книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

и ли

где

ki и k2 угловые

коэффициенты

прямых,

образующих

угол

0 .

Формула (6)

дает

значение тангенса

угла

между

прямыми;

сам угол определяется по таблице тангенсов.

Пример 9. Найти угол между

прямыми

у = х +

2

и

у =

=

2х — 3.

Р е ш е н и е .

Угловые

коэффициенты

прямых &1 =

1,

k2=

2,

Согласно формуле

(6),

* g e = i + 7 ? 2

- 4 ~ — ° > 3 3

® ^ 1 8 ° 2 4 ' -

§ 14. УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ

И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ

ДВУХ ПРЯМЫХ

Прямые параллельны, если у них

равны углы

наклона к

оси Ох,

т. е. фх

=

ф2 , а

следовательно,

tg ф! =

tg ф2

или

h

= h.

(7)

Из

уравнения

(7)

следует,

что

условием

параллельности

двух

прямых

является

равенство

их угловых

коэффициентов.

Угол между взаимно перпендикулярными прямыми равен ir/2.

*/2 = фа —<Рь

откуда

ф2 = фг

+

тг/2;

*g«Pa =

tg(«Pi +

w/2) =

— ctg9x

=

—

, §

' ф і

или

h =

(8)

Из уравнения

(8)

следует, что

прямые

взаимно

перпендику­

лярны,

если

их

угловые

коэффициенты

обратны

по

абсолют-

нойуеличине

и

противоположны по

знаку.

Пример

10.

Прямые

І/ =

2А; +

З И

у = 2х — 7

параллельны,

так

как

их

угловые

коэффициенты

равны

kx

= k2

=

2.

Р е ш е н и е .

Угловой

коэффициент прямой Зх - f у — б = О,

k2 =

— 3. Угловой коэффициент

прямой, перпендикулярной дан­

ной,

согласно

уравнению

(8), равен:

и

1

1

k l =

—кГ

= T -

J / + 2 = - i - ( x - l ) '

или

х — Зу — 7 =

0.

Задачи

1. Написать уравнения

прямых,

проходящих

через

начало

координат и

наклоненных к оси Ох под

углами: 1) 45°; 2) 135°.

2.

Написать уравнения прямых, параллельных биссектрисе

второго

ко­

ординатного

угла

и

отсекающих

на

оси

Оу

отрезки

bL =

3;

Ьг =

— 4;

5

Ь3 = ~y-

3.

Составить

уравнение

прямой,

отсекающей

на

оси

Ох

отрезок,

равный

5, а

на оси Оу отрезок,

равный (— 2) единицам

масштаба.

.

г

,

х

У

х

4.

Построить

прямые,

заданные уравнениями: —^— -f- —g— =

I ,

— —

~

J-

_

і

JL

y

~

і

5

_

'*

—

4

5

5. Через точку M (5; 2) провести прямую, отсекающую на осях коорди­

нат равные

отрезки.

2х — у -\-

6.

Даны

прямые,

заданные уравнениями:

1) х +

</ +

4 = 0;

2)

+

3 =

0;

3)

Зх +

4</— 10 =

0.

Привести

их

к

виду

уравнений

с

угловым

коэффициентом, в отрезках и построить.

7.

Построить

прямые,

заданные

уравнениями: 1)

2х — 2j/-f~12

=

0;

2)

4х +

Ъу — 20 =

0;

3)

Зх — 7у =

0.

Зу +

С = 0

8.

При

каких

значениях

С

прямая

2х +

отсекает

на оси

Ог/

отрезки

Ьі =

4, 62 =

— 6.

А

прямая

Ах -\-5у

— 40 =

0

отсекает

на

коор­

9.

При

каких

значениях

динатных осях равные отрезки.

10.

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку А ( — 1;

— 2)

и

наклонена

к

оси

Ох

под углом,

втрое

большим,

чем угол

наклона

прямой

х — ?,у -4- 4 =

0.

11.

Составить

уравнение

прямой,

проходящей

через

точки

Л (5;

— 4)

и

В (— 3: 2),

и построить ее.

12.

Даны вершины четырехугольника .4(3; —2), В(—5;

— 4 ) ,

С (4;

3,5),

D(—3;

7). Найти точку пересечения

диагоналей.

13.

Даны

уравнения

сторон

треугольника:

5х — Зу — 1 5 = 0 ,

х-\-Ъу

—

—3 =

0,

Зх +

{/ +

& = 0.

Вычислить

координаты

его

вершин.

14.

Через

точку

пересечения прямых

2х — 5у — 1 = 0

и x - f - 4y

— 7 =

0

провести

прямую,

делящую

отрезок

между точками

А (4;

—3)

и В (— 1;

2)

2

в

отношении

X = - д - .

15.

Вычислить

угол

между

двумя

прямыми:

1) 5х — у +

3 =

0 и

x-f-

+ Ъу — 9 = 0; 2) 4х — 2у + 1 = 0 и 2х — у + 3 = 0.

(х + cf + y2

= 4a2 — 4a

— cf + y2

+ (x — c)2

+ y2,

x2 +

2cx + c2 +

y2

=

4a2

— 4a V(x

— c)2

+ y2

+

+

x2

— 2cx

4- c2 +

y2.

В последнем

уравнении

корень

перенесем

в

левую

часть, а

все остальные

члены — в

правую часть;

приведя

подобные

члены и сократив на общий

множитель, получим

а V (х — с)2 +

у2 = а2

— сх.

вая скобки,

получим

а2х2

— 2а2сх + о?с2 + а2у2 = а 4 — 2а2 сх + с2х2.

венства,

а постоянные числа — в

правую,

получим

(а2

— с2) х2

- f а У = а2

(а2

— с2).

Разделив левую и правую части

на а2 (а2—с2),

получим

Так как

a >

с, то можно положить а2

— с2 = Ь2. Тогда

Уравнение

(4)

называется

каноническим

(нормальным)

уравне­

нием

эллипса.

В

нем х

и у — текущие

координаты точек эллипса; а и b —

параметры, связанные с половиной расстояния с между

фоку­

сами равенством

а2

— с2

=

Ъ2.

§ 17. ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ЭЛЛИПСА ПО

ЕГО

УРАВНЕНИЮ

В уравнение эллипса (4) текущие координаты входят во вто­

рой степени и,

следовательно

уравнение

сохраняет

вид, если

заменить х

на (— х) или у

на

(— у).

Поэтому

если на

эллипсе

лежит некоторая точка с координатами (хх;

ух),

то

одновре­

менно с нею на эллипсе

лежат

и три

точки

с

координатами

(— Хі,

уі),

(— Хі,

— г/х)

и

fa;

— г/0,

симметричные

с

точкой

(хі, уЛ) относительно осей

Ох,

Оу

и

начала

координат О

(рис.

35).

осями

симметрии

Таким образом,

оси

координат

являются

эллипса

и

для

его

построения

достаточно

построить

только

часть

кривой эллипса, например,

в первой четверти.

Р и с .

35

Разрешим

уравнение

эллипса

(4)

относительно

у:

У =

± ~ V a " - x \

(5)

Уравнение

(5)

в первой

четверти

будет иметь вид

у =

-~

V а2

— х2.

(5а)

Из (5а) следуют свойства эллипса.

1.

При

х = 0 у — Ь.

2.

При

возрастании

х

от

0

до а

у

убывает

от

Ь до

0.

3.

При

х = а у = 0.

Эти данные позволяют

построить

дугу эллипса,

лежащую

в первой четверти, и по соображениям

симметрии

весь

эллипс

(рис.

35).

Отрезки АС и BD (рис.

35)

осей

симметрии

эллипса

назы­

вают,

соответственно,

большой

и

малой

осями

эллипса;

длина

большой оси АС равна

2а,

малой

оси

BD — 26;

а

и

b

назы­

вают

большой

и малой

полуосями

эллипса.

Точка О пересечения

осей

симметрии

называется

центром

эллипса.

симметрии А (а;

Точки

пересечения

эллипса

с

осями

0),

С(—а;

0). 6(0; b), D(0; —6)

называются его

вершинами.

Из уравнения (4) видно, что эллипс целиком лежит

внутри

прямоугольника со

сторонами

2а

и 2Ь (рис.

35).

В

частном

случае,

когда

b =

а,

уравнение

(4) принимает

вид

+

1 и л и х 2

+

у2

=

а2 .

(6)

Уравнение (6) является уравнением окружности

с

центром в

начале координат и с радиусом, равным а (2а).

Таким

образом,

окружность

есть

частный

случай

эллипса

с равными

осями и

фокусами,

слившимися

в^одну

точку

(центр