Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

243

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 365 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

	Р и с .	37
ИЛИ
MF2 — MFj, = + 2а.					или су
Из треугольника MF-JF^	видно,		что 2с > 2а,		или су	а. Вы
ражая длины отрезков MF2	и MF±		через	координаты		точек и
подставляя в уравнение MF2-—MF±			= ±	2а, получим
]/(х + с)2 + у2 -	У(х	— с)* + у*=±			2а.

Перенесем второе слагаемое из левой части уравнения в правую:

\ \ х + cf + у2 = ± 2а + / ( А ; - с ) 2 + г/2.

Возведем обе части уравнения в квадрат и раскроем скобки:

(х + cf + у 2 = 4а2 ± 4а l / " ( x - c ) 2 + y2 + (х- с)2 + у2 ,

х2 + 2сх + с2 + у2	= 4а2	±	4а	— с ) 8	+	у 2 + х2 — 2сх + с 2 + у2
После приведения подобных членов, получим
сх	— а2	=	+ а \/(х	— с)2	+	у2 .

Возведя обе части последнего уравнения в квадрат и раскрыв скобки, получим

с2 х2 — 2а2 £х + а 4 = а2 *2 — 2а2 сх + а2 с2 + а2 у2 .

Перенесем члены, содержащие текущие координаты, в левую часть и сгруппируем их:

(с2 — а2 ) х2 — а2 у2 = а 2 (с2 — а2 ).
Разделим левую и правую		части	уравнения		на	а2 (с2 — а2 )'
а'		с* — а* =		1.
В силу того, что с > а, обозначим с2				— а2 =	б2 ;	тогда
X	2	— </=	1			(7)
	2	2

(7) есть каноническое уравнение гиперболы, в котором х и у —

текущие координаты точек гиперболы; а и Ь — параметры, свя занные с полуфокусным расстоянием формулой

с2 — а 2 = Ь2.

§ 19. ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ГИПЕРБОЛЫ ПО ЕЕ УРАВНЕНИЮ

В уравнение гиперболы (7) текущие координаты ее точек входят во второй степени. Поэтому осями симметрии гиперболы являются оси координат.

Разрешив

уравнение

(7)

относительно

у,

получим

У =

± 4 V^-dK

(8)

Из

уравнения

(8)

следуют свойства гиперболы.

Ординаты

точек гиперболы действительны лишь при

таких

значениях

абсциссы х,

которые

удовлетворяют условию

х2

>- а2,

или

\х\^а.

Следовательно,

гипербола

(7)

всеми

своими

точка

ми

располагается

вне

полосы,

ограниченной

прямыми

х = а,

х = Ь (рис.

38). '

При

х.— ± а

у =

О,

значит,

гипербола

(7)

пересекает

ось Ох в

точках

А (а; 0)

Ах{—а\ 0).

х,

удовлетворяю

При

возрастающих

значениях абсциссы

щих условию

х >

а, абсолютные

значения

ординаты

тоже

будут

возрастать.

При

х,

стремящихся

к со, ординаты у стремятся

± со.

Анализ

уравнения

(8)

показывает,

что правая

часть

гипер

болы

имеет

вид,

изображенный на рис. 38, а так как гипербо

ла

симметрична

относительно оси Оу, то левая

ее

часть

будет

зеркальным

отражением

правой. Как

видно

из

рис.

38,

гипер

бола

(7)

состоит

из двух частей: правой

ветви

левой

ветви.

У,

BlOib)

Дг(-а,а

(Д(а;0)

В,(0;-Ь)

Точки

А(а;

0) и Ах(—а;

0),

которых

гипербола пересека

ется

осью

Ох,

называются

вершинами

гиперболы,

отрезок

ААг =

2а — ее действительной

осью,

а — действительной

полу

осью.

Оу

Как

было показано

выше,

гипербола

(7)

осью

общих

точек

не

имеет.

—Ь),

Отрезок, ограниченный точками В(0; Ь)

и Вг(0;

рав

ный 2Ь,

называется

мнимой

осью

гиперболы,

Ъ — мнимой

по

луосью.

Точка 0(0; 0) пересечения осей симметрии (Ох и Оу) назы

вается

центром

гиперболы.

Ось симметрии Ох, на которой расположены фокусы гипер

болы,

называется фокальной

осью.

§ 20. АСИМПТОТЫ

ГИПЕРБОЛЫ

Чтобы

получить

ясное представление

характере

измене

ния кривой (7),

когда

описывающая

ее

точка

М(х;

у)

уходит

в бесконечность, возьмем прямоугольник со сторонами 2а и 2Ь,

расположенными			от осей координат					Ох и Оу на расстояниях,
равных а и		b соответственно (рис. 39). Диагонали прямоуголь
ника CD и EF являются прямыми, проходящими через начало
координат. Уравнение				диагонали			CD
					У=-±х.						(9)
Уравнение		диагонали		EF
					У =	- - Т * -					(Ю)
Возьмем		на	прямой		у=	-^-х	и	на	верхней	части	правой
ветви	гиперболы у = — Vх2					— а2	точки		N и М,	имеюище одну
и ту	же	абсциссу,		и	вычислим			расстояние		между	ними
(рис.	39):
	MN = NP — MP ~ — х							-VXІ	— а2	=

аа

Ъ (х—У~хТ^?)(х+Ух*—а2)_		Ь	Xі — (Xі — а2 ) _
~~ а	х+ ]/х2 — а?	~~ а	х+Ух2	— а?
	_ J>	а2

~а x + V x J - ^

Окончательно получим

№=

%=г-

О 1 )

х-\- ух2 — а2

B(0;b) C^s^>

Р и с . 39

Из уравнения (11) видно, что при х, стремящемся к бесконеч ности, MN стремится к нулю. Значит, точка М, удаляясь по гиперболе в бесконечность, неограниченно близко подходит к

прямой у = — X.

Определение

4. Прямая

линия

называется

асимптотой

для

кривой,

если

расстояние

от

точки

М, лежащей

на

кривой,

до

этой прямой

стремится

нулю при

движении

точки

М в бес

конечность вдоль какой-нибудь

ветви

кривой.

Для

верхней

части

правой ветви

гиперболы

(7)

прямая

является асимптотой.

= — х

Вследствие

симметричности

гиперболы (7)

прямых

(9)

(10) относительно осей координат, эти прямые

будут

асимпто-

тами обеих ветвей гиперболы. Итак, гипербола

— ~

— 1

имеет две асимптоты:

У=

•

(12)

Для вычерчивания гиперболы по ее уравнению рекоменду ется предварительно построить ее асимптоты. Ветви гиперболы вычерчиваются (от руки), как кривые, проходящие через вер шины гиперболы А и Аг и приближающиеся к асимптотам по мере удаления от начала координат.

Пример 4.	Найти полуоси,		координаты		фокусов,	уравнения
асимптот гиперболы 9х2—		16г/2	=	144 и построить ее.
Р е ш е н и е .	Приведем	данное		уравнение	к виду	(7). Разде
лив обе части	уравнения	на 144,		получим
		у2	1t2	^
	_

ММ

Р и с . 40

Сравнивая

это

уравнение

с уравнением

(7) .видим, что а2

= 16,

Ъ2 = 9. Таким образом,

действительная

полуось

а = 4, мнимая

полуось

й =

с = |/ а2 + 62

= 1- 16 + 9 = 5 .

Фокусы

f 1 ( — 5 ;

0),

F2 (5;0), уравнения

асимптот

с учетом

фор-

мулы

(12)

= + —

х.

Положение

кривой

на плоскости приве

дено

на

рис.

40.

§ 21.

РАВНОСТОРОННЯЯ ГИПЕРБОЛА

Определение

Гипербола

называется

равносторонней,

если

ее мнимая

полуось

равна

действительной

полуоси,

т. е. Ъ = а.

Уравнение равносторонней гиперболы является частным

слу

чаем

уравнения

гиперболы

(7)

±i

Ё_ — 1

или

_9.

_.9.

' *• '

х2

— у2

а2.

(13)

Асимптотами

равносторонней гиперболы

будут прямые

у=±х.

(14)

Как видно из уравнения (14), асимптоты равносторонней гипер

болы являются	биссектрисами	координатных углов (кг = 1,
k2 = — 1 и а х =	45°, а 2 ' = 135°)	и взаимно перпендикулярны.

Пример 5. Найти уравнение равносторонней гиперболы, зная что она проходит через точку Л(]/15 ч ; ] / 6 ).

Р е ш е н и е . Подставим в уравнение (13) вместо х и у коор

динаты

точки

А (У 15; V 6 ):

( 1 / І 5 ) 2

— (\/~Ь)*

= а\

а2

15 — 6 = 9.

Уравнение

равносторонней

гиперболы

х2

— г/2

= 9.

§ 22. УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛЫ

Определение

Параболой

называется

геометрическое

место

точек плоскости,

равноотстоящих

от данной точки,

называемой

фокусом,

данной

прямой,

называемой

директрисой

(предпола

гается,

что фокус

не

лежит

на

директрисе).

Выведем уравнение параболы, поместив ее фокус на оси Ох

(рис. 41). Прямую

АВ

(директрису) расположим перпендикуляр

но оси Ох на расстоянии OK = OF.

Расстояние

фокуса F от директрисы АВ носит назва

ние параметра

параболы

обозначается

через р. Фокус

имеет

координаты F(p/2;

0),

а точка К(—р/2;

0).

Пусть

точка

М(х;

у)

лежит

на параболе. Из

определения

параболы

FM =

NM,

где NM — расстояние точки М до директрисы АВ параболы. Выражая длины отрезков FM и NM через координаты точек и подставляя в уравнение FM = NM, получим

V (х — р/2)2 + у2 = V (х + Р/2? .

Возведем обе части уравнения в квадрат и раскроем скобки:

х2 — рх + р2 /4 f у2 = х2 + рх + р2 /4,

у.

F({;O)

D	откуда
		у2	= 2рх.		(15)

	(15) — есть		каноническое		уравнение
х	параболы,	в котором х		и	у — текущие
	координаты; р— параметр.
	§ 23.	ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ
	ПАРАБОЛЫ		ПО ЕЕ	УРАВНЕНИЮ

Р и с . 42

Из (15) найдем у:

у=±

V2px-

(16)

Из (16)

следуют

свойства

параболы.

Для

р >

абсциссы

точек параболы

х > 0,

следовательно,

парабола

всеми

своими

точками

располагается

вправо от

оси

Оу.

Каждому значению х

соответствуют

два значения

у,

рав

ные по абсолютной величине

противоположные

по

знаку.

По

этому

парабола (16)

симметрична

относительно

оси

Ох.

При

х =

у =

0, следовательно,

парабола

проходит

через

начало

координат.

Точка О (0;

0) называется

вершиной

параболы.

При

неограниченном

возрастании

по

абсолютной

ве

личине

неограниченно

возрастает.

Форма параболы показана на рис. 42.

Фокальная

ось параболы

(15), на

которой

лежит

фокус,

сов

падает с осью

Ох.

Парабола

у*

-2рх,

где pj> 0, расположена слева

от оси Оу, проходит через

нача

ло координат и симметрична относительно оси Ох (рис. 43).

Парабола

х2

2ру,

где р > О, расположена выше оси Ох, проходит через начало координат и симметрична относительно оси Оу (рис. 44).

Парабола

хг = — 2ру,

где р > 0, расположена ниже оси Ох, проходит через начало координат и симметрична относительно оси Оу (рис. 45).

Пример 6. Фокус параболы с вершиной в начале координат лежит в точке F(4; 0). Найти уравнение параболы.

Р е ш е н и е . Параметр параболы р/2 = 4 или р = 8. Уравне

ние

		у2 =	2рх	=	16Л:.
Пример 7.	Тело	брошено	горизонтально с начальной скоро
стью v0. Определить		траекторию		движения тела.
Р е ш е н и е .	Тело, брошенное горизонтально с начальной
скоростью v0,	будет	участвовать		в	двух видах движения.

Совместим начало системы координат с начальным положе нием тела (рис. 46). В горизонтальном направлении тело дви жется по закону х = v0t, вниз по вертикали тело свободно па дает по закону у = ^- gt2. Траектория движения тела пред ставляет кривую, которая может быть выражена уравнением, связывающим вертикальную координату у с горизонтальной х для одного и того же момента времени. Из уравнения х = v0t найдем время t и, подставив его значение в уравнение у =

= ?г£^2> получим

Р и с . 47

у = ~

х* и л и У = — Рх2'

где р =

Следовательно, траекторией движения тела, брошенного гори зонтально с начальной скоростью v0, является парабола с вер шиной в начале координат.

Пример 8. При вращении сосуда с жидкостью вокруг вер тикальной оси с угловой скоростью со на каждую частицу жидкости массой т на расстоянии от оси вращения г действу ют две силы: сила тяжести mg и центробежная сила тгю2. Действие этих сил приводит к образованию параболоида враще ния (ркс. 47, а). В сечении эта поверхность представляет пара болу (рис. 47, б).

Задачи

Составить

уравнение

окружности, имеющей центр в точке: 1) (2; —5)

радиус, равный

2) (0; 4) и

проходящей через

точку (5;

—8).

Концы диаметра окружности имеют координаты А(—-7;

4) и В(2;

—8).

Найти

уравнение

окружности.

Найти

координаты

центра, радиус и построить окружности: 1)

хг

у2

— 6х +

Юг/ — 15 = 0;

2) Зх2

+ Зу2 — Ах + 9у f

4 =

Х2

Найти уравнение общей хорды окружностей: х2

-\- у2

— 2х — 6у - j - 6

= 0 ,

у2

— 6х—

Ю г / + 30 =

Найти

полуоси эллипса 25л:2 + 9у2 =225 и построить

его.

Определить

длины

осей,

координаты фокусов эллипсов,

заданных

уравнениями:

9А2 + 25у2

= 225: 2) 9х2 + у2 = 36.

у =

Найти

длину

хорды, отсекаемой эллипсом ЗА2 +

4у2 =

на прямой

2х — 3.

х 2

у2

Дана

гипербола - g - — - у ^ - = 1 .

Найти

координаты фокусов и

уравне

ния

асимптот.

16х2 — 25у2

Дана

гипербола

400.

Найти

длины

осей,

координаты

фокусов и

построить ее.

10.

Составить

уравнение

гиперболы,

если даны

уравнения

ее асимптот

у=

± - 5 ~ *

и координаты

фокусов

/ ^ ( І З ;

и F2

(—

13; 0).

11.

Найти

координаты

фокусов

уравнения директрис

парабол,

задан

ных

уравнениями:

1) у2

6х;

2)' у2

— 6х;

3) х 2

4г/;

х2

—• 4(/.

12.

Составить

уравнение

общей

хорды

параболы

у2

18х

окружности

(X +

б)2 +

у2

100.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 365 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ