на ось равна				произведению модуля век
тора	на	косинус	угла	наклона вектора		к этой оси.
Для		вектора	АВ	(рис. 63)
		АВХ	= \| АВ \| cos а, АВу		=	\ АВ \| cos р.

Отсюда, в частности, следует, что равные векторы имеют равные

проекции на одну и ту				же ось. На рис.	55	Fx	= F2	и	M-^Ni =
= ЛМГ,.
2.	Проекция	вектора,		перпендикулярного'к			оси,	равна нулю.
3.	При параллельном			переносе вектора	его		проекции		не ме
няются. .
4.	Скалярный		множитель можно выносить			на знак			проекции.
5.	Проекция суммы векторов на ось равна						сумме		проекций
этих	векторов	на	данную ось.
Из	рис. 66	имеем
		У •		в	С
				—	і

•—"|

0 % 1

Хс

Р н с. 66

ЛСЛ =

ХС — ХА,

АВХ

= ХВ — ХА,

ВСХ

= хс — хв .

Найдем АВХ + ВС/.

АВХ

+ ВСХ = хв

— хА + хс

— *в = л;с — .

Но

— ХА-

Следовательно,

АСХ = АВХ

+ ВС,.

§ 34. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Скалярное

произведение

двух векторов

- >

произве

В равно

дению модулей этих векторов на косинус угла

между

ними.

Скалярное произведение векторов обозначают А • В или (А-В).

По

определению

Л • ~В = | А\ | В | cos©,

где

0 — у г о л

между векторами А я В.

Полученная величина есть скаляр, поэтому она и называет

ся

скалярным произведением.

Примером скалярного призведения

является

работа,

которую

—>

пути

- >

совершает сила F на прямолинейном

Л =

(F" - S) =

j S^j cos в .

Если направление силы совпадает с направлением движения,

то

угол

0 =

0, cos'O =

1, A—\F\

\S\

и работа положительна.

Если

же

сила

направлена

сторону,

противоположную

—>

направлению

движения, то 0 = я,

cosn =

—-1, Л = — \F\

\S\

и работа

отрицательна.

Более полное изложение векторной алгебры читатель может

найти в

учебниках

[26], [36], [44].

Р а з д е л 2

В В Е Д Е Н И Е В М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й А Н А Л И З

Гл а в а VI . ВЕЛИЧИНА И ЧИСЛО

§35. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА


	Одним из основных			исходных понятий математики является
число.		Содержание	этого понятия развивалось и обогащалось
как		под влиянием	непосредственных потребностей				практики,
так и в связи с развитием самой					математической науки.
	Вначале, в связи с необходимостью счета предметов,							возник
ло	понятие целого числа. Множество целых положительных чисел
1,	2,	3 , . . . называется		последовательностью		натуральных		чисел.
	Позднее появились дробные числа, отрицательные							и число
нуль.		Все целые и	периодические десятичные дроби,					положи
тельные и отрицательные числа,					включая	и нуль,	называются
рациональными числами.				Любое рациональное число может быть

выражено в виде отношения pjq целых чисел р и q, и наоборот. Однако для построения математической теории рациональ ных чисел недостаточно. Это видно из примеров решения про стейших уравнений высших степеней (хг = 2, х3 = 5), определе


ния	логарифмов чисел		(lg 2, log2 5), отыскания		тригонометриче
ских	функций (sin 17°, tg 40°) и др. Поэтому возникла необхо
димость введения понятия иррациональных чисел.						иррациональ
Непериодические десятичные дроби называются
ными числами. Иррациональные числа могут быть						алгебраиче
скими		(например,	где т и п — произвольные			числа)	и не
алгебраическими (например, число л).
Все		рациональные	и иррациональные	числа	образуют		мно
жество		действительных	(вещественных)	чисел.

Теория действительных чисел представляет собой фундамен тальный раздел математики, и ее изложение выходит за рамки

настоящего курса. Укажем		лишь на		некоторые ее положения.
1. Иррациональное число изображается бесконечной десятичной
непериодической	дробью,	например,		1/ 2 = 1,41423..., л ==
= 3,141592653...
2. Для любого	иррационального		числа можно найти		соответ
ствующее ему рациональное		число,	отличающееся от		него на

сколь угодно малую величину. Это рациональное число можно получить, если в соответствующей десятичной дроби остановить ся на определенном знаке после запятой.

З Лобоцкая Н. Л.

Полученное таким образом рациональное число будет харак теризовать иррациональное число «с недостатком». Если же последнюю оставленную цифру увеличить на 1, то получим рациональное число «с избытком». Так, например, у ~2 —

= 1,41 с

точностью до 0,01

«с недостатком» и V 2

1,42

точностью до 0,01

«с избытком».

Если X — некоторое

множество

действительных

чисел,

то запись

х £ X

означает,

что число х принадлежит

запись

х £ X

означает,

что число

не принадлежит

4. Между двумя любыми сколь

угодно

близкими

действи

тельными

числами

и b найдется

по крайней мере

одно

число

с (например, с = ~~Y~~j> а

следовательно,

и бесконечное

множе

ство таких чисел. Это свойство называется свойством

плотности

множества действительных

чисел.

5. Законы и правила действия

над

рациональными

числами

распространяются

на

всю

область

действительных

чисел.

Множество

действительных

чисел

х,

удовлетворяющих

неравенствам а<х<^Ь,

где а и Ъ — фиксированные

числа,

на

зывается

интервалом

и обозначается как

(а,

Ь).

Множество

действительных

чисел

х,

удовлетворяющих

неравенствам а •< х -< Ь, где

а и b — фиксированные числа,

на

зывается

отрезком

обозначается

как

[а,

Ь].

Множество

действительных

чисел

х,

удовлетворяющих

неравенствам а -< х <

b или а < х <; Ь,

называется

полуинтерва

лом la, Ь) или

(а,

Ь].

Интервал, отрезок, полуинтервал объединяются общим на

званием

промежуток.

9. Каждое действительное число изображается определенной

точкой координатной оси, называемой собственной точкой.

Ино

гда удобно считать, что имеются еще две

несобственные

точки

4- оо и —• оо,

бесконечно

удаленные от начала координат в

по

ложительном и отрицательном направлениях. Для всякого дей

ствительного	числа		х по	определению	считают,	что — оо <
< х < -і- оо.				называется г-окрестностью числа а.
Интервал	(а — е,		а 4 - £ )
Абсолютной		величиной		положительного числа		х или	нуля
называется само		число. Если х — число			отрицательное,		то его

абсолютной величиной называется число х, взятое с противопо

ложным знаком. Абсолютную величину				числа	принято обозна
чать, помещая	его	между двумя вертикальными				черточками:
		\| X \| = х, если	X ^	0,
		\| X \| = — х, если		X < 0.
Например, \| 5 \|	= 5,	\| 0 \| = 0, \| — 5 \| =	—(—5)		=	5.

Свойства абсолютных величин.
1.	Неравенство	\х\^а	означает,	что — а <. х -< а.
2.	Неравенство	\х\^>а	означает,	что	—а^-х~^>а.
3.	Абсолютная	величина	алгебраической		суммы меньше или

равна сумме

абсолютных

величин

слагаемых:

\х±

у\<\х\

\у\.

Например,

|5 + 3 | < | 5 |

|3|, 8 =

| 5 - 3 | < | 5 | + | - 3 | , 2 < 8 .

4. Абсолютная

величина

произведения

равна

произведению

аб

солютных

величин

сомножителей:

| у).

\х • у\

\х\

Например,

|6 • (—3)| =

| 6 | • 1 — 31,

18 =

18.

5. Абсолютная

величина

частного

равна абсолютной величи

не

числителя,

деленной

на

абсолютную

величину

знаменателя,

если знаменатель

не

равен

нулю:

= T f W 0

)

Например,

—

1 u

о _

На числовой

оси

значение

\а — b \ — \Ь — а\ и

равно

рас

стоянию между точками

и Ь. Неравенство

\ х | <

h определя

ет

интервал

—/г <

л: < / г ,

неравенство

\х

— а | < / г — интер

вал

— / г < х — a<h,

т. е.

а — Л < х < а

+ ^-

§36. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Вразличных областях науки и техники приходится встре чаться с величинами разнообразной природы. Например, в фи зике— с температурой, давлением, силой; в геометрии — с пло щадью, объемом и т. д.

Чтобы подвергнуть эти величины математическому анализу, выбирают за единицу измерения произвольную величину той же самой природы. Тогда отношение данной величины к еди нице измерения будет величиной безразмерной (отвлеченной), получившей название математической величины Например, от ношение 5 ж к единице измерения 1 ж будет равно безразмер ной величине, численное значение которой равно 5.

В курсе математики величины обычно считаются безразмер ными, полностью характеризуемыми своим численным значени ем. Благодаря этому, результаты, полученные при помощи ма тематики, могут применяться к величинам разнообразной при роды.

В математическом анализе величины делятся на две катего

рии: постоянные

переменные.

Всякую

величину,

которая

в данных

условиях

может

при

нимать множество

различных

числовых

значений,

математи

ке называют

переменной.

Например,

при

равномерном

движе

нии переменными величинами будут время и путь.

Задать переменную величину, это значит

указать

множе

ство

числовых значений,

которые она

принимает.

Это

множе

ство

возможных

значений

переменной

величины

называется

об

ластью

ее

изменения.

Если

некоторая

величина

при

заданных

условиях

принима

ет единственное числовое значение, то ее называют

постоянной.

В предыдущем примере постоянной величиной являлась

скорость.

Постоянную можно считать частным случаем

переменной,

множество значений которой состоит из одного числа.

Однако имеются соотношения, которые содержат величины,

постоянные в условиях данной задачи,

но

изменяющиеся

при

изменении

условий

задачи.

Такие

величины

называются

пара

метрами.

Так,

процессе

изотермического

расширения

газа

(закон Бойля—Мариотта) масса

и температура

являются

парамет

рами. В уравнении прямой у

— kx

-(- b,

k и b — параметры.

Имеются

величины,

сохраняющие

свое

значение

неизмен

ным

независимо

от

процесса.

Такие

величины

называются

аб

солютно

постоянными.

Так, абсолютно

постоянными

величина

ми являются отношение длины окружности

длине

диаметра

(число т:),

сумма

внутренних

углов

прямолинейного

треуголь

ника.

Обозначаются

все

величины

буквами греческого

латинско

го алфавитов. Обычно

переменные

величины

обозначаются

по

следними буквами

латинского

алфавита

х,

у, z,

. . . ,

пара

метры— первыми буквами

а,

Ь,

с, .. .

§ 37. ПРОЦЕНТЫ

Сотая часть числа называется процентом этого числа. Вместо того, чтобы говорить, что успеваемость студентов


составляет		0,97 от их		общего числа, говорят, что				успеваемость
студентов		составляет		97 процентов.
Для сокращения письма принято вместо слова								процент пи
сать значок %. Однако нужно помнить, что в								вычислениях
значок	%	обычно	не	пишется, но		он	должен быть записан		в
условии задачи и			в окончательном			результате.
Чтобы		найти	процентное		выражение		данного	числа, нужно
умножить		это число		на 100	(или перенести в нем			запятую	на
два знака		вправо).	Например, процентное выражение числа 2 есть
200%,	числа 0,357 есть 35,7% .

Чтобы

найти

число по его процентному

выражению,

нужно

разделить

процентное выражение на 100 (или

перенести

запя

тую

на 2 знака

влево). Например,

13,5%—процентное

выраже

ние

числа

0,135,

145%—процентное

выражение

числа

1,45.

В хозяйственных и статистических расчетах, а также во мно

гих

отраслях

науки,

например,

фармации,

химии,

биологии

и медицине

части

величин

принято выражать

процентах к

исходным. Это позволяет

быстро

сравнивать

величины

частей

числа со всем числом

и между

собой,

также

упростить

рас

четы и в то же время добиться

достаточной

степени

точности

выражения

частей

величин целыми

числами

тех

случаях,

когда измерение

в десятых

долях

было

бы

слишком

грубым,

а в тысячных — излишне

точным.

Рассмотрим некоторые задачи на проценты.

Задача

1. Найти

указанный

процент

данного

числа.

Для этого число умножается на число процентов и резуль

тат

делится

на

100.

Пример

1. Определить

количество фосфата

кальция Са3 (Р04 )2

в организме человека весом 60

кг,

если

он

составляет

от

веса

организма.

„

60-3

кг.

Р е ш е н

и е. -j7jo" = 1.8

Задача

Найти

выражение

одного

числа

в процентах

дру

гого.

Для этого умножаем первое число на 100 и результат де

лим

на второе число.

Пример

2. Рассчитать процентный состав соединения H2 S04 .

Р е ш е н и е .

Суммированием

атомных

весов

находим

моле

кулярный вес H2 S04 :

= 98,1.

2 - 1,0 + 32,1 + 4 - 1 6

Процентное содержание водорода в данном соединении оп ределяем путем умножения молекулярного веса водорода на 100 и деления на молекулярный вес серной кислоты:

Н = ^ Ц ^ = 2 , 0 4 % .

Процентный состав	серы	и кислорода в H2 S04 рассчитыва
ем аналогично:
S = 3 2 ' g 8 > 1		1 0 ° =	32,70%,
п	64,0-100		д г о с п /
=	_98Л—	=	65'26%-

Соотношение между количеством исходных материалов, го тового продукта, побочных продуктов, отбросов и материальных

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 367 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ