книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

Обработку серии измерений следует проводить в следующем порядке.

1)Определить среднее арифметическое (выборочное).

2)Найти среднюю квадратическую отдельного измерения.

3)Определить наибольшую возможную ошибку отдельного

Пример 1. Десять измерений диаметра капилляра в стенке легочных альвеол дали следующие результаты: xv мк = 2,83; 2,82; 2,81; 2,85; 2,87; 2,86; 2,83; 2,85; 2,83; 2,84.

Провести обработку серии этих измерений. Р е ш е н и е . 1) По формуле (1)

2) По формуле (2) находим среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения

3) По формуле (4)

5„аиб = 3-0,019 = 0,057.

4) Средняя квадратическая ошибка среднего арифметического по формуле (3) равна:

5) Точность измерения по формуле (5)

АХ = ta,kSxB.

При а = 95% и k = 9 коэффициент Стьюдента t по табл. 11 Приложений t = 2,262 и

Ал: = 2,262 • 0,006 = 0,013. Таким образом, диаметр альвеол

х = (2,84 ± 0,01) мк.

чаться одни и те же. Это значит, что случайные ошибки изме­

§142. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОШИБОК КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Свеличинами, непосредственно измеряемыми на опыте, мы встречаемся сравнительно редко. Большинство величин вычис­ ляется с помощью формул через другие величины, которые мы можем измерить непосредственно. Ошибка в таких случаях, оказывается, зависит не только от ошибок, допущенных при непосредственных измерениях, но и от вида той математической формулы, которая связывает данную величину с величинами, измеренными непосредственно. Для оценки степени точности измерения здесь пользуются приемами дифференциального ис­ числения, считая искомую величину функцией (у), а величины,

Определение ошибок косвенных измерений проводится в по­ рядке, указанном выше (§ 141).,

1) Путем подстановки в расчетную формулу средних значе­ ний величин, непосредственно измеренных, вычисляют среднее значение косвенно измеренной величины

У — Ї (ХЪ х2> • • • > ХП)-

2) Вычисляют дисперсию косвенно измеряемой величины по формуле

искажающие истинную картину наблюдаемой закономерности, поэтому график функциональной зависимости представляет со­ бой ломаную линию, плохо иллюстрирующую процесс.

Чтобы математически более или менее точно выразить на­

Известны три способа выравнивания или сглаживания: 1) гра­ фический; 2) арифметический (скользящей средней); 3) алгебраи­

например, зависимости температуры кипения воды от давления,

метод наименьших квадратов дает возможность выбрать число­ вые параметры кривой так, чтобы кривая y = f(x) наилучшим образом отображала экспериментальные данные.

Согласно методу наименьших квадратов, сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от сглаживающей кривой

Рассмотрим применение способа наименьших квадратов для случая линейной зависимости между двумя величинами. Пусть в опыте зарегистрирована совокупность значений (хг; t/t), при­ веденная в виде экспериментальных точек на рис. 138. Требу­ ется по методу наименьших квадратов подобрать параметры в линейной функции у = ах + Ь, изображающей данную экспери­ ментальную зависимость.

По формуле (10) можно написать ,

V = (У! — axj. — bf + . . . + (yn — axn — bf = min. Значения параметров а и b определим из условия (11).

§ 144. НУЛЕВАЯ ГИПОТЕЗА. СРАВНЕНИЕ ВЫБОРОЧНЫХ СРЕДНИХ

При проведении статистических исследований обычно ста­ вится задача: путем сравнения двух препаратов (стандартного и испытуемого) проверить, одинаковы ли их биологические актив­ ности. В этом случае обычно сравнивают средние значения био­ логической активности стандартного и испытуемого препаратов. Однако нельзя делать вывод на основе сопоставления только средних значений величин без учета их стандартных отклонений (ошибок) и числа наблюдений, на основе которых вычислены средние.

С логической точки зрения мы должны вначале сделать предположение (гипотезу) о, например, не существенном разли­ чии и с учетом принятого критерия (теста) подтвердить его или отвергнуть.

Так, нулевая гипотеза предполагает, что полученная.в опыте разность случайна. Исследование заключается в испытании ну­ левой гипотезы в отношении вероятности того, что она верна.

Большая вероятность нулевой гипотезы свидетельствует о том, что полученная в опыте разность показателей обусловлена не существенными факторами. Наоборот, если вероятность нулевой гипотезы мала, то разность показателей статистически суще­ ственна.

Все статистические показатели, а следовательно, и различия между ними, характеризуются определенными уровнями значи­ мости, поэтому отбрасывание нулевой гипотезы должно быть связано с принятием определенного уровня значимости (§ 137). Пусть нулевая гипотеза отбрасывается, например, при уровне значимости Р = 0,01 (доверительная вероятность 0,99). Если вероятность разности между статистическими показателями ниже 0,99 (например 0,97; 0,91) или Р > 0,01, то нулевая гипотеза принимается, различия являются случайными. Ее надо считать правильной по крайней мере до тех пор, пока новые данные не

Для определения степени достоверности'различий, наблюдае­ мых между статистическими показателями, используются пара­ метрические и непараметрические показатели. С помощью пара­ метрических критериев оцениваются различия, наблюдаемые между средними значениями, стандартами отклонения и дру­ гими параметрами выборочных совокупностей, распределяющихся по закону, близкому к нормальному.

Непараметрические критерии могут быть использованы для оценки самых различных распределений, поскольку они основа­

Можно ли считать, что обыкновенные весы не дают су­ щественных отклонений веса тела от его истинного значения, определенного на аналитических весах?

нулевая гипотеза о достаточной точности обычных весов отвер­ гается.

2. Оценка существенности различий, наблюдаемых между двумя выборочными средними хв и хв^, производится на основе нормирования, т. е. отношения разности между средними к средней квадратической ошибке этой разности.

По табл. 8. Приложений при нормальном распределении на­ ходим величину уровня значимости, по которому судим о при­ менимости нулевой гипотезы.

При сравнении двух групп с малыми объемами п, в особен­ ности с неодинаковыми п, ошибка разницы определяется по формуле

I ~ПХ ~ Щ ~

Уровень значимости в этом случае определяется по табл. 10 Приложений при числе степеней свободы

(«1 — 1) + («2 — 1) = «1 + п2 — 2.

Пример 5. Для сравнения активностей двух аналогичных препаратов были проведены две серии испытаний, в каждой из которых использовалось семь животных [20]. Результаты при­ ведены ниже.

Согласно формуле (15),

Критерий

ложений для k = 12 и t — 2,52 Р > 0,05, но Р < 0,01. Отсюда можно заключить, что вероятность того, что срав­

ниваемые препараты имеют различную активность, превышает 95% (но меньше чем 99%). Нужны дополнительные опыты, чтобы решить, следует ли отбрасывать нулевую гипотезу.

§ 145. ТОЧНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТА И ЧИСЛО ИСПЫТАНИИ. КОЭФФИЦИЕНТ ВАРИАЦИИ

При малых выборках статистическая недостоверность разницы между средними значениями х в 1 и х в 2 , полученная с помощью нулевой гипотезы, еще не доказывает, что в действительности такой разницы нет. При повторных испытаниях на больших выборках может оказаться, что различия, казавшиеся несу­ щественными, на самом деле существенны (достоверны), что вытекает из закона больших чисел. Поэтому в исследователь­ ской работе может возникнуть вопрос, каким должен быть объем выборки, для того чтобы с вероятностью, близкой к достовер­ ности, утверждать, что наблюдаемые различия между выбороч­ ными средними случайны или достоверно существуют.

Желаемая точность (обозначим ее через Л) это возможное при принятой вероятности отклонение среднего выборочного хв от среднего значения генеральной совокупности а.

откуда

д2

Для определения объема выборки по формуле (16) при при­ нятой вероятности значение t определяем из табл. 8 Приложе­ ний. Значение А берется заранее в зависимости от условий задачи. Стандарт отклонения S берется из известных исследо­ ваний или выбирается его наибольшее возможное значение.

Пример 6. Определить, какую часть собранных карточек следует подвергнуть разработке для получения показателей за­ болеваемости, которые могли бы быть получены путем сплош­ ной разработки (генеральной совокупности), чтобы различие не