книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

L

t!

У B\

x

x

P и с.

48

Формулы

(1) и (2)

выражают связь между координатами то­

чек в прямоугольных

системах

координат хОу и

х'О'у'.

Пример 1. Найти

координаты

точки

Л(1; 3)

системы хОу в

системе

координат х'О'у',

полученной

параллельным переносом

осей в точку О'(—2;

4).

Р е ш е н и е . Согласно

системе

(2)

*' =

1 +

2 =

3.

у' =

3 - 4

=

- 1 .

у = Ах2

+ Вх +

С

Покажем, что уравнение этой кривой в новой системе коор­

динат,

полученной

путем

параллельного

переноса

осей

в

точку

О' (а;

Ь), будет более

простым.

у = Ах2

+ Вх

С

На основании формул (1) уравнение

+

бу­

дет

иметь вид

у' +

Ъ =

А (х' +

а)2 +

В (х'+а)

+ С.

Раскрыв скобки и приведя подобные,

получим

у' — A {x'f

+

(2аА +

В) х'

+ (Аа2

+ Ва + С — Ь).

Выберем а и Ь такими,

чтобы в

уравнении

отсутствовали

чле­

ны

с

х' и свободный

член. Для этого

положим

ми направлениями осей (ось Ох

составляет

с осью Ох' угол а).

Новая система координат х'Оу'

получена

из старой системы хОу

Возьмем

на

плоскости

любую

точку

М с координатами

(х; у) и (х'\

у')

в системах

хОу и

х'Оу' соответственно. Спро­

ектировав точку

М на оси

координат обеих

систем, получим

или х =

г cos (ф

а),

у = г sin (ф -J- а).

Из треугольника N'OM

или

ON' = ОМ соэф,

MV' =

OMsinq>

х'

=

г cos ф,

у'

= г sin ф.

(3)

Используя формулы синуса и косинуса суммы двух углов

и (3),

получим

x =

x'cosa

— у'sin а,

(4)

у =

х'

у' cos а.

Формулы

sin а

+

точек в

v '

(4) выражают

связь

между

координатами

пря­

моугольных

системах

координат

хОу

и

х'Оу'

при

повороте

осей

на угол

а.

хОу

х'Оу'

Систему

координат

можно

получить

из системы

поворотом ее осей вокруг начала координат на угол (—а).

По­

этому

связь между координатами точек в системах

х'Оу' и

хОу

получим, заменив в формулах (4) х

на х', у на у'

и угол

а на

(— а).

Получим

( х' — х cos а +

у sin а,

Асимптотами

равносторонней

гиперболы

х2 — у2

= а2

явля­

ются биссектрисы координатных

углов у=+х

(рис.

51).

По­

вернем оси

координат

хОу

на угол

а = — 4 5 ° ,

чтобы

асимпто­

ты гиперболы стали осями

системы

координат

х'Оу'.

Согласно

формулам преобразования (4), можно записать:

х=

х'

cos (— 45°) — у'

sin (— 45°) =

(х'

+

у'),

у =

х'

sin ( -

45°) +

у'

cos ( -

45°) =

{у' -

х').

yi Подставляя значения х и у в урав­

нение гиперболы

х 2 — у2 = а2 ,

по­

лучим

- ( д . ' 4 - у ' ) 2 — И * / ' - * ' ) 2

2

или

2 '

Обозначив 4j- = С, где С есть

не­

которая

постоянная

величина,

по-

Р и с . 5!

лучим х'у' = С.

Следовательно,

уравнение

рав­

носторонней

гиперболы, относительно

ее асимптот, имеет

вид

*'«/' = С

(5)

§ 28. ГРАФИК ФУНКЦИИ ОБРАТНОЙ

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ

Q

Функция

обратной

пропорциональности ху = С

или у =

—,

где С есть

некоторая

постоянная величина, как

видно из

(5),

Для С > 0 ветви гиперболы

расположены в I и Ш четвертях,

для

С <

0 — во

I I

и IV четвертях (рис. 52).

Многие законы

физики,

химии, биологии и

медицины

выра­

жаются

уравнением

гиперболы,

асимптотами

которой

служат

оси

координат.

Закон

Бойля — Мариотта

для

данной

массы

газа при

посто­

янной температуре

имеет вид

где

V — объем

газа;

р — его

давление;

С — постоянная.

Кри­

вая,

выражающая

этот

закон,

есть

равносторонняя гипербола,

асимптотами которой являются оси координат Ор и OV.

Электрический

ток,

протекающий

через живую ткань,

изме­

няет

функциональное

состояние

ткани. Зависимость силы

воз­

буждающего тока

от

времени

его действия по Вейссу

[52]

вы­

ражается

уравнением

Р и с . 52

Р и с . 53

рой

являются

ось і и

горизонтальная

прямая, отсекающая по

оси

ординат

і отрезок,

равный b (рис.

53).

мышце р со скоростью ее сокращения v при

изотоническом

про­

цессе (в этом случае измеряют

сокращение

длины

мышцы

при

постоянном

напряжении):

и е

) (и +[Ь)]= С

где

а,

Ъ и

С — постоянные.

Из

уравнения

следует,

что

скорость сокращения

мышцы

уменьшается с ростом нагрузки

по гиперболе.

§ 29. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ

ОСЕЙ

КООРДИНАТ

На

рис.

54 приведены две прямоугольные системы

коорди­

нат

хОу и х'О'у'

с

различными

началами координат и

различ­

ным

направлением

осей.

Начало О' новой системы координат х'О'у'

имеет

координаты

О' (а;

Ь) и угол

наклона оси О'х'

к оси Ох равен а.

Из

рис. 54

тем хОу и х'О'у', пользуясь формулами

(1)

и

(4).

[ х =

х' cos а — у'

sin а +

я.

\ у =

х' sin а + у'

cos а

+

Ь

(6)

ной из данной

переносом

начала О в

точку

О'(2; — 1)

и

пово­

ротом

осей

Ох

и

Оу на угол

а =

л/4.

1, а = я/4,

Р е ш е н и е .

Полагая

в

(6) а = 2,

Ъ = —

х=\,

у — 3,

получим

х'=

(1—2)

cos

л/44- (3 +• 1) sin л/4, х' =

— 1 -Щ-

+ 4 - ! ^ - =

| у 2,

y' = - ( l - 2 ) s i n я / 4 - f (3 +

1)созл/4, у' = ^

-

+

=

\

V~2.

( З 1^"2~

5

\

Итак,

М(1;

3)

в

системе

хОг/ будет

равна МI—g—;

~2~^2)

в системе

х'О'у'.

Задачи

1.

Какой

вид

примет

уравнение кривой

х 2

— 4 х у

-f- Зі/2 — 2х +

1 = О,

если перенести начало координат в

точку 0 ' ( 1 ;

0).

2.

Дана

кривая

ху — 6х +

2у

+

3 =

0. Найти преобразованное

уравнение

этой кривой

после

переноса

начала

координат в

точку (—2; 6).

3.

Найти

преобразованное

уравнение

кривой

х 2

+

6 х — 8(/ч +1 = 0 ,

если

начало

координат

будет перенесено в точку (—3; —1).

4.

Поворотом осей координат на 45° упростить уравнения:

1)

5х2 — бху + Ъуг

= 32;

2) Зх2 — Шу

+

Зг/2

- f 32 = 0.

Построить старые и новые оси координат и кривые.

5.

Построить

параболы:

1)

у =

х 2 — 4х-f-5;

2)

у =

х 2 -f- 2х +

3; 3) г/ =

— х 2 +

2х — 2 ; 4)

у = 4х — х2 ;

5)

2г/ =

3 + 2х — х 2 .

модулю вектора; стрелка указывает направление.

Вектор,

модуль

которого

равен

единице,

.носит

название

единичного.

Единичный

вектор,

направление

которого совпадает

с направлением

вектора

а, обозначают а0

и

называют

ортом

этого направления.

Вектор,

модуль

которого

равен нулю,

носит

название нуле­

вого и обозначается

так

же,

как и число нуль. Нулевой

вектор

не

имеет определенного

направления.

Два вектора

считаются

равными,

если

они

имеют

одинако­

вую

длину,

параллельны

и направлены

в

одну

и

ту же

сторону.

(параллельно самому

себе) в любое_место, т. е.

начало

этого

вектора может находиться в любой точке (на рис.

55

Fi~F2).

Векторы, равные

по модулю, параллельные, но

направленные

Р и с . 55

Р и с . 56

ними. Векторы ОБ

и 0Вг

(рис. 56) противоположны.

В отличие от векторов величины, не имеющие направления,

называют скалярами.

Примерами скаляров являются масса те­

ла, энергия, температура

и т. д.

деа вектора

FX

и F2

(рис. 57,

а), надо,

передвигая

вектор

F 2

параллельно

самому

себе, совместить

его

начало с

концом

век­

тора F-L.

Тогда

сумма

К — FT

+ F2

есть

вектор,

идущий

от

—>

к

концу

—>

(рис. 57,

б).

начала FX

F 2

векторы Fx и F2 ,

имеющие общее начало (рис. 57,

в).

Из правила

сложения двух векторов

можно

получить

правило сложения любого числа векторов. Из

рис. 58 видно, что

r Off= К

+ %, ОС = ОВ + F 3 = F a

+

F 2 - f F 3 ,

OD = OC + F / = % + F 2 + F 3

+

быть заменено

действием одной

силы,

равной

векторной

сумме

приложенных

сил:

К — Ki + Кг + Кз +

^4 +

Къ-

Длины векторов

сравнивать

друг

с другом можно,

но не

следует удивляться,

если длина

вектора,

изображающего

сум­

му, окажется

меньшей, чем длина каждого

из слагаемых век­

торов.

находится другое

слагаемое. Поэтому,

разностью двух

векто-

->

и

—>

называется такой третий

вектор

—>

который

ров OA

ОВ

ОС,

в сумме

с

ОВ

равен OA. ОА — ОВ = 6С,

если

ОВ +

ОС=6А.

—>

—>