Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики учеб. пособие для студентов высш. мед. учеб. заведений

.pdf

Скачиваний:

243

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3631 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

/lmi(Xi—xB

f я (га — 1)

Приводим без доказательства тождество, облегчающее вычисле

ние стандартного

отклонения:

І(х)?-п(х

)

= 2 ( x

( . )

- 4 - ( i U )

(14)

i(h-x f=

i=i

(=i

i=i

Тогда

« ( « — 1 ) ,

, л ( п —1)

Аналогично можно получить

выражение

Д л я формулы (13).

Пример 9. Найти исправленную дисперсию S2, стандарт от клонения S и стандарт отклонения среднего арифметического Sre для показателя гемоглобина, значения которого приведены ниже:

Показатель
гемоглобина			73	72	71	70	69	68	67	66	65
	Xi
ЧИСЛО ЛИЦ И;			2	4	6	10	11	7	5	4	1
xL — а			+ 4	+ 3	+ 2	+ 1	0	— 1 —2		—3	—4
(XL	— О.) /И;		8	12	12	10	0	—7	—10	—12	—4
x i — хв			3,82	2,82	1,82	0,82	—0,18	—1,18	—2,18	—3,18	—4,18
{x-t	X в ) 2		14,59	7,952	3,312	0,672	0,324	1,392	4,752	10,11	17,47
(Xi—xBf-		m ;	j 29,18	31,80sj 19,872		6,72	3,564	9,744	23,76	40,44	17,47
							9			9
	Р е ш е н и е . Примем				а = 69,		2 (х{ — a)mi, = 9, 2/пДл:,- —

— хв)2 = 182,538. По формуле (2)

				S mi (xt			— a)
	xn=a	+ -^—n					= 6 9 + -^- =			69,18.
Исправленная дисперсия,					согласно			формуле (9),
			9				_
	^ 2	_	S m-t (xi		—	xB)2		182,538	g	y g
	^ 2	_	'=i				•	182,538	g	y g
		~~'	•	n — 1			— ' 5 0 — 1		~ '
Стандарт	отклонения,			согласно выражению					(11),
				5	=	1/3,73 = 1,93.
Стандарт	отклонения			среднего арифметического
				St	=		- Д -	= 0,27.
					в		К50
§ 137. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ					ВЕРОЯТНОСТИ И УРОВНИ						ЗНАЧИМОСТИ
Каждая совокупность может быть представлена в виде ряда
распределения,		т. е. с указанием						значения	членов		совокупности

и их частоты. Для каждого ряда распределения можно опреде

лить

статистические показатели — среднее

значение, дисперсию,

среднее квадратическое.

Но

так

как все они — статистиче

ские величины, т. е. основаны на изучении массовых

явлений,

то возникает (теоретически и практически)

очень

важный во

прос о том, насколько они достоверны.

математической

статистике

существенность

того

или ино

го результата принято

оценивать

по значению

трех

вероятнос

тей,

близких

достоверности:

Рг=

0,95

или

95%, Р 2 =

0,99 или 99%,

и Р3 = 0,999,

или

99,9%.

Эти

вероятности

получили название

доверительных.

т. е. Pi = 0,05

Вероятности,

которыми

решено

пренебрегать,

или

5%, Р 2 = 0 , 0 1

или 1%

и Р 3

= 0,001,

или

0,1%,

получи

ли

название уровней значимости

или

уровней

существенности.

те и другие

вероятности

обозначаются

символами

Ро,95 или

Ро,о5 или буквами

а, р, f

т'. д.

Каждой доверительной

вероятности

соответствует определен

ное значение нормированного отклонения (§ 132), (табл. 8 При

ложений). Вероятности Pi = 0,95 соответствует		tx	— 1,96, веро
ятности Р 2 =	0,99 — tz = 2,50, вероятности Р	3	0,999 — 1 3 —
= 3,30.
Согласно	требованиям фармакопеи [20], существенность того

или иного результата биологического исследования оценивается

по доверительной вероятности	Р = 9 5 % или	уровню значимос
ти Р = 5 %. При разработке	биологических	стандартов следует

пользоваться 99%-ной доверительной вероятностью.

§ 138. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ

Математическая статистика дает возможность по эмпириче ским данным определить наиболее вероятные границы, в которых находится средняя арифметическая ;х генеральной совокупности.


Интервал,	в	котором		с заданной		вероятностью			ила	уровнем
значимости	заключена		средняя		арифметическая			генеральной			со
вокупности,	называется			доверительным			интервалом.			Границы
этого интервала		получили		название доверительных				границ		или	гра
ниц доверия.	Из	нормированного			отклонения (§			132)	t = х		~ х ,
х — х = ± ta	или х =		х ± ta,		откуда
		х — ^ o r < x < x				+	/cr.				(15)

Величина (15) является доверительным интервалом для зна чений х с заданной вероятностью Р, t определяется из табл. 8 Приложений при заданной доверительной вероятности Р.

Аналогично, отклонение выборочной средней хв от средней ге неральной совокупности р. выражается через

t =

Хв

— U. =

+ t

-./—

у п

или

хв

— |* =

tS~.

Величина

этого

отклонения зависит

от

числа

членов в

выборке

п и от уровня вероятности,

с которой

определяется

доверитель

ный

интервал.

р. =

хв

tS^

xB~tSrB<^<~xB

+ tSrB.

(16)

Величина

(16)

является

доверительным

интервалом

для*

средней арифметической

генеральной

совокупности.

Пример 10. Случайная величина X

имеет нормальное распре

деление.

Среднее

арифметическое

выборки х в

11,9,

стандарт

отклонения

среднего арифметического

— 0,121,

объем

вы

борки п = 36 (считается большим, если

п > 30).

Найти

довери

тельный интервал для оценки неизвестного

среднего

арифметиче

ского

генеральной

совокупности

доверительной

вероятностью

Р =

0,95.

интервал JJ.

. Р е ш е н и е .

Доверительный

хв — tSrB<p<TB	+	tS7B.
Исходя из табл. 8 Приложений	для Р — 0,95; / = 1,96
* 5 г в = 1,96 • 0,121		= 2 , 3 7 ;
xB + tSTB = 11,9 + 2,37 = 1 4 , 2 7 ;	хв — *SF B = 1 1 , 9 — 2,37 = 9,53.

Доверительный интервал заключен в пределах от 14,27 до 9,53. Это значит, что при любом большом числе наблюдений с веро ятностью, близкой к достоверности, т. е. Р =- 0,95, можно утвер

ждать, что генеральная средняя (х не выйдет за	пределы интер
вала от 9,53 до 14,27.
§ 139. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА. МАЛАЯ	ВЫБОРКА
Зная параметры теоретической совокупности	случайных ве

личин, ее распределение по тому или иному закону, можно по

лучить о ней полную информацию. На практике мы имеем			де
ло	с выборочной совокупностью, с выборками небольшого	(мень
ше	20—30 членов) объема. Возникает вопрос, можно	ли	на

основании данных, получаемых для такой выборки, судить о генеральной совокупности (§ 134). Выборочные характеристики зависят от числа наблюдений п, а следовательно, относятся к величинам случайным, хотя и более устойчивым, чем отдельно

взятые варианты. Так,	средняя	арифметическая, вычисленная
из 1 0 — 1 5 наблюдений,	не равна	средней, полученной из 100

или большего числа испытаний. Поэтому в каждом конкретном


случае важно	отдавать		отчет	не только в том, насколько	точ
но определены	средние		показатели, но и в том, насколько		они
отстоят от своего		истинного		значения, т. е. от соответствую
щих показателей		генеральной		совокупности. Причем последняя
понимается как теоретически				рассчитанная совокупность.

Прежде всего рассмотрим распределение Стьюдента, откры тое в 1908 г. английским статистиком и химиком Вильямом Госсетом, печатавшимся под псевдонимом Стьюдент. Опублико вание распределения Стьюдента положило начало развитию мик ростатистики. Если обработке подвергается небольшое число из мерений, то вместо дисперсии а2 , характеризующей рассеяние в генеральной совокупности, необходимо пользоваться выборочной дисперсией, или стандартом отклонения 52 , степень приближения которой к генеральной дисперсии зависит от числа степеней сво боды, по которым подсчитывается выборочная дисперсия.

По выборочным данным, полученным в независимых наблю дениях, можно построить такую случайную велучину t (норми рованное отклонение, § 132), которая имеет распределение, не зависящее от генеральной средней ;А И среднего квадратического отклонения генеральной совокупности а.

Стьюдент

установил,

что плотность

вероятности

нормированного отклонения

t выражается

уравнением

^ t-распределеш/е

-4

-3

-2

где

Bk — коэффициент, за

висящий

от объема выбор

Р и с .

137

ки; k — число степеней сво

боды (k = п— 1, где п—объ

ем выборки). Распределение

(17)

называют распределением

Стьюдента.

Характерной особен

ностью

этого

распределения

является то, что оно зависит от

двух

величин:

нормированного

отклонения ,t

и числа степеней

свободы

Pk(t)

Кривая

симметрична относительно

оси

ординат. Для

больших значений

кривая

Pk{t)

близка

нормальной кривой

f (х) = -у~

Для

которой

х = О и а =

1. При малых k

она

значительно

отклоняется

от нормальной кривой, более мед

ленно

спускаясь

оси

Ох. На рис. 137 на фоне нормальной кри

вой, обозначенной пунктиром, изображена кривая распределения Стьюдента при к = 3. По мере увеличения числа наблюдений п распределение Стьюдента довольно быстро приближается к нор мальному и уже при п = 20 практически не отличается от него.


Таким сбразом,			распределение			Стьюдента		есть частный		случай
нормального		распределения;			оно отражает			специфику	изменения
малой выборки			п < 30,	распределяющейся				по нормальному			за
кону в зависимости от п.					P(t), распределяющейся
Значения		вероятности							по	закону
Стьюдента для			малого	числа		наблюдений		п в пределах		от	— t
до + 1 , приведены в табл.					9	Приложений.
В	табл.	10	Приложений указаны				значения критерия для				раз
ных	уровней значимости			Р.	Таблица		имеет	широкое	применение

в практической работе. Она позволяет (при том или ином уров не значимости) устанавливать наиболее возможные пределы слу


чайных колебаний			выборочной средней		хв,	а также		определять
доверительные границы, в которых заключена средняя								арифмети
ческая данной		генеральной совокупности.
Табл. 10 Приложений построена на					основе		заранее	принятых
необходимых		доверительных		вероятностей		и	соответствующих
им уровней значимссти. Критерий t для					малых		выборок		(п <	30)
называют	коэффициентом			Стьюдента	и	обозначают			4,*,	где
k — число	степеней		свободы;	а — доверительная вероятность.

Если, например, выборка включает только 10 наблюдений (число степеней свободы 9), а требуется по условиям опыта уровень значимости 0,01 (доверительная вероятность 0,99), то величина t должна быть не менее 3,25. Уровню значимости 0,05 (доверительной вероятности 0,95) удовлетворяет при k = 9 ве-, личина t = 2,26.

Пример 11. Найти доверительный интервал для средней ак тивности тетрациклина гидрохлорида, исходя из результатов се рии измерений в пересчете на сухое вещество [20], представлен ных ниже.

ч		905	925	940	961	974	995
Х( — а		—35	—15	0	21	34	55	£ = 6 0
Xi	Хв	—45	—25	—10	11	24	45	2 = 0
(x-I —~хв)		2025	625	100	121	576	2025	2 = 5472
	Р е ш е н и е .	Положим	а — 940,		тогда	по формуле (2)
		k
		£ [xt — а)
	хв	= а + -i=L_		=	940 +	~ - =	950.
По	формуле (12) '

В этом примере мы имеем малую выборку п = 6 < 30, поэтому при расчете границ доверительного интервала будем пользовать


ся табл.	10 Приложений. Для k = п — 1 = 5 ,					доверительной ве
роятности 0,95		или уровня			значимости 0,05	t = 2,57, поэтому
хв	— tSJb	=	950	-^2,57	• 13,5 =95 0 — 34,7 =		915,3;
хв	+ tSTB	=	950	+ 2,57 • 13,5 = 950 + 34,7 =			984,3.

Доверительный интервал находится в пределах от 915,3 до 984,3. То обстоятельство, что распределение Стьюдента при малой выборке дает не вполне определенные результаты (широкий до верительный интервал), вовсе не свидетельствует о слабости ме тода Стьюдента, а объясняется тем, что малая выборка содер жит мало сведений об интересующем нас признаке генеральной

совокупности. Поэтому к малой выборке прибегают лишь в тех случаях, когда невозмсжно или нецелесообразно использовать большую выборку.

Задачи

	1. Пять измерений относительной вязкости крови человека							дали следу
ющие		результаты: 4,£0; 4,70; 4,85; 4,75; 4,90. Найти					среднее	арифметиче
ское, стандарт отклонения				среднего	арифметического и величину			доверитель
ного интервала			при доверительной вероятности			0,95.
	2.	Распределение 1000 школьников по титрам дифтерийного						антитоксина
в	крови (в АЕ)		[9] имеет	следующий вид:
xt	АЕ	0,2—0,4	0,4—0,6 \| 0,6—0,8		0,8—1,0	1,0—1,2	1,2—1,4 1,4—1,6
Щ		36	122	264	346	118	81	33

Найти среднюю взвешенную и стандарт отклонения титра дифтерийного ан

титоксина

в крови (в АЕ).

3. Определить

среднее значение

и стандарт отклонения по данным 20 из

мерений максимального кровяного давления у одного больного

за период бо

лезни: хі(мм

рт. ст.)

98,

160,

136, 128, 130, 114, 123,

134, 128, 107, 123,

125,

129,

132,

154,

115,

126,

132,

136, 130.

4. При обследовании

150 взрослых

мужчин

средний

рост

был равен

хв =

167 см, стандарт

отклонения

S =

6 см, стандарт отклонения

среднего

арифметического

S — =0,4 9

см. В каких

пределах

находится

средняя ариф-

метическая

Лв

совокупности

с вероятностью 0,99 и 0,95?

генеральной

5. Определялась

концентрация

витамина

С в

томатном

соке

(жг/100 г

сока). При этом

J B

20 (жг/100 г),

0,965 (жг/100

г),

« = 1 7 . Опре

делить, в каких пределах

находится

средняя

арифметическая

генеральной

совокупности

с вероятностью

Р = 0,95.

Г л а в а X X I . ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

§ 140. СЛУЧАЙНЫЕ ОШИБКИ

Количественную сторону явлений, происходящих в природе и обществе, мы изучаем с помощью измерений. Истинное значе

ние физической	величины при измерениях получить нельзя.
Любое измерение	дает лишь приближенное значение измеряемой

величины, так как на его результат оказывают влияние многие факторы.


Ошибки измерений			делятся	на две категории: систематиче
ские	и случайные.
К систематическим			относятся ошибки, искажающие резуль
тат	измерения	в определенную		сторону	и имеющие закономер
ный	характер.	Сюда относятся		ошибки,	происходящие из-за не

совершенства инструмента, ошибки, зависящие от методики по становки эксперимента, и некоторые другие. Влияние таких ошибок на результаты измерений может быть установлено зара нее и частично устранено. Однако необходимо заметить, что фактическое исключение систематических ошибок иной раз пред


ставляет	сложную задачу.			В	дальнейшем	мы будем считать,
что результаты		опыта	свободны		от систематических ошибок.
Случайные		ошибки	измерения обусловлены несовершенством
наших органов		чувств.	Кроме того, случайные ошибки вызыва
ются многочисленными			трудно		уловимыми	причинами, каждая
из которых приводит			лишь	к	незначительному колебанию ре
зультатов	измерений.		Например,		при взвешивании на аналити

ческих весах к таким причинам относятся незначительные коле бания температуры, влажность воздуха, колебание стола, попа дание соринок на взвешиваемый предмет и т. д. Каждый из этих факторов порождает ничтожную частную ошибку. Но по скольку число этих факторов очень велико, совокупное их дей ствие дает уже заметную суммарную ошибку.

Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы можем на ос новании теоремы Ляпунова (§ 131) заключить, что суммарная ошибка будет иметь распределение вероятностей, близкое к нор мальному. Опыт подтверждает справедливость такого заклю чения.

Допустим, что одним и тем же инструментом с одинаковой тщательностью произведено несколько измерений одной и той

же физической величины X, например, длины стержня, при определенной температуре. При этом мы получим некоторый ряд чисел хъ х2, х3,..., хп. Согласно постулату Гаусса, наиболее вероятным значением искомой величины является среднее ариф


метическое полученных значений.					Оно	будет наиболее		близким
к истинному значению измеряемой величины.
Для	того	чтобы	уменьшить		влияние		случайных	ошибок
на окончательный результат				измерений		и	более точно	устано
вить его	возможную		ошибку, применяют - методы современной
математической статистики, рассмотренные							выше.
Промахи		(грубые	ошибки)	связаны		с	неверными отсчетами

или с недостаточной тщательностью в работе. При обработке ре зультатов измерений эти данные отбрасывают.

§ 141. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРЯМЫХ (НЕПОСРЕДСТВЕННЫХ) РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ МАЛОМ ЧИСЛЕ ОПЫТОВ

При прямых (непосредственных) измерениях числовое значе ние измеряемой величины X берется на основании показаний при бора, при помощи которого выполняется данное измерение. На

пример, значение		времени — по секундомеру,						длины — по		линей
ке и другие.
Предполагается,			что	все	измерения		проделаны		одним		мето
дом и	с одинаковой		тщательностью.			Такие		измерения		называ
ются	равноточными.
Для оценки точности прямых равноточных измерений ис
пользуют критерии,			перечисленные			ниже.
1.	Среднее значение			случайной величины				(среднее арифмети
ческое).
								П
			* 1 + # » + • • • + *,П					V			(1)
			* 1 + # » + • • • + *,П
					п			П
					п			П
2.	Дисперсия	— рассеяние			случайной		величины		отножтгльно
среднего значения.		Для числа измерений п <						30 выборочная			дис
персия	определяется		по	формуле

S (xL — xByі2

S2 =	и — 1

3. Средняя	квадратическая ошибка отдельного измерения,
или стандарт	отклонения,

4. Средняя квадратшеская ошибка среднего арифметического

^ Кх1 —

хв)2

= -

"і /

iL\Xi~Хв

(3)

1 /

п(п —

» •

Вероятная

ошибка

среднего

арифметического

S B E P = 0,675

S*G.

Наибольшая

возможная

(при

Р = 0,997) ошибка

отдель

ного

измерения. Она вычисляется

исходя

из правила трех сигм

(§ 132):

5„аиб =

3S.

(4)

7. Точность прямого измерения. Точностью прямого измере ния называют абсолютную величину разности между средним значением измеряемой величины и ее точным значением, за ко торое принимают среднее арифметическое \± генеральной сово купности.

А х =

| хв — р. | =

to,,k SxB,

(5)

где ta,k — коэффициент

нормированных

отклонений.

При

малом

количестве измерений

ta.k зависит

от

числа степеней

свободы

k = п — 1 и

доверительной

вероятности

или

надежности а.

Значения ta,k приведены в табл. 11 Приложений.

Доверительный интервал

измеряемой

величины

хв

— А х < (л < х в

-)- А х

или

xe — ta

,f e

[і

х в +

SJ B .

(6)

Мера

точности

отдельного

измерения

мера

точ

ности

среднего

арифметического

Н (§ 131). Они

часто

вводятся

вместо средней

квадратическсй

сшибки

отдельного

измерения

S и средней квадратической ошибки среднего

арифметического.

При этом h =

и Н — у

. Используя

формулы

(2) и

(3), получим формулы меры точности:

Гп — \

I / 2Ъ{х-1 — хв

п(п — 1)

Нш,

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3631 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ